第1章 机器人数学基础(2)(1)

向量的方向
设向量iA是单位向量，与参考系轴x0的单位向量i0的 夹角为α；与轴y0的单位向量j0的夹角为β ；与轴z0 的单位向量k0的夹角为γ ： 单位矢量在参考系O系上各坐标轴z投0 影方向余弦
cosα
i
0 A
c
os
cos
cos
O0 cos
α x0
iA y0
cos
坐标系方向的描述
三维空间固定坐标系OXYZ表述。
关节坐标系：用来描述机器 人每一个独立关节的运动。
二、刚体的位姿描述 若给定刚体上某一点的位置和该刚体在空间的姿 态，则这个刚体在空间完全定位。 设O 为刚体上任意一点，参考坐标OXYZ， O 在 O系中位置表示：
Ro = [xo yo zo]T
在刚体上建立动坐标系 O X Y Z ，动系坐标 轴的方向表示刚体的方 向。
三、齐次坐标
将一个n维空间的点用n+1维坐标表示，则该n+1维 坐标即为n维坐标的齐次坐标。
P = [a b c ]T 齐次坐标表示： P = [a b c w]T, w：比例因子。 普通坐标与齐次坐标的关系：一对多。
如:[12，8，4]、[6．4，2]和[3，2，1]均表示[3，2] 这一点的齐次坐标。
iA y0
设n, o, a分别代表动坐标轴的单位方向矢量 单位矢量在参考系O系上的方向余弦分别为。。。 动坐标系的方向用矩阵表示为：
nx ox ax
R ny
oy
a
y
nz oz az
R矩阵表示了刚体相对参考坐标系的姿态。
表示轴iA与轴 i0 的夹角
cos
i
Ai0
cos jAi0
cos k Ai0
0 1
0 0
20 0
T20
0 0 0
1
当S2是沿S0运动时用T2左乘 T10
练习：沿xi轴移动20形成S1，再绕zi轴转动90°形成系S2， 再沿z2移动10形成当前坐标系Sj，画出各坐标系并求Sj相对 于Si的位姿矩阵。
1 0 0 20
0 1 0 0
zi
解
T1
0 0
1 0
0 1
0
0
T2
1 0
算子左、右乘规则
若相对固定坐标系进行变换，则算子左乘；
若相对动坐标系进行变换，则算子右乘。 例：已知坐标系C和变换T：绕z轴旋转90，并沿x 轴方向平移10， 当相对基系和动系进行变换时， 坐标系C的位置？
已知坐标系C和变换T：绕z轴旋转90，并沿x轴方向平移10 当以基系进行变换时 左乘坐标系C，得新坐标系位置为P=TC：
例2 图示手部抓握物体Q，物体为边长2个单位的正立方体，写 出表达该手部位姿的矩阵式。
解 物体Q形心与手部坐标系的坐标原点O 相重合，
手部位置列阵为： P = [1 1 1 1]T
动系X 轴的单位方向矢量 n：
动系Y 轴的方向矢量 o： 动系Z 轴的方向矢量 a：
手部位姿矩阵为：
刚体的运动可分解为旋转和平移，旋转和平移的 描述可以用O系和O 系的齐次坐标变换矩阵来表 达，这是研究机器人运动姿态的基础。
1 0 0
0 0 1
10
0
0
换时，S2的位姿？
0 0 0
1
0
0
0
1
S1:先与S0重合，绕x0旋转90°再沿x0移动20
z0 z1
O0 O1 y1
x1 x0
z1 y0
x0
z0
y1
O0
y0 z1
O1
x1
x0
y1
z0
O0
y0
O1
x1
0 1 0 10
T2
1 0
0 0
0 1
0
0
0
0
0
1
第一种情况：沿动系S1变换
Trans(X，Y，Z)称为平移算子
1 0 0 X
Trans(X , Y , Z ) 0
1
0
Y
0 0 1 Z
0 0 0
1
第四列元素X、Y、Z分别表示沿坐标轴 X、Y、Z的移动量。
2. 旋转的齐次变换
点绕坐标轴的旋转变换
空间一点A (XA，YA，ZA)，当它绕Z轴旋转角后至A点 (XA，YA，ZA)。A点和A点的坐标关系为
X = [1 0 0 0 ]T Y = [0 1 0 0]T
Z = [0 0 1 0]T
四、齐次变换
连杆的运动是由转动和平移组成的,引入齐次坐标变换矩阵描 述刚体运动。
1.平移的齐次变换 空间一点A (XA，YA，ZA)，平移至A (XA，YA，ZA) ，A点和A 点的坐标关系为
或：
也可以简写为 A' Trans(X , Y, Z)A
y2 y0
O2 x2
z1
O1
z2
x0
x1
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 0 1 10
T20
1 0
0 1
0 0
20
0
0 0 0
1
y1
z0
O0
y2 y0
z1
O1
x0
x1
O2 x2 z2
0 1 0 30
T10T2
0 1
0 0
1 0
0 0
T20
0 0
0
0
0 0 1 10
T2 T10
1 0
X A X A cos YA sin
YA X A sin YA cos
Z A Z A
用矩阵表示为
X A cos
YA
sin
Z A 0
sin cos
0
0 X A
0 YA
1 Z A
用齐次坐标表示为
X A cos
YA
sin
Z
A
0
1 0
sin cos
0 0
S2与S1重合
绕z1旋转90°，沿x1移动10
y1
z0
y2
O0
y0
z1 z2 O1
O2
x2
x0
x1
y1
z0
x2
O0
y2
z1 z2 O1
O2
x0
x1
x2
y1
z0
y0
O0
y0
z1
y2 O1
z2 O2
0 1 0 30
T20
0 1
0 0
1 0
0
0
x0
x1
0 0
0
0
1 0 0 20
T10
0 0
0 1
1 0
y0
z1
y2 O1
z2 O2
x0
x1
当S2是沿动系运动时用T2右乘 T10
第二种情况：沿基系S0运动
y1
z0
S2与S1完全重合 再绕z0旋转90°再沿x0移动10
y2
O0
y0
0 1 0 10
T2
1 0
0 0
0 1
0
0
0 y1 0
0
1
y2
z0
O0
y0
z1 z2 O1
O2
x2
x0
x1
y1
z0
O0
当相对于坐标系C进行变换时 以T右乘坐标系C，得到新坐标系的位置Q=CT：
0 1 0 30
0 0 1 10 1 0 0 0
0 0
0
1
说明：
“0”表示参考 系的编号
点A在坐标系之间的齐次变换
PA0
点A在坐标系Sj的齐次矩阵表示
x
i A
y
i A
z
i A
1
nx ny
nz 0
1 0 0 0
Rot( X , ) 0 c s 0 0 s c 0
0 0 0 1
c 表示 cos
s 表示 sin
点绕过原点任意轴的一般旋转变换
旋转算子为
kX kX vers c kY kX vers kZ s kZ kX vers kY s 0
Rot(k, ) kX kY vers kZ s kY kY vers c kZ kY vers kX s 0
k
X
kY
vers
kY s
kY kZ vers kX s
kZ kZ vers c
0
0
0
0
1
式中：vers 1 cos
k
2 X
kY2
kZ2
1
上式为一般旋转齐次变换通式，它概括了绕X轴、Y轴及Z 轴进行旋转齐次变换的各种特殊情况 。
不仅适用于点的旋转变换，而且也适用于矢量、坐标系、 物体等的旋转变换计算。
机器人手部的位置和姿态 机器人手部的位置和姿态用固连于手部的动系 {B}的位姿来表示。 手部的中心点为动系原点OB
关节轴为ZB轴，单位矢量a为接近矢量，指向朝外。 手指的连线为YB轴，单位矢量o为姿态矢量，指向可 任意选定。
XB轴与YB轴及ZB轴垂直，单位矢量n为法向矢量，指 向符合右手法则。
手部的位置矢量：动系原点（x0，y0，z0） 手部的方向矢量：n, o, a 手部位姿的(4×4)矩阵表达式：
ox oy oz 0
ax ay az 0
px py pz 1
x
j A
y
j A
z
j A
1
Tji
x
j A
y
j A
z
j A
1
“A”表示被描 述系的编号
点A在坐标系Si的齐次矩阵表示
位姿矩阵 Tji：表示Sj 坐标系在Si 坐标系中的位姿
表示Sj在Si下的姿态
现以iA为基础建立编号为A的坐标系，
3个轴分别为 iA、 jA、 kA ：
cos i
Ai0
z0 jA
i
0 A
cos
i
A
j0
cos
i
Ak0
O0
cos
jAi0
j0A
cos
j
A
j0
cosk
Ai0
x0
k
0 A
cosk
A
j0
kA
cos
j
Ak0
cos
k
Ak0
第1章 机器人 学—数学基础
机器人本体结构
俯仰 肘转
肩转
滚转
腰、臂、肘产生 主运动，是机器 人的位置机构。 手腕具有多个自 由度，是机器人 的姿态机构，确 定空间方向。
腰转
末端执行器可以是各种夹持器，也可以是各种工具，如焊 枪、喷头等。操作时要求手部不仅能到达指定的位置，而 且要有正确的姿态。
一般将机器人简化成由连杆、 关节和末端执行器组成的空 间连杆开式链机构 。
坐标系{B}的(4×4)矩阵表达式：
连杆的位姿表示 若给定了连杆PQ上某点的位置和该连杆在空间的姿态， 则连杆在空间是完全确定的。 O为连杆上任一点，OXYZ为与连杆固接的一个动 坐标系，即为动系。 连杆PQ在固定坐标系OXYZ中的位置表示为
P = [xo yo zo]T
连杆的姿态可由动系的坐标轴方向来表示。 令n、o、a分别为X、Y、Z坐标轴的单位矢量 连杆的姿态以坐标形式表示为：
nx ox ax px
T
i j
n
y
nz 0
oy oz 0
ay az 0
py pz 1
R
i j
0
| |
Pji 1
表示Sj的坐标系原点在Si下位置
例5：已知坐标系S1的位 姿矩阵T1，当S1分别沿基 系0系和动系S1进行T2变
1
T10
0 0
0 0 1
0 1 0
20
0
0
0
T2
1 0
jA
R0 A
cos
i
A
j0
cos jA j0
cos
k
A
j0
z0
cos
i
Ak0
cos jAk0
cos
k
Ak0
iA OA
pA
O0
kA
y0
x0
刚体的位姿可用 4×4矩阵来描述：
T ny
n0z
ox x oy y oz z
00
px
py pz 1
R|P
0|
1
例1 图示固连于刚体的坐标系{B}位于0B点,xb＝10，yb＝5，zb ＝o。Zb轴与画面垂直，坐标系{B}相对固定坐标系{A}有一个 300的偏转，试写出表示刚体位姿的坐标系{B}的(4×4)矩阵表 达式。
0
0
0 0 0
1
0 1 0 10
T2
1 0
0 0
0 1
0
0
0
0
0
1
0 1 0 30
T20
0 1
0 0
1 0
0
0
0 0
0
0
0 1 0 30
T10T2
0 1
0 0
1 0
0 0
T20
0 0
0
0
0 0 1 10
T2
T10
1 0
0 1
0 0
20 0
T20
0 0 0
1
x2
y1
z0
O0
补充知识：旋转矩阵的两个正交性质
（1）R矩阵9个元素，3个是独立的，6个约束条件（正交条件）
n n o o a a 1，n o o a a n 0
n n nx2 n2y nz2 1 n o nxox nyoy nzoz 0
0 0 X A
0
0 YA
1
0
Z
A
0 1 1
简写为 A' Rot(Z， )A
式中：Rot(Z，)表示齐次坐标变换时绕Z轴的转动齐次
变换矩阵，又称旋转算子。旋转算子为：
c s 0 0
Rot(Z , ) s c 0 0
0 0 1 0
0
0 0 1
c 表示 cos s 表示 sin
同理，绕X轴转动的旋转算子和绕Y轴转动的旋转算子：
要研究机器人，首先分析运 动学和动力学。
把坐标系固连在机器人的每 一个连杆关节上，用变换来 描述这些坐标系之间的相对 位置和方向，进行机器人的 位姿分析。
n
2 1
一、坐标系 采用参考坐标系和关节坐标系描述机器人位姿。 参考坐标系：位置和方向不随机器人各关节的运 动而变化，用来定义机器人相对于其他物体的运 动以及机器人运动路径等。
齐次坐标（1 2 3 1）、（2 4 6 2）、（3 6 9 3） 均表示笛卡尔坐标下的空间点（1 2 3）
w = 1，为齐次坐标的规格化形式，即 P = [PX PY PZ 1]T
对于刚体位姿来说，采用齐次坐标和普通坐标没 有实质性的差别，却给矩阵运算提供了可行性和 方便性。 坐标轴的方向表示： i、j、k分别表示直角坐标系中X、Y、Z坐标轴的 单位矢量，用齐次坐标表示之，则有
0 0
0 0 1 0
Oi
yi
0 0 0
1
0 0 0 1 xi
1 0 0 0
T3
0 0
1 0
0 1
0
10
0 0 0
1
0 0 1 0
zj
z2
z1
zi
Oj
Oi
yi
yj y2