普通高等学校招生全国统一考试数学文试题(重庆卷, 解析版)

普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（重庆卷， 解
析版）
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.实部为-2，虚部为1 的复数所对应的点位于复平面的（ ）
.A 第一象限 .B 第二象限 .C 第三象限 .D 第四象限
【答案】B 【解析】
..1,2-(B 选）复数对应点
2.在等差数列{}n a 中,1352,10a a a =+=，则7a =（ ）
.5A .8B .10C .14D
【答案】B 【解析】
.
.861,35.102,217144531B d a a d d a a a a a a 选即=+=∴=+==∴==+=
3.某中学有高中生3500人，初中生1500人，为了解学生的学习情况，用分层抽样的方法从该校学生中抽取一个容量为n 的样本，已知从高中生中抽取70人，则n 为（ ）
.100A .150B .200C .250C
【答案】A 【解析】
..100,:70)15003500(3500A n n 选解得：按相同比例进行抽样==+∴
4.下列函数为偶函数的是（ ）
.()1A f x x =- 3.()B f x x x =+ .()22x x C f x -=- .()22x x
D f x -=+
【答案】D
【解析】
..,D D C B A 选为偶函数为奇函数，是非奇非偶函数，
5.执行如题（5）图所示的程序框图，则输出，的值为
.10A .17B .19C .36C
【答案】C 【解析】
.∴1995320C S 选=++++=
6.已知命题
:p 对任意x R ∈，总有||0x ≥； :"1"q x =是方程"20"x +=的根 则下列命题为真命题的是（ ）
.A p q ∧⌝ .B p q ⌝∧ .C p q ⌝∧ .D p q ∧
【答案】A 【解析】
..A A q p 选正确为假命题，为真命题，∴
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.12
B.18
C.24
D.30 【答案】C 【解析】
C
S S V 选几何体表的体积
的上部三棱锥后余下的；截掉高为，高原三棱柱：底面三角形三棱锥三棱柱∴2432
4
331-5243-354*3=•••••==
8.设21F F ，分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b y a x 的左、右焦点，双曲线上存在一点P 使得
,3|)||(|2221ab b PF PF -=+则该双曲线的离心率为（ ）
A.2
B.15
C.4
D.17 【答案】D 【解析】
.
,17,174,1∴,4,3-a 4∴3-)-(222222221D a
c
c b a b a c b a ab b ab b PF PF 选则令且解得====+====
9.若b a ab b a +=+则）（,log 43log 24的最小值是（ ）
A.326+
B.327+
C.346+
D.347+
【答案】D 【解析】
.
.3474327437)43)((,14343log 43log 4
log )
43(log )43(log 22224D a b b a a b b a a b b a b a a b ab
b a ab b a b a b a 所以，选即+=•+≥++=++=+=+=+∴=+=+=
+
10.已知函数]
1,1)()(,]1,0(,]0,1(,311
)(---=⎪⎩⎪
⎨⎧∈-∈-+=在（且m mx x f x g x x x x x f 内有且仅有两个不同的
零点，则实数m 的取值范围是（ ）
A.]21,0(]2,4
9(⋃-- B.]
21,0(]2,411(⋃-- C.]32,0(]2,4
9(⋃-- D.]
32,0(]2,411(⋃-- 【答案】A
【解析】
.
.
2]2
1
,0(∪]2-,49-(∈.49-]
1,0(∈,)0,1-(2-)0,1-(),2-0(21
)0,1-(),1,1(.
).1()(∴0--)()(A m x x y x m x f m mx x f x g 所以，选个交点时，有显然相切的斜率为与，过的斜率为，，点的斜率为点图像如图所示=+===
二、填空题
11.已知集合=⋂==B A B A 则},13,8,5,3,1{},8,5,3,2,1{______. 【答案】{3, 5, 13} 【解析】
A ∩B={3, 5, 13}
12.已知向量=⋅=--=b a b a b a
则，且的夹角为与,10||),6,2(60_________.
【答案】10 【解析】
10
.
103π
cos 10364cos θ||||∴3πθ,10||),6-2-(=•=••+=•=•===b a b a b a b a 所以，，
13. 将函数
()()⎪
⎭⎫ ⎝⎛
<≤->+=220sin πϕπωϕω，x x f 图像上每一点的横坐标缩短为原来的 一半，纵坐标不变，再向右平移6π的单位长度得到x y sin =的图像，则=
⎪⎭⎫ ⎝⎛6πf ______.
【答案】22
【解析】
22
)6π(2
2
4πsin )6π(∴2πφ≤2π-,6πφ,21ω∴)6π21sin()φωsin()(2)6π
sin(6πsin .=
=
=<==+=+=+==f f x x x f x y x y 所以，倍，则得到
，再把横坐标扩大为，得到左移把反向解题 0=+-a y x
14. 已知直线与圆心为C 的圆
044222=--++y x y x 相交于B A ，两点，且 BC AC ⊥，则实数a 的值为_________. 【答案】60,或
【解析】
60,∴60,2
3
2|2--1|.2
0-)2,1-(∴3),2,1-(Δ或，或解得又的距离到直线圆心半径心为等腰直角三角形，圆===+=
==+=a a a d r d a y x r ABC
15. 某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7:30—7:50之间到校，且每人在
该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为_____ （用数字作答）
【答案】329
【解析】
32
9
532
9
2020215
15.20≤,20≤,0≥,0≥,
≤520-020-0.分钟的概率为
至少早到所以，小王比小张到校之比，即是所求概率可行区域面积与总面积分，则据题有轴表示小张到校时间分，轴表示小王到校时间设几何概型=
••=+p y x y x x y y x
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分13分.（I ）小问6分，（II ）小问5分）
已知
{}n a 是首相为1，公差为2的等差数列，n S 表示{}n a 的前n 项和.
（I ）求n a 及n S ；
（II ）设{}n b 是首相为2的等比数列，公比q 满足()01442
=++-S q a q ，求{}n b 的通
项公式及其前n 项和n T . 【答案】
（I ）
+
∈==N n n S n a n n ,.1-22
（II ）+
•=•=N n T b n n n n ∈,32
-42,421
-
【解析】 （I ）
+
∈===+==+=∴==N n n S n a n n a a S n d n a a d a n n n
n n ,.1-22.1-2)1-(2,1,22111所以，由题知
（II ）
+
•=•=•=
==•=====++=++N n T b q q b T b q b b b q q q S q a q n n n n n n n n n n n n ∈,3
2
-42,423
2
-424-1)4-1(2-1)-1(,42∴,24,016)17(-∴0)1(-1
-11
-1-112442所以，解得
17. （本小题满分13分.（I ）小问4分，（II ）小问4分，（III ）小问5分）
20名学生某次数学考试成绩（单位：分）的频数分布直方图如下：
（I ）求频数直方图中a 的值；
（II ）分别球出成绩落在[)6050，
与[)7060，中的学生人数； （III ）从成绩在[)7050，
的学生中人选2人，求次2人的成绩都在[)7060，中的概率. 【答案】
（I ）0.005
（II ）2,3
（III ） 103
【解析】 （I ）
005
.0005
.01.0d
1
22a 3a 6a 7a ∴10,====•+++=a a d 所以，，解得组距由题知 （II ）
人
和的学生人数分别为与所以，成绩在的学生人数成绩在的学生人数成绩在32)70,60[)60,50[32010005.03203)70,60[,22010005.02202)60,50[=•••=••==•••=••=d a n d a m （III ）
10
3
)70,60[210
3
)70,60[2.3233)70,60[.10252中的概率为
人的成绩均在所以，所取中的概率人的成绩均在所取种人，共有人中任选人，从这共有成绩在种取法人，共有人中任选）知，从由（=
∴p
18.（本小题满分12分）
在ABC ∆中，内角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，且8=++c b a
（1）若
25
,2=
=b a ，求C cos 的值;
（2）若
C
A
B B A sin 22cos sin 2cos sin 22
=+，且ABC ∆的面积C S sin 29=，求a
和b 的值.
【答案】
（I ）51-
（II ）a=b=3
【解析】 （I ）
5
1
-cos .51-2-cos ,.278,25,2222==+==∴=++==C ab c b a C c c b a b a 所以，由余弦定理知
（II ）
3
3
∴69∴sin 2
9
sin 26
,2,84∴83⇒sin 3sin sin ⇒sin 4sin sin sin sin cos sin sin cos sin )1(cos sin )1(cos sin ⇒sin 4)11-2
cos 2(sin )11-2cos 2(sin ∴sin 22cos sin 2cos sin ΔABC 2222
=====+====+===++=+=+=++=+++=+++=+++=+b a b a b a ab C C ab S b a c c c b a c
b a C B A C C B A B A B A B A A B B A C A
B B A
C A B B A 所以，
19.（本小题满分12分）
已知函数
23ln 4)(--+=x x a x x f ，其中R a ∈，且曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切
线垂直于
x y 21=
（1）求a 的值；
（2）求函数)(x f 的单调区间和极值。

【答案】 （I ）45
（II ）5ln -)∞5()5,0(为，极大值，
，单调递增区间是单调递减是+ 【解析】 （I ）
4
5
-2)1(∴21211--41)(∴23-x ln -4)(2====′+=a f x y x x a x f x a x x f ，解得斜率为直线
（II ）
()5
ln -)∞5()5,0(5
ln -)5(5∴.)(,0)()5,0(∈)(∴,5,0)(041x )(5-(45-4x -1-45-41)(∴23-x ln -454)()1(2
222为，极大值，，单调递增区间是的单调递减是所以，时，有极大值当单调递减时，单调递增；相反，当解得令，）
知，由+==<′>>′>+===′+=x f f x x f x f x x f x x f x x
x x x x x x f x x x f
20.（本小题满分12分，（1）问4分，（2）问8分） 如题（20）图，四棱锥
P ABCD -中，底面是以O 为中心的菱形，PO ⊥底面ABCD ，
2,3AB BAD π
=∠=
，M 为BC 上一点，且
1
2BM =
.
（1）证明：BC ⊥平面POM ；
（2）若MP AP ⊥，求四棱锥P ABMO -的体积.
【答案】 （I ）省略
（II ） 165
【解析】 （I ）
POM
BC O OM PO BC PO BC BM OD OB B ABD BC
PO ABCD BC ABCD PO 面为正三角形，由题知，面面由题知，⊥∴∩BC,⊥OM ,⊥BC ⊥OM ∴4,CD Δ,Δ⊥∴⊂,⊥=== （II ）
16
5
-.
16
5
23)433(213131-2
3
433421.
4
3
,34
21
π32cos 2122-414Δ.∴⊥-2222222222222222的体积为
所以，四棱锥的高，体积是四棱锥，解得即中，在ABMO P PO S V ABMO P PO PO PO PO PO OM PO OM PO PM PO AO PO PA AM ABM PM PA AM AP MP ABMO ABMO P =•+•=••==
+++=+=+=+=+=+==
•••+=+= 21.
如题（21）图，设椭圆
22
221(0)x y a b a b +=>>的左右焦点分别为12
,F F ，点
D 在椭圆上，
112DF F F ⊥，121||22
||F F DF =，
12DF F ∆的面积为22.
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）是否存在圆心在y 轴上的圆，使圆在x 轴的上方与椭圆两个交点，且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在，求圆的方程，若不存在，请说明理由.
【答案】（I ） 1
y 2x
22
=+ （II ）
932)35-(22=+y x 【解析】 （I ）
1y 2
x
,,1b ,2a ,1c ∴.
b c a ,2222b 222b 22
22222222121211Δ21=+===+===•==•=•=椭圆方程为
所以且，c a
c DF F F c a OF DF S F DF
（II ）解析完成时间2014-6-12-qq-373780592
932
)35-(,9
32
)35-(∴.
)3
5
,0(,23414),1-2
r
,2r (
),1-2,0(,).0,1(),0,1-(.11-1-1,22222221=
+=
+==+y x y x P r y x P r r F F 其方程为圆所以，存在符合条件的圆的方程为点在第一象限，圆心坐标，解得代入椭圆方程中第一象限切点则圆心坐标设半径为符合题意，如图所示和切线的斜率分别为不符合题意，左右两条和别为左右两条切线的斜率分知，根据题意和对称性可假设存在符合条件的圆。