2020年高考数学(文)名校地市好题必刷全真模拟卷(解析版)

2020年高考数学（文）名校地市好题必刷全真模拟卷02
（考试时间：120分钟试卷满分：150分）
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
4．测试范围：高中全部内容．
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的）
1．若集合A={x|x2﹣2x﹣3＜0}，集合B={x|x＜1}，则A∩B等于（）
A．（1，3）B．（﹣∞，﹣1）
C．（﹣1，1）D．（﹣3，1）
【答案】C
【解析】A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，
则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），
故选：C．
2．若纯虚数z满足z（1﹣2i）=a+i，其中a∈R，i是虚数单位，则实数a的值等于（）
A．﹣2B．−1
2
C．2D．1
2
【答案】C
【解析】设z=bi（b≠0），
由z（1﹣2i）=a+i，得bi（1﹣2i）=a+i，
即2b+bi=a+i，
∴b=1，a=2．
故选：C ．
3．执行如图所示的程序框图，若输入t ∈[﹣1，3]，则输出s 的取值范围是（ ）
A ．[e ﹣
2，1] B ．[1，e ]
C ．[0，1]
D ．[e ﹣
2，e ]
【答案】C
【解析】由已知可得：程序框图的功能是计算并输出s ={e t−1，t ∈[−1，1)
log 3t ，t ∈[1，3]的值域，
当t ∈[﹣1，1）时，s =e t ﹣
1∈[e ﹣
2，1）， 当t ∈[1，3]时，s =log 3t ∈[0，1]， 故输出s 的取值范围是[0，1]， 故选：C ．
4.若l ，m 为两条不同的直线，α为平面，且l ⊥α，则“m ∥α”是“m ⊥l ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】由l ⊥α，“m ∥α”⇒m ⊥l ．反之不成立，可能m ⊂α． 因此“m ∥α”是“m ⊥l ”的充分不必要条件． 故选：A ．
5.设x ，y 满足约束条件{x −y +1≥0
x +2y −2≥04x −y −8≤0
，则z =|x +3y |的最大值为（ ）
A ．15
B ．13
C ．3
D ．2
【答案】A
【解析】由约束条件{x −y +1≥0
x +2y −2≥04x −y −8≤0
作出可行域如图，
联立{x −y +1=04x −y −8=0，解得A （3，4），
由图可知，z =|x +3y |=x +3y ，化为y =﹣x
3+z
3．
当直线y =﹣x
3+z
3过A 时，直线在y 轴上的截距最大，z 有最大值为15． 故选：A ．
6.已知三棱锥P ﹣ABC 所有顶点都在球O 的球面上，底面△ABC 是以C 为直角顶点的直角三角形，AB =2√2，P A =PB =PC =√3，则球O 的表面积为（ ） A ．9π B ．9π
4
C ．4π
D ．π
【答案】A
【解析】设AB 中点为D ，则D 为△ABC 的外心，因为P A =PB =PC =√3，易证PD ⊥面ABC ， ，所以球心O 在直线PD 上， 又P A =√3，AB =2√2， 算得PD =1，
设球半径为R ，则△AOD 中， （R ﹣1）2+2=R 2， 可得：R =3
2．
则球O的表面积S=4πR2=9π，
故选：A．
7.定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣2x+1，设函数g（x）=（1
）|x﹣1|
2
（﹣1＜x＜3），则函数f（x）与g（x）的图象所有交点的横坐标之和为（）
A．2B．4
C．6D．8
【答案】B
【解析】∵f（x+1）=﹣f（x），
∴f（x+2）=﹣f（x+1）=f（x），
∴f（x）的周期为2．
∴f（1﹣x）=f（x﹣1）=f（x+1），
故f（x）的图象关于直线x=1对称．
）|x﹣1|（﹣1＜x＜3）的图象关于直线x=1对称，
又g（x）=（1
2
作出f（x）的函数图象如图所示：
由图象可知两函数图象在（﹣1，3）上共有4个交点，
∴所有交点的横坐标之和为1×2×2=4．
故选：B．
8．在如图的平面图形中，已知OM =1，ON =2，∠MON =120°，BM →=2MA →，CN →=2NA →，则BC →⋅OM →
的值为（ ）
A ．﹣15
B ．﹣9
C ．﹣6
D ．0
【答案】C 【解析】
解法Ⅰ，由题意，BM →=2MA →，CN →=2NA →
，
∴BM MA =CN
NA =2，∴BC ∥MN ，且BC =3MN ，
又MN 2=OM 2+ON 2﹣2OM •ON •cos120°=1+4﹣2×1×2×（﹣1
2
）=7，
∴MN =√7； ∴BC =3√7， ∴cos ∠OMN =
OM 2+MN 2−ON 2
2OM⋅MN =2×1×√
7=√
7，
∴BC →
•OM →
=|BC →
|×|OM →
|cos （π﹣∠OMN ）=3√7×1×（﹣√
7）=﹣6． 解题Ⅱ：不妨设四边形OMAN 是平行四边形，
由OM =1，ON =2，∠MON =120°，BM →
=2MA →
，CN →
=2NA →
， 知BC →
=AC →
﹣AB →
=3AN →
﹣3AM →
=﹣3OM →
+3ON →， ∴BC →
⋅OM →
=（﹣3OM →
+3ON →
）•OM →
=﹣3OM →
2+3ON →
•OM →
=﹣3×12+3×2×1×cos120° =﹣6． 故选：C ．
9.若lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，则x的值等于（）
A．1B．0或1
8
C．1
8
D．log23
【答案】D
【解析】由lg2，lg（2x+1），lg（2x+5）成等差数列，
得2lg（2x+1）=lg2+lg（2x+5），
∴lg（2x+1）2=lg2（2x+5），即（2x+1）2=2•2x+10，
整理得：（2x）2=9，即2x=3，
∴x=log23．
故选：D．
10.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若2b cos B=a cos C+c cos A，b=2，则△ABC面积的最大值是（）
A．1B．√3
C．2D．4
【答案】B
【解析】（1）∵2b cos B=a cos C+c cos A，
∴可得：2sin B cos B=sin A cos C+sin C cos A=sin B，
∵sin B≠0，∴cos B=1
2
．B=60°
由余弦定理可得ac=a2+c2﹣4，
∴由基本不等式可得ac=a2+c2﹣4≥2ac﹣4，可得：ac≤4，当且仅当a=c时，“=”成立，
∴从而△ABC面积S=1
2
acsinB=√3，故△ABC面积的最大值为√3．
故选：B．
11.已知双曲线x2
a2﹣y
2
b2
=1（a＞0，b＞0）的一条渐近线截椭圆x2
4
+y2=1所得弦长为4√3
3
，则此双曲线的离心率等
于（）
A．√2B．√3
C．√6
2
D．√6
【解析】双曲线x 2
a 2﹣y 2
b 2=1（a ＞0，b ＞0）的一条渐近线不妨为：bx ﹣ay =0，则：{bx −ay =0
x 24
+y 2=1
，
消去y 可得：x =√a 2+4b 2，y =±
√a 2+4b 2
一条渐近线截椭圆x 24
+y 2=1所得弦长为4√3
3
， 可得：
4a 2+4b 2a +4b =43
，可得2a 2=b 2=c 2﹣a 2，
解得e =c
a
=√3．
故选：B ．
12.设函数f '（x ）是函数f （x ）（x ∈R ）的导函数，已知f '（x ）＜f （x ），且f '（x ）=f '（4﹣x ），f （4）=0，f （2）=1，则使得f （x ）﹣2e x ＜0成立的x 的取值范围是（ ） A ．（﹣2，+∞） B ．（0，+∞）
C ．（1，+∞）
D ．（4，+∞）
【答案】B 【解析】设F(x)=
f(x)e x
，则F′(x)=
f′(x)−f(x)
e x
＜0，
即函数F （x ）在R 上单调递减， 因为f '（x ）=f '（4﹣x ），
即导函数y =f '（x ）关于直线x =2对称，
所以函数y =f （x ）是中心对称图形，且对称中心（2，1）， 由于f （4）=0，即函数y =f （x ）过点（4，0），
其关于点（2，1）的对称点（0，2）也在函数y =f （x ）上， 所以有f （0）=2， 所以F(0)=
f(0)e 0
=2，
而不等式f （x ）﹣2e x ＜0即f(x)e x
＜2，
即F （x ）＜F （0）， 所以x ＞0，
故使得不等式f （x ）﹣2e x ＜0成立的x 的取值范围是（0，+∞）．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是．
【答案】∃x∈R，e x≤0
【解析】（因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题“∀x∈R，e x＞0”的否定是：∃x∈R，e x≤0．
故答案为：∃x∈R，e x≤0．
14.已知函数f（x）=2ln x和直线l：2x﹣y+6=0，若点P是函数f（x）图象上的一点，则点P到直线l的距离的最小值为．
【答案】：8
5
√5．
【解析】f′（x）=2
x
，
设与直线l平行且与函数f（x）的图象相切于点P（x0，y0）的直线方程为：2x﹣y+m=0，
则2
x0
=2，解得x0=1．∴P（1，0）．
∴点P到直线l的距离的最小值为切点P到直线l的距离d=
√5=8√5
5
．
故答案为：8
5
√5．
15.A是半径为R的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点B，连接AB，则弦AB的长度小于√3R的概率是
【答案】：2
3
．
【解析】如图，
设圆O的半径为R，当∠AOB=120°时，AB=√3R，
同理当∠AOC=120°时，AC=√3R．
∴在圆周上等可能地任取一点与点A连接，则所得弦长小于√3RR的概率为240°
360°=2 3，
16.已知三棱锥P -ABC 的四个顶点都在球O 的球面上，P A ＝PB ＝PC ，AB ＝2，BC
，AC ＝3，E ，F 分别为AC ，PB 的中点，EF ＝3
2
，则球O 的体积为_______ 【答案】
【解析】由已知可得︒=∠90ABC ，因PC PB PA ==，所以点P 在ABC ∆内的投影为ABC ∆的外心E ，所以⊥PE 平面ABC ，BE PE ⊥，
所以32==EF PB ，所以32
3
=PE ，又球心O 在PE 上，设r PO =，则222)2
3
()233(
r r =+-，所以3=r ，所以球O 体积，ππ34343==r V .
三、解答题：共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

（一）必考题：共60分。

17．（12分）
已知函数f(x)=sin(2x +π
6)+sin(2x −π
6)+cos2x +a （a ∈R ，a 为常数）． （Ⅰ）求函数的最小正周期； （Ⅱ）求函数的单调递减区间；
（Ⅲ）若x ∈[0，π
2]时，f （x ）的最小值为﹣2，求a 的值．
【解答】（I ）f(x)=2sin2xcos π6
+cos2x +a =√3sin2x +cos2x +a =2sin(2x +π
6
)+a
∴f （x ）的最小正周期，T =2πω=
2π2
=π
（II ）因为y =sin x 的减区间为：2kπ+π2
≤x ≤2kπ+3π2
，k ∈Z
所以2kπ+π
2
≤2x +π
6
≤2kπ+
3π2
即kπ+π6
≤x ≤kπ+
2π3
（k ∈Z ）时，函数f （x ）单调递减，
故所求区间为[kπ+π6，kπ+
2π3
](k ∈Z)
（III ）x ∈[0，π
2]时，2x +π
6∈[π
6，
7π
6
]∴x =π
2时 f （x ）取得最小值∴2sin (2⋅π
2+π
6)+a =−2×1
2+a =−2∴a =−1． 18．（12分）
34
如图，直三棱柱ABC -A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，CC 1的中点． (1)证明：平面AEF ⊥平面B 1BCC 1；
(2)若直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，求三棱锥F AEC 的体积．
证明 ∵△ABC 为正三角形，E 为BC 中点， ∴AE ⊥BC ，
∴又B 1B ⊥平面ABC ，AE ⊂平面ABC ，∴B 1B ⊥AE ， ∴由B 1B ∩BC ＝B 知，AE ⊥平面B 1BCC 1， 又由AE ⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面B 1BCC 1. (2)解 设AB 中点为M ，连接CM ，则CM ⊥AB ，
由平面A 1ABB 1⊥平面ABC ，且平面A 1ABB 1∩平面ABC ＝AB 知，CM ⊥面A 1ABB 1， ∴∠CA 1M 即为直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角， ∴∠CA 1M ＝45°.
易知CM ＝
3
2
×2＝3，在等腰Rt △CMA 中，AM ＝CM ＝3， 在Rt △A 1AM 中，A 1A ＝A 1M 2－AM 2＝ 2. ∴FC ＝12A 1A ＝22，又S △AEC ＝12×34×4＝3
2，
∴V 三棱锥F AEC ＝13×32×22＝6
12.
19．（12分）
随着科技发展，手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了．为了调查某地区高中生一周使用手机的频率，某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手
机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为[0，2）、[2，4）、[4，6）、[6，8）、[8，10）、[10，12）、
[12，14]，由此得到如图所示的频率分布直方图．
（1）求a 的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；
（2）从使用手机时间在[6，8）、[8，10）、[10，12）、[12，14]的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每层各应抽取多少人？
【解答】解：（1）由于小矩形的面积之和为1，则（a +0.075+4a +0.15+5a +0.05+0.025）×2=1，由此可得a =0.02． 该地区高中生一周使用手机时间的平均值为（1×0.02+3×0.075+5×0.08+7×0.15+9×0.1+11×0.05+13×0.025）×2=6.94．
（2）使用手机时间在[6，8）的学生有0.15×2×100=30人，使用手机时间在[8，10）的学生有0.02×5×2×100=20人，使用手机时间在[10，12）的学生有0.05×2×100=10人，使用手机时间在[12，14]的学生有0.025×2×100=5人，
故用分层抽样法从使用手机时间在[6，8），[8，10），[10，12），[12，14]的四组学生中抽样，抽取人数分别为13×3030+20+10+5=6，13×2030+20+10+5=4，13×1030+20+10+5=2，13×530+20+10+5=1．
20．（12分）
已知函数()ln (1)f x m x m x =+- ()m ∈R ．
（Ⅰ）当2m =时，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；
（Ⅱ）讨论()f x 的单调性；
（III ）若()f x 存在最大值M ，且0M >，求m 的取值范围．
【解答】 解：（Ⅰ）当2m =时，()2ln f x x x =+． 22()1x f x x x
+'=+=． 所以(1)3f '=．
又(1)1f =，
所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是13(1)y x -=-，
即320x y --=．
（Ⅱ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
(1)()1m m x m
f x m x x -+'=+-=．
当0m ≤时，由0x >知()10m
f x m x '=+-<恒成立，
此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递减．
当m ≥1时，由0x >知()10m
f x m x '=+->恒成立，
此时()f x 在区间(0,)+∞上单调递增．
当01m <<时，由()0f x '>，得1m
x m <-，由()0f x '<，得1m
x m >-，
此时()f x 在区间(0,)1m m -内单调递增，在区间(,)1m
m +∞-内单调递减．
（III ）由（Ⅱ）知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，
当0m ≤或m ≥1时，()f x 在区间(0,)+∞上单调，此时函数()f x 无最大值．
当01m <<时，()f x 在区间(0,)1m
m -内单调递增，在区间(,)1m
m +∞-内单调递减，
所以当01m <<时函数()f x 有最大值． 最大值()ln 11m
m
M f m m m m ==---．
因为0M >，所以有ln 01m m m m ->-，解之得e
1e m >+．
所以m 的取值范围是e
(,1)1e +．
21．（12分）
已知椭圆22
22:1x y C a b +=的短轴长等于焦距，椭圆C 上的点到右焦点F 1-．
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）过点(20)E ，且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于M 、N 两点，P 是点M 关于x 轴的对称点，证明：N F P 、、三点共线．
【解答】 (I)
由题可知：221b c
a
c =⎧⎪⎨-=⎪⎩
解得1a c ==，1b ∴=
∴椭圆C 的方程为2
2:12x C y +=
（II ）设直线l ：(2)y k x =-，11()M x y ，，22()N x y ，，11()P x y -，，(10)F ，， 由22(2)12y k x x y =-
⎧⎪⎨+=⎪⎩，
，得2222(21)8820k x k x k +-+-=.
所以2
122821k x x k +=+，212282
21k x x k -=+.
而
2222(1)(12)FN x y x kx k =-=--，，u u u r ，1111(1)(12)FP x y x kx k =--=--+u u r
，，
1221(1)(2)(1)(2)x kx k x kx k -----+Q 1212[23()4]k x x x x =-++
22221642442121k k k k k ⎛⎫
-=-+ ⎪++⎝⎭0=
//FN FP ∴uuu r uu r
∴N F P 、、三点共线
（二）选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所做的第一题计分。

22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．已知圆C 的极坐标方程为 ρ2﹣4√2ρcos （θ﹣π4）+6=0．
（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；
（2）若点P （x ，y ）在圆C 上，求x +y 的最大值和最小值．
【解答】解：（1）由ρ2−4√2ρcos(θ−π
4
)+6=0，得
ρ2−4√2ρ(cosθcosπ
4+sinθsinπ
4
)+6=0，
即ρ2−4√2ρ(√2
2cosθ+√2
2
sinθ)+6=0，
ρ2﹣4ρcosθ﹣4ρsinθ+6=0，
即x2+y2﹣4x﹣4y+6=0为所求圆的普通方程，整理为圆的标准方程（x﹣2）2+（y﹣2）2=2，令x﹣2=√2cosα，y﹣2=√2sinα．
得圆的参数方程为{x=2+√2cosα
y=2+√2sinα
（α为参数）；
（2）由（1）得：
x+y=4+√2(cosα+sinα)=4+2sin（α+π
4
），
∴当sin（α+π
4
）=1时，x+y的最大值为6，
当sin（α+π
4
）=﹣1时，x+y的最小值为2．
故x+y的最大值和最小值分别是6和2．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知不等式|x|+|x﹣3|＜x+6的解集为（m，n）．
（1）求m，n的值；
（2）若x＞0，y＞0，nx+y+m=0，求证：x+y≥16xy．【解答】（1）解：不等式|x|+|x﹣3|＜x+6，
当x≥3时，2x﹣3＜x+6，即x＜9，可得3≤x＜9；
当0＜x＜3时，3＜x+6，即x＞﹣3，可得0＜x＜3；当x≤0时，3﹣2x＜x+6，即x＞﹣1，可得﹣1＜x≤0．综上可得，原不等式的解集为（﹣1，9），
由不等式的解集为（m，n），
可得m=﹣1，n=9；
（2）证明：由（1）可得x＞0，y＞0，9x+y=1，
则1
x +1
y
=（9x+y）（1
x
+1
y
）=9+1+y
x
+9x
y
≥10+2√y
x
⋅9x
y
=16，
当且仅当y=3x=1
时，取得等号，
4
则x+y≥16xy．。