2017-2018学年高二下学期期末三校联考理科数学试卷 含答案

2018学年高二下学期期末省实、广雅、佛山一中三校联考
理科数学
命题学校：广东实验中学
2018年6月
本试卷共4页，22小题，满分150分，考试时间150分钟。

注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色笔迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、考号填写在答题卷上。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

3．作答选做题时，请先用2B 铅笔填涂选做题的题组号对应的信息点，再作答。

漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

第一部分选择题（共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的． 1．设集合{|06}A x x =≤≤，集合2
{|3280}B x x x =+-≤，则A
B =（ ）
A ．4[0,]3
B ．4[2,]3
- C ．[0,6] D ．[2,6]- 2．若12z i =+，则
41
i
zz =-（ ） A ．1 B ．i C ．-1 D ．-i 3．设随机变量~(2,9)N ζ，若()(2)P c P c ξξ>=<-，则c 的值是（ ） A ． 1 B .2 C .3 D . 4
4.已知实数,x y 满足1x y
a a <<（01a <<），则下列关系式恒成立的是（ ）
A ．
221111x y >++
B .22ln(1)ln(1)x y +>+
C ．sin sin x y >
D .22
x y > 5．将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张.如果分给同一
人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是 （ ） A ．24 B . 96 C .144 D . 210 6.已知等比数列{}n a 中，各项都是正数，且1321,
,22a a a 成等差数列，则91078
a a
a a +=+（ ） A
B
．3-C ．
3+D
A . 4
B . 7
3
C . 3
D . 2
10.设F 1，F 2分别为双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点，
双曲线上存在一点P 使得b PF PF 32
1=+，ab PF PF 4
9
21=⋅，则该双曲线的离心率为（ ）
A .43
B .3
C .94
D .53
11．如图，一个正五角星薄片（其对称轴与水面垂直）匀速地升出水面，记
t 时刻五角星露出水面部分的图形面积为()S t ,且((0)0)S =，
则导函数'()y S t =的图像大致为（ ）
A. B. C. D. 12.设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ln ,01,
ln ,1,x x x x -<<⎧⎨
>⎩
图象上点P 1，P 2处的切线，l 1与l 2垂直
相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是（ ） A ．)1,0( B ．)2,0( C ．),0(+∞ D ．),1(+∞
第二部分非选择题（90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量,a b 夹角为45︒ ，且1,210a a b =-=；则_____b = 14.72)()(y x y x +-的展开式中63y x 的系数为 (用数字作答)
15.记不等式组⎪⎩
⎪
⎨⎧≤+≥+≥43430y x y x x 所表示的平面区域为D ，若直线y ＝a (x ＋1)与D 有公共点，则a
的取值范围是________. 16.在平面内，定点
A
、B 、
C 、D
满足：
==，
2-=⋅=⋅=⋅DA DC DC DB DB DA ，动点P 、M 满足：AP =1，PM =MC ，则
BM 的最大值是 .
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17.（本题满分10分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为c
b a ,,，已知
cos (cos sin )cos 0C A A B +=．
（1）求角B 的大小；
（2）若1b c =
=，求ABC ∆的面积．
18.（本题满分10分）正项数列{}n a 的前项和n S 满足:2
22(1)()0n n S n n S n n -+--+=
（1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）令22
1(2)n n
n b n a +=
+,数列{}n b 的前n 项和为n T .证明:对于任意的*
n N ∈,都有564
n T <
. 19.（本题满分12分）为了增强环保意识，省实社团从男生中随机抽取了60人，从女生中
随机抽取了50人参加环保知识测试,统计数据如下表所示：
（1）试判断是否有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关； （2）为参加广州市举办的环保知识竞赛，学校举办预选赛，已知在环保测试中优秀的同
学通过预选赛的概率为
3
2
，现在环保测试中优秀的同学中选3人参加预选赛，若随机变量X 表示这3人中通过预选赛的人数，求X 的分布列与数学期望.
A
B
C
D
E
F
附:2
K ＝2
()
n ad bc -
20.（本题满分12分）已知梯形BDEF 所在平面垂直于平面ABCD 于BD ,EF ∥BD ,
1
2
EF DE BD ==
,2BD BC CD =====,DE BC ⊥. （1）求证：DE ABCD ⊥平面；
（2）求平面AEF 与平面CEF 所成的锐二面角的余弦值. 21.（本题满分12分）已知椭圆C 的中心在坐标原点，离心率e =
，且其中一个焦点与抛物线2
14
y x =的焦点重合． （1）求椭圆C 的方程；
（2）过点1,03S ⎛⎫- ⎪⎝⎭
的动直线l 交椭圆C 于,A B 两点，试问：在坐标平面上是否存在一
个定点T ，使得无论l 如何转动，以AB 为直径的圆恒过点T ？若存在，求出点T 的坐标；若不存在，请说明理由．
22.（本题满分14分）已知函数)(,ln )(2R a x x a x f ∈-=. （1）求函数)(x f 的单调区间；
（2）若1>x 时，0)(≤x f 恒成立，求实数a 的取值范围；
（3）设0>a ，若),(11y x A ，),(22y x B 为曲线)(x f y =上的两个不同点，满足
210x x <<，且),(213x x x ∈∃，使得曲线)(x f y =在3x x =处的切线与直线AB
平行，求证：2
2
13x x x +<
．
2018学年高二下学期期末省实、广雅、佛山一中三校联考
理科数学答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1～12 DBCAB CAADD A A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．
13.
14. 0 15. ⎣⎡⎦⎤12，4 16. 72
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）
解：（1
）由已知得cos()cos cos cos 0A B A B A B -++-=——1分
即sin sin cos 0A B A B = ——2分 因为sin 0A ≠
，所以sin 0tan B B B =⇒=3分 因为0B π<< ——4分 所以3
B π
=
——5分
（2）因为2222cos b a c ac B =+-⋅ ——6分
所以231a a =+-，即220a a --=⇒2a = ——8分
所以11sin 2122ABC S ac B ∆=
=⋅⋅=
——10分 18.（本题满分10分）
解:（1）由222
(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0n n S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.——2分由
于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+. ——3分 当1n =时，112a S == ——4分 当2n ≥221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=. ——5分综上可知,数列{}n a 的通项公式2n a n =. ——6分
（2）证明：由于22
1
2,(2)n n n
n a n b n a +==
+. 所以222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤
+=
=-⎢⎥++⎣⎦
. ——8分222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤
=
-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦
…
2222
1111115
1(1)162(1)(2)16264
n n ⎡⎤=
+--<+=⎢⎥++⎣⎦. ——10分 19.（本题满分12分）
解：（1）2
2
110(40302020)7.8260506050
K ⨯-⨯=≈⨯⨯⨯ ——2分
因为27.822 6.635K ≈> 2( 6.635)
0.
01P K >= ——3分 所以有99%的把握认为环保知识是否优秀与性别有关. ——4分 （2）X 的可能取值为0,1,2,3 ——5分
27
1)31()0(3=
==X P ， ——6分
9
2)31)(32()1(2
13===C X P ——7分
9
4)32)(31()2(223===C X P ——8分 27
8)32()3(3=
==X P ——9分
X
因为~(3,)3
X B ， ——11分
所以2
()323
E X np ==⨯= ——12分
20．（本题满分12分） 解：（1）连接AC 交BD 于O ，
BD BC CD == 且,AB AD =
AC BD ∴⊥ ——2分
因为平面B D E F ⊥平面A B C D ，交线为BD ，且AC ⊂平面A B C D AC ∴⊥平面BDEF ——4分
DE ⊂平面BDEF ，DE AC ∴⊥
又DE BC ∴⊥且AC BC C =,DE ∴⊥平面ABCD ——6分
（2）
1
//,,2
EF BD EF BD =且O 是BD 中点，ODEF ∴是平行四边形
//,OF DE OF ∴∴⊥平面ABCD ——8分
分别以,,OA OB OF 为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系
(1,0,0),C(1,1),F(0,0,1)A -
设平面AEF 的法向量(,,)m x y z =，
由00
m AF m EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩得(1,0,1)m = ——9分 设平面CEF 的法向量(,,)n x y z =，
由00
n CF n EF ⎧=⎪⎨=⎪⎩
得(1,0,n =——10分 所以6cos ,m n m n m n
-<>=
=
即平面AEF 与平面CEF ——12分 21．（本题满分12分）
解：（1
）设椭圆的方程为()22
2210x y a b b a +=>>，离心率22
c e a ==
，—1分 又抛物线2
14
y x =
的焦点为()0,1，所以1,1c a b ===， ——2分 ∴椭圆C 的方程是2
2
12
y x +=. ——3分 （2）若直线l 与x 轴重合，则以AB 为直径的圆是2
2
1x y +=，若直线l 垂直于x 轴，
则以AB 为直径的圆是2
211639x y ⎛
⎫++= ⎪⎝
⎭. ——4分
由222
2
1,
116,
39x y x y ⎧+=⎪⎨⎛⎫++=⎪ ⎪⎝
⎭⎩解得1,0.x y =⎧⎨=⎩即两圆相切于点()1,0. ——5分 因此所求的点T 如果存在，只能是()1,0. ——6分 当直线l 不垂直于x 轴时，可设直线1:3l y k x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭
. ——7分
由221,31,2
y k x y x ⎧⎛⎫=+ ⎪⎪⎪⎝⎭⎨⎪+=⎪⎩消去y 得()22222122039k x k x k +++-=. ——8分 设()()1122,,,A x y B x y ，则21222
12223,2
129.2k x x k k x x k ⎧
-⎪+=⎪⎪+⎨⎪-⎪=⎪+⎩
——9分
又因为()()11221,,1,TA x y TB x y =-=-，
()()121211TA TB x x y y ∴⋅=--+ ——10分
()()()222121222
2222211111
391221193111
2329
k x x k x x k k k
k k k k k ⎛⎫
=++-+++ ⎪⎝⎭
--⎛⎫=+⋅+-⋅++ ⎪++⎝⎭ 0,= ——11分
TA TB ∴⊥,即以AB 为直径的圆恒过点()1,0T .
故在坐标平面上存在一个定点()1,0T 满足条件. ——12分
22.（本题满分14分）
解：（1）∵函数R a x x x a x f ∈>-=,0,ln )(2
∴x
a
x x x a x f +-=-=2'
22)(； ——1分
当0≤a 时，0)('<x f 恒成立，∴)(x f 在定义域上是减函数； ——2分 当0>a 时，⇒>0)('x f 220a x <
<，∴)(x f 在)2
2,0(a
上是增函数； ⇒<0)('x f 2
2a
x >
，∴)(x f 在)22(∞+，a 上是减函数；——3分
综上所得，①0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞；
②0>a 时，)(x f 的减区间是)22(
∞+，a ，增区间是)2
2,0(a ；——4分 （2）∵01)1(<=-f ，由（1）可知，0≤a 时，)(x f 的减区间是),0(+∞，
∴0)1()(<<f x f 恒成立，则0≤a 满足题意； ——5分
当0>a 时，)(x f 的减区间是)22(
∞+，a ，增区间是)2
2,0(a
； ①若
12
2≤a
，即20≤<a 时)(x f 在),1(+∞上是减函数，∴20≤<a 满足题意；—6分 ②当
12
2>a ，即2>a 时，)22()(a f x f ≤，令0)22(≤a
f ， 即0)2
2(22ln
2
≤-⋅a a a ，解得e a 2≤，即e a 22≤<满足题意； ——7分 综上所得，a 的取值范围是e a 2≤； ——8分
（3）∵1
212121
2
1
22
112221212))((ln
)ln ()ln (x x x x x x x x a x x x x a x x a x x y y k AB
-+--=----=--=
=
)(ln 121
212x x x x
x x a +--；
又∵333'2)(x x a x f -=
，∴33
1212122)(ln x x a x x x x x x a -=+-- ——9分
∵x x
a
x f 2)('
-=
在),0(+∞上是减函数， ∴要证：2
213x x x +<，即证：)2()(2
1'3'x x f x f +>， ——10分 即证：
)(2)(ln 212
1121212x x x x a
x x x x x x a +-+>+--，
即证：
2ln 1
2
1221>-+x x x x x x ⇔2ln 11121
21
2>-+
x x x x x x ——12分 令11
2
>=
x x t ，即证：)1(2ln )1(->+t t t 在()+∞∈,1t 恒成立 令)1(2ln )1()(--+=t t t t F ，01
11)(,11ln )(22
'
''>-=-
=-+=t
t t t t F t
t t F ∴)('t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(''=>F t F
∴函数)(t F 在()+∞∈,1t 上单调递增，0)1()(=>F t F 恒成立， 即)1(2ln )1(->+t t t 成立，故2
2
13x x x +<得证. ——14分。