(新课标II版01期) 2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题03 导数(含解析)理

（新课标II 版01期） 2014届高三数学 名校试题分省分项汇编专题
03 导数（含解析）理
一．基础题组
1.【某某第一中学2014届高三开学考试理科数学】 若曲线()cos f x a x =与曲线2()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线，则a b +=（ ）
(A)1- (B)0 (C)1 (D)2
2.【某某省白山市高三摸底考试理科数学】 设函数(),y f x x R =∈，的导函数为'()f x ，且
()()f x f x =-，()()f x f x '<，则下列不等式成立的是（注：e 为自然对数的底数）
（ ） A.12(0)(1)(2)f e f e f -<< B.12(1)(0)(2)e f f e f -<<
C.21(2)(1)(0)e f e f f -<<
D.21(2)(0)(1)e f f e f -<<
3.【某某市2013届高三第二次模拟考试理科数学】 曲线24y x =与直线94
x =
所围成的封闭图形的面积为．
4.【某某市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 若()6x a +的展开式中3x 的系数为160，则1a a
x dx ⎰的值为____________. 5.【某某省某某市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】由直线x y e x y 2,,0===及曲线x
y 2=所围成的封闭的图形的面积为( ) A.2ln 23+ B.3 C.322-e D.e
考点：定积分的应用.
6.【某某一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】曲线2y x
=
与直线1y x =-及4x =所围成的封闭图形的面积为( )
A. 2ln 2
B. 2ln 2-
C. 4ln 2-
D. 42ln 2- D.
考点：定积分. 7. 【某某一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】 设点P 在曲线x
e y =上，点Q 在曲线x y ln =上，则|PQ |最小值为( )
A ．12- B. 2 C. 21+ D. 2ln
8.【2013年某某省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】 已知常数a 、b 、c 都是实数，34)(23-++=x c x b x a x f 的导函数为)(x f '，0)(≤'x f 的解集为{}32≤≤-x x ，若)(x f 的极小值等于115-，则a 的值是( )
（A ）2281-（B ）3
1 （C ）2（D ）5
根据已知得当2-=x 时，)(x f 取得极大值，当时3=x 时，)(x f 取得极小值.
∴11534542
2727)3(-=---=a a a f ，解得2=a .故选C.
考点：函数与导数．函数极值.
9.【某某一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】 设集合P ＝{x |⎠⎛0
x (3t 2
－10t ＋6)dt ＝0，x >0}，则集合P 的非空子集个数是.
10.【某某省某某市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知函数
x ae x x f -+-=22)(（R a ∈）
（1）若曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线平行于x 轴，求a 的值；
（2）当1=a 时，若直线2:-=kx y l 与曲线)(x f y =在)0,(-∞上有公共点，求k 的取值X 围.
（2）因为直线:2l y kx =-与曲线)(x f y =在)0,(-∞上有公共点，
则222x kx x ae --=-+在)0,(-∞有解…………………………6分
即12x k xe =+有解，1()22x
u x e xe =+≤-…………………………11分 所以，2k e ≤-.
考点：导数计算，应用导数研究函数的最值.
11.【某某省某某一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 若曲线()cos f x a x =与曲线2
()1g x x bx =++在交点(0,)m 处有公切线， 则a b += （ ）
（A ）1- （B ）0 （C ）1 （D ）2 12.【某某省某某一中2014届高三上学期第一次月考数学（理科）】 抛物线2y x =与直线20x y -+=所围成的图形的面积为____．
【答案】92
【解析】
试题分析：如图所示，抛物线2
y x =与直线20x y -+=所围成的图形的面积为()29|32212213
2212
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=-+--⎰C x x x dx x x .
考点：积分求面积. 13.【某某师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】已知点p 在曲线41x y e =+上，α为曲线在点p 处的切线的倾斜角，则α的取值X 围是（ ）
A.[0,)4π
B.[)42ππ，
C.3]22
ππ（， D.3[)4ππ，
14.【某某师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】 若函数2()2ln f x x x =-在其定义域的一个子区间(1,1)t t -+上不是单调函数，则t 的取值X 围是（ ）
A.31,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭
B.1--2∞（，）
C.3+2∞（，）
D.1322
（，）
二．能力题组
1.【某某省某某市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知函数
x a ax x x x f )12(ln )(2-+-=R a ∈.
（1）当2
1=a 时，求)(x f 的单调区间； （2）若函数)(x f 在),1[+∞单调递减，某某数a 的取值X 围.
2.【某某市普通高中2012—2013学年度高中毕业班下学期期末复习检测 数学（理科）】 已知定义在)2,2(ππ-的函数()tan ax f x e x =)0(>a ，在4
π=x 处的切线斜率为πe 6. （Ⅰ）求a 及
)(x f 的单调区间； （Ⅱ）当)2,0[π
∈x 时，mx x f ≥)(恒成立，求m 的取值X 围.
则()(0)0g x g ≥=满足题意；…………………………………………………9分
3.【某某第一中学2014届高三开学考试理科数学】 设()ln(1)f x x ax =++（a R ∈且0a ≠）．
（Ⅰ）讨论函数()f x 的单调性；
（Ⅱ）若1a =，证明：(0,5)x ∈时，9()1
x f x x <+成立． 由()0f x '>得，11a x a +-<<-；由()0f x '<得，1a x a
+>-
4.【某某市2013届高三第二次模拟考试理科数学】 函数()||()x x a
f x e a R e
=+∈在区间[]1,0上单调递增，则a 的取值X 围是 （ ）
A ．[]1,1-∈a
B ． ]0,1[-∈a
C ．[0,1]a ∈
D ．⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-
∈e e a ,1 ③当0a >时:()210ln 2x x
x x a e a g x e x a e e -'=-==⇒=,()g x 在1,ln 2a ⎛⎫
-∞ ⎪⎝⎭
为减函数,
在
5. 【某某市2013届高三第二次模拟考试理科数学】 已知()f x 的导函数()1ln f x x '=+，
且(1)0f =，设2
(1)()1()2
a f x g x x ax x -=
+-，且2a >． （Ⅰ）讨论()g x 在区间(0,2)上的单调性；
（Ⅱ）求证：()2x
f x xe x ≤-；
（Ⅲ）求证：2
(1)2ln(!)n n n
-≥．
试题解析：（Ⅰ）由()1ln ,f x x '=+且()10f =得()ln f x x x =.()f x 定义域为()0,+∞
()()()()22
111ln ,2x ax a g x a x x ax g x x
-+-'=-+-=
令()0g x '=,得1x =或1x a =-
① 当23a <<时,由()0g x '<,得11x a <<-;由()0g x '>,得01x <<,或12a x -<<
()g x ∴在()1,1a -上单调递减,在()0,1和()1,2a -上单调递增.
考点：导数运算及运用导数研究函数的性质,数列求和及不等式中的放缩法的运用.
6.【某某市普通中学2013-2014学年度高中毕业班摸底测试理科数学】 已知函数2
()x kx f x e
=，
其中k R ∈且0k ≠．
（I ）求函数()f x 的单调区间；
（II ）当1k =时，若存在0x >，使ln ()f x ax >成立，某某数a 的取值X 围．
【答案】（I ）减区间是(0,2)，增区间是(0,2)；（II ）2
(,1)e -∞-．
【解析】
7.【某某某某市全市优质高中2014届高三摸底考试理科数学】 已知a >0，函数
2(),()ln f x ax x g x x =-=.
(1)若1
2
a =
，求函数()2()y f x g x =-的极值， (2)是否存在实数a ，使得()()f x g ax ≥成立？若存在，求出实数a 的取值集合；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）极小值ln 4-，没有极大值；（2）存在，{1}a ∈. 【解析】
试题分析：本题主要考查导数的应用、不等式等基础知识，考查思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力,考查函数、转化与化归、特殊与一般等数学思想方法.第一问，先求导数，判断函
8.【某某一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】 设函数
()(,,)n n f x x bx c n N b c R +=++∈∈
(1)设2n ≥,1,
1b c ==-,证明:()n f x 在区间1,12⎛⎫
⎪⎝⎭
内存在唯一的零点;
(2) 设2n =,若对任意12,x x [1,1]∈-,有2122|()()|4f x f x -≤,求b 的取值X 围;
(3)在(1)的条件下,设n x 是)(x f n 在⎪⎭
⎫
⎝⎛1,21内的零点,判断数列 n x x x ,,32的增减性. (ⅱ)当102b -≤-
<,即02b <≤时,222(1)()(1)422
b b
M f f =---=+≤恒成立
考点：1.零点存在性定理；2.利用导数判断函数单调性；3.利用函数单调性判断大小. 9.【2013年某某省第二次高中毕业生复习统一检测理科数学】 已知
22)1(ln 2)(+--=x x x x f ．
（Ⅰ）求)(x f 的单调递增区间；
（Ⅱ）若函数a x x x f x F ++-=3)()(2
在]2,2
1
[-
上只有一个零点，某某数a 的取值
X 围．
3.很多考生误认为)(x F 在]2,21[-上只有一个零点⎪⎩⎪⎨⎧<≥-⇔,0)2(,
0)21(F F 事实上漏了0)1(=F .
∴当12
1
<<-
x 时，0)(<'x F ，此时，)(x F 单调递减；
当21<<x 时，0)(>'x F ，此时，)(x F 单调递增.
∴实数a 的取值X 围为
23ln 22ln 22
1
-<≤-a 或12ln 2-=a 考点：函数的单调性、极值、零点、比较大小.
10.【某某师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】 已知函数
2()1
()32x mx m n x f x +++=+
的两个极值点分别为12,x x ，且1(0,1)x ∈，2(1,)x ∈+∞，点(,)p m n 表示的平面区域为D ，若函数log (4)(1)a y x a =+>的图像上存在区域D 内的点，则实
数a 的取值X 围是（ ） A.1,3]（ B.1,3（）
C.3+∞（，）
D.[3+∞，）
【答案】B 【解析】
试题分析：2()02
m n
f x x mx +'=++
=的两根为12,x x ，且1(0,1)x ∈， 2(1,)x ∈+∞，故有(0)0,(1)0f f '>⎧⎨'<⎩0,2
10,
2m n
m n m +⎧>⎪⎪⇔⎨
+⎪++<⎪⎩ 即0,
320,
m n m n +>⎧⎨++<⎩作出区域D ，如图1阴影部分，
可得log (14)1a -+>，∴13a <<，故选B ． 考点：导数求函数的极值，线性规划. 三．拔高题组
1.【某某省某某市第六中学2014届高三9月月考数学（理）试题】 已知函数
x x a ax x f ln 1
)(--+
= （1）当21
≤a 时，试讨论函数)(x f 的单调性；
（2）证明：对任意的*
∈N n ，有)
1(2ln 1)1ln(22ln 11ln 2
+<+--+++n n n n n n .
)
1(2ln 1)1ln(22ln 11ln 2
+<+--+++n n n n n n ---------------------12分 考点：应用导数研究函数的单调性，应用导数证明不等式，“裂项相消法”求和.
2.【某某一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】 设a 为实数，函数()e 22,.x f x x a x =-+∈R
(Ⅰ)求()f x 的单调区间与极值；
(Ⅱ)求证：当ln 21a >-且0x >时，2
e 2 1.x x ax >-+
3.【某某师大附中2014届高考适应性月考试卷（一）理科数学】 已知函数1ln ()x f x x
+=． （Ⅰ）若函数在区间1,(0)2t t t ⎛⎫+> ⎪⎝
⎭其中上存在极值，某某数t 的取值X 围； （Ⅱ）如果当1x ≥时，不等式()1
a f x x +≥恒成立，某某数a 的取值X 围，并且判断代数式22[(1)](1)()n n n e n -*++⋅∈N ！与的大小．
【答案】（Ⅰ）112
t <<；（Ⅱ）22[(1)](1)()n n n e n -*+>+⋅∈N ！
由上述知2()1f x x +≥恒成立，即122ln 1111x x x x x
-=->-++≥，
考点：函数与导数，函数极值与最值，不等式恒成立问题，不等式的性质．
4.【某某一中2014届高三年级第一次月考数学试卷（理）】 已知函数
()f x =2x ax b ++,()g x =()x e cx d +,若曲线()y f x =和曲线()y g x =都过点P(0,2),且在点P 处有相同的切线42y x =+.
(Ⅰ)求a ,b ,c ,d 的值;
(Ⅱ)若x ≥-2时,()f x ≤()kg x ,求k 的取值X 围.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,2()42f x x x =++,()2(1)x
g x e x =+,设函数 ()F x =()()kg x f x -=22(1)42x ke x x x +---(2x ≥-),()F x '=2(2)24x ke x x +--=2(2)(1)x x ke +-, 由题设可得(0)F ≥0,即1k ≥,令()F x '=0得,1x =ln k -,2x =-2,。