3狭义相对论的时空观

4.3 狭义相对论的时空观
4.3.1 同时的相对性
光速相对于所有惯性系中的观测者以不变的速率传播，其惊人的结果是:时间一定是相对的。

1 “同时”的定义
设A 、B 两处发生两个事件，在事件发生的同时，发出两光信号，若在A 、B 的中心点同时收到两光信号，则A 、B 两事件是同时发生的。

这就是用光前进的路程来测量时间，而这样定义的理由就是光速不变，这样的定义适用于一切惯性系。

2 爱因斯坦理想的 “火车对钟实验”
设有一列火车相对于站台以匀速向右运动，站台上的观测者测得当列车的首尾两点与站台上的A ，B 两点重合时，站台上的A ，B 两点同时发出一个闪光，所谓“同时”，就是两闪光同时传到站台上的中心点C 。

但对于列车来说，由于它向右行驶，车上的中点先接到来自车头方（即站台上的A 点）的闪光，后接到来自车尾方（即站台的B 点）的闪光。

于是对于列车上中点的观察者来说，A 点的闪光早于B 点。

就是说，对于站台参照系是同时的事件，对于列车参照系就不是同时的，即事件的同时性是相对的。

在一个惯性系中的两个同时事件，在另一个惯性系中观测不是同时的，这是时空均匀性和光速不变原理的一个直接结果。

3 同时的相对性
设在惯性系S 中,在不同地点同时发生两事件,时空坐标分别为（x 1，0，0 ，t ）和（x 2，0，0，t ），则根据洛仑兹变换式（4-4a ），有
2221'11c u c ux t t --
=, 2222'21c u c ux t t --=，即()012
2122
'1'2≠---=
-c
u x x c u
t t 讨论 1 从上可知，在某一惯性系同时不同地发生的两个事件，在另一惯性系中观测则是不同时发生, 这就是狭义相对论的同时相对性。

同时相对性的本质在于在狭义相对论中时间和空间是相互关联的。

若u 沿x 轴正方向，且12x x ->0,则0'
1'
2<-t t ,可得出结论，沿
两个惯性系相对运动方向发生的两个事件,在其中一个惯性系中表现为同时的,在另一惯性系中观察,则总是在前一惯性系运动的后方那一事件先发生。

2 如果两个事件在S 系同一地点同时发生，12x x =，12t t =则
()0122122'1'2=---
=
-c u x x c u
t t ，()01)(2
21212'1'2=----=-c
u t t u x x x x 。

这说明在某一惯性系同一地点同时发生的两事件，在其它惯性系中进行测量，这两个事件仍是同时同地发生。

4.3.2 长度的相对性
一根细棒AB 静止于S '系中，并沿着Ox 轴放置，如图4-3所示。

设在S '系中棒AB 两端点的坐标为x ′1、x ′2，则在S '系中测得该棒的长度为l 0= x ′2- x ′1，棒静止
时被测得的长度称为棒的固有长度，0l 即为棒的固有
长度。

在S 系中测量棒AB 的长度，需同时测量棒AB 两端点的坐标为x 1、x 2，根据洛仑兹变换式（4-4a ），可得
2
2
11'11c u
ut x x --=
，2
2
22'
21c u ut x x --=
注意到21t t =
得
21l x x l =-= （4-7）
这表明，在S 系中的观察者看来，运动的物体在运动方向上的长度缩短了，这就是狭义相对论的长度收缩效应。

讨论 1 固有长度最长。

2 长度收缩效应纯粹是一种相对论效应；只发生在运动方向上；是相对的。

即假设有两根完全一样的细棒,分别放在S 系和S '系,则S 系中的观测者说放在S '系中的棒缩短了,而S '系中的观测者认为自己这根棒长度没有变,而是S 系中的棒缩短了。

原因在于物体的运动状态是个相对量。

图4-3 长度收缩效应 S
S ′
3 长度收缩效应是测量出来的。

在相对论时空观中，测量效应和眼睛看到的效应是不同的。

人们用眼睛看物体时，看到的是由物体上各点发出的同时到达视网膜的那些光信号所形成的图像。

当物体高速运动时，由于光速有限，同时到达视网膜的光信号是由物体上各点不同时刻发出的，物体上远端发出光信号的时刻比近端发出光信号的时刻要早一些。

因此人们眼睛看到的物体形状一般是发生了光学畸变的图像。

4 当c u <<式（4-7）变成0l l =，这就回到了经典力学的绝对空间观。

问题 4-5 在推导式（4-7）时，我们假定棒是静止在S '系中的，如果假定棒是静止在S 系中的，且固有长度仍用0l 表示，在S '系中测得棒的长度为l ，再推导式（4-7）。

问题4-6 长度的量度和同时性有什么关系？为什么长度的量度会和参考系有关？长度收缩效应是否因为棒的长度受到了实际的压缩？
例4-3长度0l =1 m 的米尺静止于S '系中，与x ′
轴的夹角'θ= 30°，S '系相对S 系沿x 轴运动，在S
系中观测者测得米尺与x 轴夹角为=θ
45︒． 试求：
(1)
S '系和S 系的相对运动速度.
(2) S 系中测得的米尺长度．
解: (1)米尺相对S '静止，它在y x '',轴上的投影分别为：
m 866.0cos 0='='θL L x ，m 5.0sin 0='='θL L y
米尺相对S 沿x 方向运动，设速度为v ，对S 系中的观察者测得米尺在x 方向收缩，而y 方向的长度不
变，即
y y x x L L c
v L L '=-'=,122
故 2
2
1tan c v
L L L L L L x
y x
y x
y -''=
'=
=
θ
把ο45=θ
及y x L L '',代入
则得
866.05
.0122=
-c
v 故 c v
816.0=
(2)在S 系中测得米尺长度为m 707.045sin =︒
=
y L L
4.3.3 时间间隔的相对性
设静止在S '系中的观察者记录到发生在S '系中某固定点x ′一个事件持续时间，用固定在S '系中的时钟来测量，例如一个火炬燃烧的时间：τ0= t ′2- t ′1，这种在某一惯性系中同一地点先后发生的两个事件之间的时间间隔叫固有时，0τ就是固有时。

在S 系中，这两事件的时空坐标分别是(x 1,t 1)，(x 2,t 2)，显然x 1≠x 2，t 1和t 2是S 系中两个同步时钟（两校准的钟）上的读数。

根据洛仑兹变换式（4-4a ）可得
22'2'111c u x c u t t -+
=
, 2
2'2'
22
1c
u x c u t t -+=
两式相减，得
21t t τ=-=
（4-8）
式（4-8）表明,
τ＞0τ，表示时间膨胀了，或在S ′系发生在同一地点的两个事件，
在S 系中测得两事件的时间间隔比S ′系测得的时间间隔（即固有时）要长。

换句话说，S 系中的观测者发现S ′系中的钟（即运动的钟）变慢了。

这就是时间延缓效应，也称时间膨胀。

这种效应是相对的。

讨论 1 在不同惯性系中测量一个过程从发生到结束的时间间隔，固有时最短。

2 当c u <<，式（4-8）变为,0ττ=这就回到了经典力学的绝对时间观。

综上所述，狭义相对论指出了时间和空间的量度与参考系的选择有关。

时间与空间是相互联系的，并与物质有着不可分割的联系。

不存在孤立的时间，也不存在孤立的空间。

时间、空间与运动三者之间的紧密联系，深刻反映了时空的性质。

问题4-7 什么叫固有时？为什么固有时最短？
问题4-8 有一枚相对于地球以接近于光速飞行的宇宙火箭，在地球上的观察者将测得火箭上的物体长度缩短，过程的时间延长，有人因此得出结论说：火箭上观察者将测得地球上的物体比火箭上同类物体更
长，而同一过程的时间缩短。

这个结论对吗？
问题4-9 狭义相对论的时间和空间概念与牛顿力学的时间和空间概念有何不同？有何联系？ 例4-4 半人马星座α星是离太阳系最近的恒星，它距地球164.310m s =⨯。

设有一宇宙飞船自地球往返于半人马座α星之间。

若宇宙飞船的速率是c 999.0=υ，（1）若按地球上时钟计算，飞船往返一次需多少时间？（2） 若以飞船上时钟计算，往返一次又为多少时间？
解 （1） 由于题中恒星与地球的距离和宇宙飞船的速度均是地球上观察者所测量的，故飞船往返一次，地球时钟所测时间间隔
82 2.8710s 9.1s
τυ
=
=⨯≈年
（2） 把飞船离开地球和回到地球视为两个事件，显然飞船上的时钟所测得的时间间隔是固有时，所以以飞船上的时钟计算
70 1.2810s 0.407τ=⨯≈年
4.3.4 因果关系
在相对论中,一个空时点(),,,x y z t 表示一个事件,不同的事件空时点不相同。

两个存在因果关系的事件，必定原因（设时刻1t ）在先，结果（设时刻2t ）在后，即210t t t ∆=->。

那么是否对所有的惯性系都如此呢？结论是肯定的。

所谓的,A B 两个事件有因果关系，就是说B 事件是A 事件引起的。

例如，在某处的枪中发出子弹算作A 事件，在另一处的靶上被此子弹击穿一个洞算作B 事件，这B 事件当然是A 事件引起的。

又例如在地面上某处雷达站发出一雷达波算作A 事件，在某人造地球卫星上接收到此雷达波算作B 事件，这B 事件也是A 事件引起的。

一般地说，两个有因果关系的事件必须通过某种物质或信息相联系，例如上面例子中的子弹或无线电波。

这种“信号”在时间21t t t ∆=-内从1x 传到2x ，因而传递的速度为 21
21
x x t t υ-=
- 这个速度称为“信号速度”。

由于信号实际上是某种物质或信息，因而信号速度总不能大于光速。

当在其他惯性系中观测，由洛仑兹变换有
212212
12
21()1u
x x x x u t t c t t -⎛⎫
-''-==-⎪-⎭
21u c υ⎫=
-⎪⎭ 由于,u c c υ<≤，所以2u c υ总小于1。

这样()2
1t t ''-总与()21t t -同号。

这就是说，时序不会颠倒，即因果关系不会颠倒。

如果是两个没有因果关系的事件，则可以有
21
21
x x c t t ->- ，因为其并不是某种物质或信
息传递的速度。

在另一个惯性系中观测，时序可以颠倒。

本来就是无因果关系的事件，不存在因果关系颠倒的问题。

问题4-10 地面上的射击运动员，在1t 时刻扣动扳机射击一粒子弹，2t 时刻()12t t >子弹击中靶子，那
么在相对地球以速度u 运动的宇宙飞船上的观测者看来，是否仍有'1'2t t >，会不会反过来，'1'
2t t <，即子弹
先击中靶子，而后才出膛？
4.4 狭义相对论动力学基础
经典力学中的物理定律在洛仑兹变换下不再保持不变，因此，一系列的物理学概念，如动量、质量、能量等必须在相对论中重新定义，使相对论力学中的力学定律具有对洛仑兹变换的不变性，同时当物体的运动的速度远小于光速时，它们必须还原为经典力学的形式。

4.4.1 动量、质量与速度的关系
在相对论中定义一个质点的动量p 为 p mu =
其中速度为u 、质点质量为m ，不过动量在数量上不一定与u 成线性的正比关系，因为m 不再是常数，可以假定m 是速度u 的函数。

由于空间各向同性，m 只与速度u 的大小有关，而与方向无关，即
()m m u =
下面考察两个全同粒子的完全非弹性碰撞过程.如图4-4所示，A 、B 两个全同粒子正碰后结合成为一个复合粒子。

从S 和S ′两个惯性系来讨论：在S 系中粒子B 静止，粒子A 的速度为u ，它们的质量分别为0B m m =，这里0m 是静止质量，()A m m u =，()m u 称为运
动质量。

在S ′系中粒子A 静止，粒子B 的速度为-u ，它们的质量分别为0A m m =，
图4-4 两个全同粒子的完全非弹性碰撞
()B m m u =，显然，S ′系相对于S 的速率为u 。

设碰撞后复合粒子在S 的速率为为υ，质
量为()M v ；在S ′的速率为为υ'，由对称性可知υ'=-υ，故复合粒子的质量仍为()M v ；根据守恒定律，有
质量守恒 ()()0m u m M v += 动量守恒 ()()m u u M v v =
由此两式消去()M v ，解得 （4-9）
另一方面，由速度变换式有
解得
代入式（4-9），则有
（4-10）
即在狭义相对论中，质量m 是与质点的速率u 有关的，称为相对论性质量，而m 0则是质点相对惯性系静止时的质量，称为静质量。

式（4-10）称为相对论质速关系。

01()m u
m u +
=
v '2
1u
u c
-=-=
-v v v v
222
11()2()()0u u u u u
c c
∴-=--+=v v v v 1u =±v 1u u <=v v ()m u =
则动量的表达式为：
p =
（4-11）
从式（4-10）与（4-11）可知，当质点的速度远小于光速，即u c <<，相对论性动量0p m u ≈与牛顿力学动量表达式相同,相对论质量0m m ≈,可以认为质点的质量为一常量。

这表明在
u c <<的情况下，牛顿力学仍然是适用的。

4.4.2 质量和能量的关系
在相对论中把力定义为动量对时间的变化率，即 dp
F dt
=
（4-12） 这里p 是式（4-11）相对论动量。

式（4-12）所表示的力学规律，对不同的惯性系，在洛仑兹变换下是不变的，但是，要说明的是质量和速度u 在不同惯性系中是不同的，所以相对论中力F 在不同惯性系中也是不同的，它们都不是恒量，不同惯性系之间有其相应的变换关系，这一点与经典力学不同。

在相对论中，功能关系仍具有牛顿力学中的形式。

设静止质量为m 0的质点，初始静止，在外力作用下，位移d s ，获得速度u ，质点动能的增量等于外力所作的功，即
将式（4-12）代入上式得
又有
则解出
将m ，d u 的关系式代入d E k 式，并化简得到 d d d k E F s F u t
=⋅=⋅2
d d()(d )(d )d d k E mu u m u u m u u u m mu u =⋅=⋅+⋅=
+()m u =
022
3/22d d (1)
m u u m u c c
=
-微分得22
3/2
20(1)d d u c m
c u m u
-=
2
d d k E c m
=
当u ＝0时，m ＝m 0，动能E k ＝0. 对上式积分得
即 220k E mc m c =- （4-13）
这是狭义相对论中的动能表达式，显然与经典力学中动能表达式不同，但是当u c <<时，有
22
2
2
00k E mc m c m c =-=
22
22
000211122u m c m c m u c ⎛⎫≈+-= ⎪⎝⎭
这里忽略高价小量，回到了经典力学中质点的动能表达式。

由式（4-13），可写成
220k mc E m c =+
式中爱因斯坦将20c m 叫做物体的静能,而2
mc 是物体运动时具有的动能和静能之和，称为总能量，k E 是物体的动能。

我们分别用E 和0E 表示总能量和静能:
2002,c m E mc E == （4-14）
这就是著名的质能关系式。

讨论 1 质能关系式揭示了质量和能量是不可分割的，质量是物质所含有的能量的量度。

2 由2
mc E =可得 2
mc E ∆=∆ （4-15） 这是质能关系的另一种表达方式。

它表明，物体吸收或放出能量时，必然伴随着质量的增加或减少。

这一关系式是原子核物理以及原子能利用方面的理论基础。

如有些重原子能分裂成两个较轻的核，该过程有质量亏损，同时释放出能量，这一过程称为核裂变。

其中典型的是铀原子核
235
92
U 的裂变。

23592U 中有235个核子，在热中子的轰击下，235
92U 裂变为2个新的原子核和2个中子，同时释放出能量Q 。

再如轻核聚变，由轻核结合在一起形成较大的核，该过程有质量亏损，同时释放出能量。

一个典型的轻核聚变是两个氘核（2
1H ，氢的同位素）聚变成氦核（4
2He ），同时释放出能量Q 。

值得指出的是，对于所举的两个例子，就单位质量而言，后者释放的能量比前者要大得多。

20
d d k
E m
k m E c m
=⎰
⎰
例4-5已知质子和中子的静止质量分别为 amu 为原子质量单位，1amu ＝1.660× kg ，两个质子和两个中子结合成一个 核，实验测得它的静止质量 ＝4.001 50 amu ，计算形成一个氦核放出的能量。

解 两个质子和两个中子的质量为
形成一个氦核质量亏损
能量改变量为
这就是形成一个氦核放出的能量。

若形成1 mol 氦核(4.002 g)时放出的能量为
这相当于燃烧100吨煤时放出的热量。

4.4.3动量与能量的关系
将相对论动量的定义式p mu =两边平方,得
222
p m u =
再取质能关系式2
=E mc 两边平方,并运算,得
()()()()
2
2
2
2
2
22E mc
mc mu c mu c ==-+
()22
2
4
2422
21u m c p c m c c
p c ⎛⎫=-+=
+ ⎪⎝⎭
即 222
02p c E E += （4-15）
这就是相对论性动量和能量的关系式。

可以用一个直角三角形的勾股弦形象地表示
这一关系，如图4-5所示。

图4-5 总能量与动能的关系
P
n
M 1.00728amu
M 1.00866amu ==，，2710-42
He
氦A M P n M=2M 2M 4.03188amu
+=A M M M 0.03038amu
∆=-=()
2
2
-27
811E=Mc 0.030381.660103100.453910J
-∆∆=⨯⨯⨯⨯=⨯112312E 0.453910 6.02210 2.73310J -∆=⨯⨯⨯=⨯
例4-6 静止的电子经过1000000V 高压加速后，其质量、速率、动量各为多少？ 解 已知电子静质量m 0=9.11×10-31
kg ，因此其静能为
2311614009.11109108.210E m c --==⨯⨯⨯=⨯（J ）
静止的电子经过1000000V 电压加速后，其动能为
131000000 1.610k eV E -==⨯（J ）
由于E k >E 0，因此必须考虑相对论效应。

此时电子的质量为
1413
300k 2216
8.210 1.610 2.6910(kg)910
E E E m c c ---+⨯+⨯====⨯⨯ 由相对论的质速关系得
0.94υ= c 可见，电子经高电压加速后，速率与光速相比已经不可忽视。

电子的动量
308222.69100.943107.5910(kg m/s)p m υ--==⨯⨯⨯⨯=⨯⋅
例4-7 设有两个静止质量都是0m 的粒子，以大小相等、方向相反的速度碰撞，反应形成一复合粒子。

试求这个复合粒子的静止质量0M 和运动速度V 。

解： 设这两个粒子的速率都是υ，由动量守恒和能量守恒定律得
（1）
2
2 （2） 由（1）得 0V =
由（2
）
0M
这表明复合粒子的静止质量0M 大于20m
，两者的差值
0002
222k E M m m c -=
式中k E 为两粒子碰撞前的动能。

由此可见，与动能相联系的这部分质量转化为静止质量，从而使碰撞后复合粒子的静止质量增加了。