专题4.1 12道选择+4个填空-最新版备战高三数学考试万能工具包

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第四篇 考前必做小题，提前进入考试状态
专题01 12道选择+4个填空
一、选择题
1．已知集合{}
21M x x =<, {}
21x
N x =>，则M N ⋂=（ ）
A. ∅
B. {}
01x x << C. {}1x x < D. {}
1x x < 2．已知z ＝1－3i
3＋i
(i 为虚数单位)，则z 的共轭复数的虚部为( )
A ．－i
B ．i
C ．－1
D ．1
3．“0m <”是“方程22x my m +=表示双曲线”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4．如图，圆C 内切于扇形AOB ，∠AOB ＝π
3，若向扇形AOB 内随机投掷600个点，则落入
圆内的点的个数估计值为( )
A ．100
B ．200
C ．400
D ．450
5．已知双曲线的中心为原点， ()3,0F 是双曲线的一个焦点，520x y -=是双曲线的一条渐近线，则双曲线的标准方程为（ ）
A.
2214536x y -= B. 2213645x y -= C. 22154x y -= D. 22
145
x y -= 6．某程序框图如图所示，该程序运行后输出S 的值是(
)
A ．－3
B ．－12
C ．13
D ．
2
2
7．在△ABC 中，|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，则CB ―→·CA ―→
的值为( )
A ．3
B ．－3
C ．－92
D ．92
8．设{a n }是公差不为0的等差数列，满足a 2
4＋a 2
5＝a 2
6＋a 2
7，则{a n }的前10项和S 10＝( )
A ．－10
B ．－5
C ．0
D ．5
9．【2018江西省K12联盟联考】已知正三棱锥P ABC -内接于球O ，三棱锥P ABC -93
，且30APO ︒∠=，则球O 的体积为（ ）
A.
43π B. 43π C. 323
π D. 16π 10．【2018湖南省长沙市第一中学模拟】已知抛物线2:8C y x =的焦点为F ，准线与x 轴的交点为K ，点A 在抛物线C 上，且2AK =
，则AFK 的面积为 （ ）
A. 4
B. 6
C. 8
D. 12
11．已知双曲线C ： 22
221x y a b -=（0a >， 0b >）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过点1F 作圆
Ω： 2
2
2
4
a x y +=的切线l ，切点为M ，且直线l 与双曲线C 的一个交点N 满足122NF NF a -=，设O 为坐
标原点，若12QN OF OM +=
，则双曲线
C 的渐近线方程为（ ）学/科-*网 A. 3y x = B. 3y x =± C. 6
y x = D. 6y x =± 12．【2018山西省太原市实验中学模拟】已知数列{}n a 满足()2
*
1232n n a a a a n N =∈ ，且对任意*
n N
∈都有
12111
n
t a a a +++< ，则实数t 的取值范围为（ ） A. 1+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， B. 1,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭ C. 2+3⎛⎫∞ ⎪⎝⎭， D. 2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭
二、填空题
13．将4个男生和3个女生排成一列，若男生甲与其他男生不能相邻，则不同的排法数有__________种（用
3
数字作答）
14．若(
))
cos ,sin ,1a x x b ==
-
，且a b ⊥
，则tan2x =__________．
15．设实数x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪⎧
3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，
x ≥0，
y ≥0，若目标函数z ＝ax ＋by (a >0，b >0)的最大值为10，
则a 2
＋b 2
的最小值为________．
16．已知直线:10l x y +-=截圆()22
2
:0x y r
r Ω+=>14，点,M N 在圆Ω上，且直线
()():12130l m x m y m -'++-=过定点P ，若PM PN ⊥，则MN 的取值范围为__________．
【答案】
一、选择题 1． 【答案】B
【解析】因为{}
21M x x =< {}|11x x =-<<, {}21x
N x => {}
0x x =,所以
{}|01M N x x ⋂=<<，故选B.
2． 【答案】D
【解析】∵z ＝1－3i 3＋i ＝ 1－3i 3－i 3＋i 3－i ＝－10i 10＝－i ，∴z 的共轭复数z －
＝i ，其虚部为1.
3．
4． 【答案】C
4
【解析】 如图所示，作CD ⊥OA 于点D ，连接OC 并延长交扇形于点E ，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴R ＝r ＋2r ＝3r ，∴落入圆内的点的个数估计值为600·πr
2
16
π 3r 2＝400.
5． 【答案】D
【解析】∵双曲线的中心为原点，F (3,0)是双曲线的−个焦点，
∴设双曲线方程为22
22
19x y a a
-=-，a >0， 520x y -=是双曲线的一条渐近线，
295a -=
a 2
=4， ∴双曲线方程为
22
145
x y -=. 6．
7．
【答案】D
【解析】 由|AB ―→＋AC ―→|＝3|AB ―→－AC ―→|，两边平方可得|AB ―→|2＋|AC ―→|2＋2AB ―→·AC ―→＝3|AB ―→|2
＋3|AC ―→|2－6AB ―→·AC ―→，又|AB ―→|＝|AC ―→|＝3，∴AB ―→·AC ―→＝9
2
，学*/科-网
5
∴CB ―→·CA ―→＝(CA ―→＋AB ―→)·CA ―→＝CA ―→2＋AB ―→·CA ―→＝CA ―→2－AB ―→·AC ―→
＝9－92＝92.
8．
【答案】C
【解析】 由a 2
4＋a 2
5＝a 2
6＋a 2
7，可得(a 2
6－a 2
4)＋(a 2
7－a 2
5)＝0，即2d (a 6＋a 4)＋2d (a 7＋a 5)＝0，∵d ≠0， ∴a 6＋a 4＋a 7＋a 5＝0，∵a 5＋a 6＝a 4＋a 7，∴a 5＋a 6＝0， ∴S 10＝10 a 1＋a 10
2＝5(a 5＋a 6)＝0.
9． 【答案】C
【解析】
10． 【答案】C
【解析】过A 作准线2x =-的垂线，垂足为E ，则2
A E A F
A K ==，则在Rt AEK ∆，有45AKE ∠=︒，
从45AKF ∠=︒.在AKF ∆中，
sin sin sin AF AK AKF AFK AFK
==
∠∠∠，从而s i n 1AFK ∠=，又
6
()0,AFK π∠∈，从而2
AFK π
∠=
，故4AF p ==， 1
4482
AFK S ∆=
⨯⨯=，选C. 11． 【答案】C
【解析】12ON PF OM += ，故1ON OM OM PF -=- ，即1MN FM =
，故点M 为线段1F N 的中点，连接OM ，则OM 为12NF F ∆的中位线，且1
,2
a
O M O M F N =
⊥，故22N F OM
a ==，且2112,2F N F N NF NF a ⊥-= ，故点N 在双曲线C 的右支上， 13NF a ∴=，则在12Rt NF F ∆中，由
勾股定理可得， 2
2
2
12
12NF NF F F +=，即()()2
2
2
32a a c +=，解得22101c b a a
==+故6
b a =
，故双曲线C 的渐近线方程为6
y x =，故选C. 12． 【答案】
D
二、填空题 13．【答案】1440
【解析】2515353521440A A A A +⨯=。

14．【答案】3-【解析】
sin 0x x -=
，则tan x =，
7
所以22tan tan21tan 13
x x x =
==--15．【答案】25
13
【解析】由z ＝ax ＋by (a >0，b >0)得y ＝－a b x ＋z b ，∵a ＞0，b ＞0，∴直线y ＝－a b x ＋z b
的斜率为负．作出不等式组表示的可行域如图，
平移直线y ＝－a
b x ＋z b ，由图象可知当y ＝－a b x ＋z b
经过点A 时，直线在y 轴上的截距最大，此时z 也最大．
由⎩
⎪⎨
⎪⎧
3x －y －6＝0，x －y ＋2＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
x ＝4，y ＝6，即A (4,6)．
此时z ＝4a ＋6b ＝10，即2a ＋3b －5＝0，
即点(a ，b )在直线2x ＋3y －5＝0上，因为a 2
＋b 2
的几何意义为直线上的点到原点距离的平方，又原点到直线的距离d ＝
|－5|22
＋3
2
＝5
13
，故a 2＋b 2的最小值为d 2
＝2513.
16．【答案】
62,62⎡⎤⎣⎦
8
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