高考数学一轮复习9.1直线的倾斜角、斜率与直线的方程课件理新人教B版

2
,
2
,N
7+ 0 0 +3
2
,
2
.
5+ 0
因为点 M 在 y 轴上,所以
2
0 +3
因为点 N 在 x 轴上,所以
2
=0,所以 x0=-5.
=0,
所以 y0=-3,即 C(-5,-3),
所以 M 0,-
5
2
,N(1,0),


所以直线 MN 的方程为1 + 5=1,
-
即 5x-2y-5=0.
考点3
考点 3
直线方程的应用(多考向)
考向1 与均值不等式相结合的最值问题


例3若直线 + =1 (a>0,b>0)过点(1,1),则a+b的最小值等于

(
)
思考在求a+b的最小值时运用了什么数学方法?


1
1
将点(1,1)代入直线 + =1,得 + =1,a>0,b>0,故 a+b=(线的方程
(1)直线过点P1(x1,y1),垂直于x轴的方程为x=x1;
(2)直线过点P1(x1,y1),垂直于y轴的方程为y=y1;
(3)y轴的方程为x=0;
(4)x轴的方程为y=0.
知识梳理
考点自测
1
2
3
4
5
1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”.
(1)直线的倾斜角越大,其斜率越大.(
高考数学一轮复习9.1直线的倾
斜角、斜率与直线的方程课件理
新人教B版
知识梳理
考点自测
1.直线的倾斜角
(1)定义:x轴 正向 与直线 向上 方向之间所成的角叫做这
条直线的倾斜角.当直线与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角
为 0° .
(2)倾斜角的范围为 [0,π)
.
2.直线的斜率
(1)定义:一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率
联
系 的斜率越大.
③所有直线都有倾斜角,但不是所有直线都有斜率.

④当 α≠2 时,斜率 k=tan α,α∈[0,π).
2
考点1
考点2
考点3
对点训练1
(1)如图中的直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 (
A.k1<k2<k3 B.k3<k1<k2
C.k3<k2<k1 D.k1<k3<k2
关闭
∴k∈(-∞,-√3]∪[1,+∞).
(1)D
(2)B
(3)(-∞,-√3]∪[1,+∞)
解析
答案
考点1
考点2
考点3
考点 2
求直线的方程
例2(1)若直线经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上的截
距的2倍,则该直线的方程为
.
(2)若直线经过点A(- √3 ,3),且倾斜角为直线 √3 x+y+1=0的倾斜
-1
-2
(1)BC边所在直线的方程;
(1)因为直线
BC 经过 B(2,1)和 C(-2,3)两点,得 BC 的方程为3-1 = -2-2,
(2)BC边上中线AD所在直线的方程;
即 x+2y-4=0.
(3)BC边的垂直平分线DE的方程.
2-2
1+3
(2)设 BC 边的中点 D(x,y),则 x= 2 =0,y= 2 =2.
)
4
A.
1
-1,- 2
B.[-1,0]
1
,1
2
关闭
C.[0,1]
D.
由题意知 y'=2x+2,设 P(x0,y0),则 k=2x0+2.
π
思考直线方程与函数的导数的几何意义相结合的问题常见解法
因为曲线
C 在点 P 处的切线倾斜角的取值范围为 0, 4 ,所以 0≤k≤1,
是什么?
即
0≤2x0+2≤1.
2
考点1
考点2
考点3
思考求直线方程时应注意什么?
解题心得1.求直线方程时,应结合所给条件选择适当的直线方程
形式,并注意各种形式的适用条件.
2.涉及截距问题,还要考虑截距为0这一特殊情况.
考点1
考点2
考点3
对点训练2已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,0),B(2,1),C(-2,3),
求:
关闭
=1,
由图可观察出,直线 l 倾斜角 α 的范围是 0,
π
π
6
4
√3
3
√3
3
2π
π
4
∪
3π
4
,π .
(3)当 ≤α< 时, ≤tan α<1,∴ ≤k<1;当 ≤α<π 时,-√3≤tan α<0,
即-√3≤k<0.∴k∈
√3
,1
3
∪[-√3,0).
3
考点1
考点2
考点3
思考直线倾斜角和直线的斜率有怎样的关系?
)
关闭
(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)×
答案
知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
2.已知两点 A(-3,√3),B(√3,-1),则直线 AB 的斜率是(
A.√3
B.-√3
√3
C. 3
)
√3
D.- 3
关闭
斜率 k=
-1-√3
√3
=- 3 ,故选 D.
3-(-3)
√
关闭
D
解析
答案
知识梳理
考点自测
1
所以-1≤x0≤- .
2
关闭
A
解析
答案
考点1
考点2
考点3
考向3 与圆相结合的问题
例5(2017湖北武昌1月调研)已知直线l将圆C:x2+y2+x-2y+1=0平
分,且与直线x+2y+3=0垂直,则l的方程为
.
思考直线方程与圆的方程相结合的问题常见解法是什么?
关闭
1
直线 x+2y+3=0 的斜率 k=- ,则直线 l 斜率 k=2.
)
(2)过点M(a,b),N(b,a)(a≠b)的直线的倾斜角是45°.(
)
(3)若直线的斜率为tan α,则其倾斜角为α.(
)
(4)经过任意两个不同的点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线都可以用方程
(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示.(
)
(5)直线的截距即是直线与坐标轴的交点到原点的距离.(
解析
答案
知识梳理
1
考点自测
2
3
4
5
5.若过点P(1-a,1+a)与Q(3,2a)的直线的倾斜角为钝角,则实数a的
取值范围是
.
关闭
2-1-
-1
∵kPQ=tan θ= 3-1+ = +2<0,∴-2<a<1.
关闭
(-2,1)
解析
答案
考点1
考点2
考点3
考点 1
直线的倾斜角与斜率
例1(1)设直线l的方程为x+ycos θ+3=0(θ∈R),则直线l的倾斜角α
角的一半,则该直线的方程为
.
(3)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC的中点M在y轴上,BC的中
点N在x轴上,则直线MN的方程为
.
答案: (1)x+2y+1=0或2x+5y=0
(2) √3 x-y+6=0
(3)5x-2y-5=0
考点1
考点2
考点3
解析: (1)①当横截距、纵截距均为零时,设所求的直线方程为 y=kx,
(2)直线xsin α+y+2=0的倾斜角的范围是(
)
A.[0,π)
C.
π
0, 4
π
4
π
0, 4
B. 0,
∪
D.
∪
3π
,π
4
π
,π
2
)
考点1
考点2
考点3
(3)直线l过点P(1,0),且与以A(2,1),B(0,√3 )为端点的线段有公共点,
则直线l斜率的取值范围为
.
关闭
(1)直线 l1 的倾斜角 α1 是钝角,故 k1<0,直线 l2 与 l3 的倾斜角 α2 与 α3
2
将(-5,2)代入 y=kx 中,得 k=-5,
2
此时,直线方程为 y=-5x,即 2x+5y=0.
②当横截距、纵截距都不为零时,


设所求直线方程为2 + =1,
1
将(-5,2)代入所设方程,解得 a=- ,此时,直线方程为 x+2y+1=0.
2
综上所述,所求直线方程为 x+2y+1=0 或 2x+5y=0.
π
常用小写字母k表示,即k=tan α,倾斜角是 2 的直线没有斜率.
(2)过两点的直线的斜率公式
-
经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为 k= 2 1.
2 -1
知识梳理
考点自测
3.直线方程的五种形式
名称
几何条件
方
斜截式 纵截距,斜率
程
y=kx+b
的范围是(
)
A.[0,π)
π π
π 3π
B. 4 , 2
C. 4 , 4
π π
π 3π
D. 4 , 2 ∪ 2 , 4
(2)经过点P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总
有公共点,则直线l的倾斜角α的范围是
.
π π
2π
(3)若直线l的斜率为k,倾斜角为α,而 α∈ , ∪


BC 边的中线 AD 过 A(-3,0),D(0,2)两点,所在直线方程为-3 + 2 =1,即
2x-3y+6=0.
1
(3)由(1)知,直线 BC 的斜率 k1=-2,则直线 BC 的垂直平分线 DE 的斜率
k2=2.
所求直线方程为 y-2=2(x-0),即 2x-y+2=0.
答案
考点1
考点2
(2)由√3x+y+1=0 得此直线的斜率为-√3,
所以倾斜角为 120°,从而所求直线的倾斜角为 60°,
故所求直线的斜率为√3.
又直线过点 A(-√3,3),所以所求直线方程为 y-3=√3(x+√3),即
√3x-y+6=0.
考点1
考点2
考点3
(3)设 C(x0,y0),则
M
5+ 0 0 -2
均为锐角,且 α2>α3,所以 0<k3<k2,因此 k1<k3<k2,故选 D.
(2)设倾斜角为 θ,则有 tan θ=-sin α,其中 sin α∈[-1,1].
π
3
又 θ∈[0,π),所以 0≤θ≤ 4 或 4π≤θ<π.
1-0
√3-0
(3)如题图,∵kAP=2-1=1,kBP= 0-1 =-√3,

1





关闭
1

+

=2+ + ≥2+2=4,当且仅当 a=b=2 时等号成立,故 a+b 的最小值
为 4.
关闭
C
解析
答案
考点1
考点2
考点3
考向2 与函数的导数的几何意义相结合的问题
例4设P为曲线C:y=x2+2x+3上的点,且曲线C在点P处的切线倾斜
角的范围为 0, π ,则点P的横坐标的取值范围为(
2
1
∵圆 C:x2+y2+x-2y+1=0 的圆心坐标为 - 2 ,1 ,
1
∴所求的直线方程为 y-1=2 + 2 ,即 2x-y+2=0.
关闭
2x-y+2=0
解析
答案
考点1
考点2
考点3
解题心得1.在求a+b的最小值时运用了“1”的代换的数学方法;
2.解决与函数导数的几何意义相结合的问题,一般是利用导数在
,π ,则k的取
6 4
3
值范围是
.
π
答案: (1)C (2) 0, 4 ∪
3π
4
,π
(3)[-√3,0)∪
√3
,1
3
考点1
考点2
考点3
π
解析: (1)当 cos θ=0 时,方程变为 x+3=0,其倾斜角为2 ;
1
当 cos θ≠0 时,由直线方程可得斜率 k=-cos .
∵cos θ∈[-1,1],且 cos θ≠0,
切点处的值等于切线的斜率来求解相关问题;
3.直线方程与圆的方程相结合的问题,一般是利用直线方程和圆
的方程的图象找到它们的位置关系求解.
考点1
考点2
考点3
对点训练 3(1)过点 P(-√3,-1)的直线 l 与圆 x2+y2=1 有公共点,
则直线 l 的倾斜角的取值范围是(
)
π
A. 0, 6
π
π
B. 0, 3
π
C. 0, 6
D. 0, 3
(2)已知 A(3,0),B(0,4),直线 AB 上一动点 P(x,y),则 xy 的最大值
是
.
1
(3)已知曲线 y=e +1,则在曲线的切线中斜率最小的直线与两坐
∴k∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
即 tan α∈(-∞,-1]∪[1,+∞),
又 α∈[0,π),
π π
∴α∈ 4 , 2 ∪
π 3π
2
,
4
.
综上可知,倾斜角 α 的范围是
π 3π
4
,
4
,故选 C.
考点1
考点2
考点3
(2)如图所示,
kPA=
-2-(-1)
1-0
=-1,kPB=
1-(-1)
2-0
点斜式 过一点,斜率
y-y0=k(x-x0)
-1
=
-1
2 -1
两点式 过两点
2 -1
截距式 纵、横截距

+ =1

一般式
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
适用条件
与 x 轴不垂直的直线
与两坐标轴均不垂直
的直线
不过原点,且与两坐标
轴均不垂直的直线
平面内所有直线都适
用
知识梳理
1
2
3
4
5
3.如果A·C<0,且B·C<0,那么直线Ax+By+C=0不经过(
A.第一象限 B.第二象限C.第三象限D.第四象限