辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学校2017-2018学年高三上学期期末数学试卷(理科)Word版含解析

2017-2018学年辽宁省鞍山一中、东北育才中学、大连八中等学
校高三（上）期末数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题提供的四个选项中，只
有一项符合题目的要求）
1．已知集合A={x|x 2
﹣3x+2=0}，B={x|log x 4=2}，则A ∪B=（）
A ．{﹣2，1，2}
B ．{1，2}
C ．{﹣2，2}
D ．{2}
2．若复数z=（a 2
+2a ﹣3）+（a+3）i 为纯虚数（i 为虚数单位），则实数a 的值是（）
A ．﹣3
B ．﹣3或1
C ．3或﹣1
D ．1 3．已知向量
=（1，3），=（﹣2，m ），若
与
垂直，则m 的值为（
）
A ．﹣1
B ．1
C ．
D ．
4．直线x+（a 2
+1）y+1=0（a ∈R ）的倾斜角的取值范围是（）A ．[0，
]B ．[
，π）C ．[0，
]∪（
，π）D ．[
，
）∪[
，π）
5．若数列{a n }的通项公式是a n =（﹣1）n
（3n ﹣2）
，则a 1+a 2+…+a 10=（）
A ．15
B ．12
C ．﹣12
D ．﹣15
6．已知四棱锥P ﹣ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥
P ﹣ABCD 的四个侧面中面积最大
的是（
）
A ．6
B ．8
C ．
D ．3
7．如图是某算法的程序框图，若程序运行后输出的结果是27，则判断框①处应填入的条
件是（）
A．n＞2 B．n＞3 C．n＞4 D．n＞5
8．已知集合A={1，2，3，4}，B={5，6，7}，C={8，9}．现在从这三个集合中取出两个集合，再从这两个集合中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合，则一共可以组成多
少个集合（）
A．24个B．36个C．26个D．27个
9．如图，已知点P（2，0），正方形ABCD内接于⊙O：x2+y2=2，M、N分别为边AB、BC 的中点，当正方形ABCD绕圆心O旋转时，?的取值范围是（）
A．[﹣1，1]B．[﹣，]C．[﹣2，2]D．[﹣，]
10．已知双曲线：﹣=1，左右焦点分别为F1，F2，过F1的直线l交双曲线左支于A，B两点，则||+||的最小值为（）
A．B．11 C．12 D．16
11．已知球O半径为，设S、A、B、C是球面上四个点，其中∠ABC=120°，AB=BC=2，平面SAC⊥平面ABC，则棱锥S﹣ABC的体积的最大值为（）
A．B．C．D．3
12．已知函数f （x ）=x 3﹣3x 2
+1，g （x ）=
，则方程g[f （x ）]﹣a=0
（a 为正实数）的根的个数不可能为（）
A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个二、填空题（本大题共4小题，每小题
5分，共20分）
13．设a ＞0，b ＞0，若是3a
与3b
的等比中项，则
+
的最小值是
．
14．在（x 2
﹣
）5
的二项展开式中，x 的一次项系数是﹣10，则实数a 的值为
．
15．设[m ]表示不超过实数m 的最大整数，则在直角坐标平面xOy 上，则满足[x ]2
+[y ]2
=50
的点P （x ，y ）所成的图形面积为．
16．定义区间（c ，d ）、（c ，d ]、[c ，d ）、[c ，d ]的长度均为d ﹣c （d ＞c ），己知实数p ＞0，则满足不等式
+
≥
1的x 构成的区间长度之和为．
三、解答题（本大题共5小题，共60分）17．已知函数f （x ）=sin2x ﹣cos 2
x ﹣
，（x ∈
R ）（1）当x ∈[﹣
，
]时，求函数f （x ）的最小值和最大值；
（2）设△ABC 的内角A ，B ，C 的对应边分别为a ，b ，c ，且c=
，f （C ）=0，若向量
=
（1，sinA ）与向量
=（2，sinB ）共线，求a ，b 的值．
18．某地区试行高考考试改革：
在高三学年中举行
5次统一测试，学生如果通过其中
2次测
试即可获得足够学分升上大学继续学习，
不用参加其余的测试，
而每个学生最多也只能参加
5次测试．假设某学生每次通过测试的概率都是，每次测试通过与否互相独立．规定：若
前4次都没有通过测试，则第5次不能参加测试．
（Ⅰ）求该学生考上大学的概率．（Ⅱ）如果考上大学或参加完5次测试就结束，记该生参加测试的次数为ξ，求变量ξ的分
布列及数学期望
E ξ．
19．如图，在长方形
ABCD 中，AB=2，AD=1，E 为DC 的中点，现将△DAE 沿AE 折起，
使平面DAE ⊥平面ABCE ，连接DB ，DC ，BE ．（1）求证：BE ⊥平面ADE ；（2）求二面角E ﹣BD ﹣C 的余弦值．
20．已知F1、F2分别为椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的上、下焦点，其中F1也是抛物
线C2：x2=4y的焦点，点M是C1与C2在第二象限的交点，且|MF1|=．
（Ⅰ）求椭圆C1的方程；
（Ⅱ）当过点P（1，3）的动直线l与椭圆C1相交于两不同点A，B时，在线段AB上取点
Q，满足||=||，证明：点Q总在某定直线上．
21．设函数f（x）=+xlnx，g（x）=x3﹣x2﹣3．其中a∈R．
（1）当a=2时，求曲线y=f（x）在点P（1，f（1））处的切线方程；
（2）若存在x1，x2∈[0，2]，使得g（x1）﹣g（x2）≥M成立，求整数M的最大值；
（3）若对任意的s，t∈[，2]都有f（s）≥g（t）成立，求实数a的取值范围．
[选修4-1：几何证明选讲]（共1小题，满分10分）
22．选修4﹣1：几何证明选讲
如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，PA是过点A的直线，且∠PAC=∠ABC．（Ⅰ）求证：PA是⊙O的切线；
（Ⅱ）如果弦CD交AB于点E，AC=8，CE：ED=6：5，AE：EB=2：3，求sin∠BCE．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．（选做题）
在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+）=，圆C的参数方程为，（θ为参数，r＞0）
（Ⅰ）求圆心C的极坐标；
（Ⅱ）当r为何值时，圆C上的点到直线l的最大距离为3．
[选修4-5：不等式选讲]
24．设函数f（x）=|2x﹣1|+|2x﹣3|，x∈R．
（1）解不等式f（x）≤5；
（2）若的定义域为R，求实数m的取值范围．。