第四章对偶单纯形法
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1 3 、 若 检 验 数 C CB N 中 至 少 有 一 个 分 量 0 ,且 该 分 量 对 应 N B
的 列 向 量 中 至 少 有 一 个 分 量 0 ,则 存 在 更 好 的 基 本 可 行 解
做 换 基 迭 代 : 在 迭 代 过 程 中 ， 始 终 保 持 对 应 的 基 本 解 可 行
1 1 即 X B b 0 , 并 使 检 验 数 C C B 中 0 的 分 量 B N B N 1 个 数 越 来 越 少 ， 最 终 C C B 0 N B N
08.03.2019
4
如果得到的基本解的分量皆非负(B-1b ≥ 0)则该基 本解为最优解。
6
例：求 min Z 2 x 1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x 3x 6 2 s .t 1 x1 2 x 2 3 x1 , x 2 0
m a x Z 2 x1 x 2 3 x1 x 2 x 3 3 4x 3x x 6 2 4 s .t 1 x1 2 x 2 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
max Z 2 x1 x 2 Mx 6 Mx 7 3 x1 x 2 x3 x 6 3 4 x 3x x x 6 2 4 7 s.t 1 x1 2 x 2 x5 3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 0
08.03.2019
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用对偶单纯形法解下列问题：
m a x Z 2 x1 x 2 s .t x1 x 2 x3 5 2 x2 x3 5 4 x2 6 x3 9 x1, x 2 , x3 0
min Z 4 x1 12 x 2 18 x 3 x1 3 x 3 3 s .t 2 x1 2 x 3 5 x，x ，x 0 1 2 3
1
X ,0 结束 0 B b
1
（2）若B-1b≥0，
记 B b b , b , , b 1 2 m
则问题无可行解。 若 存 在 某 个 b 0 , 且 a 0 j r j
08.03.2019
8
3、换基迭代： （1）确定出基变量：
0 设 b m b in | b r i i
在B-1b 〈0和检验数非正的情况下如何求解？
08.03.2019
5
对偶单纯形法应用前提
有一个基，其对应的基满足:单纯形表的检验数 行全部非正；变量取值至少有一个负数。
优点： 不需要人工变量； 当变量多于约束时，可减少迭代次数； 在灵敏度分析中，用对偶单纯形法处理简化。
08.03.2019
X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 X4 -2 -1 0 -3 -1 1 -4 -3 0 0 0 1 0 0 0 Z -3 -6
X5
08.03.2019
1
2
0
0
1
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对偶单纯形法应用步骤
1、找出一个初始对偶可行解。即找出一个基B， 目标函数的系数均≤0 2、判断：
（1）若B-1b≥0，则得到最优解
所在行的基变量出基 则取 br
（2）确定入基变量
i i 0 设 m in | a 0 , 则取 xi0 为入基变量 r i a r i r i a 0
4 、以 a 为主元素进行换基迭代 ，得一新的单纯 转 2 ri 0
08.03.2019
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08.03.2019
对偶单纯形法
江文奇博士
南京理工大学经济管理学院管理工程系
Email: wqjiang_8@
Байду номын сангаас
08.03.2019
1
授课内容
单纯形法的求解条件
对偶单纯形法的应用前提
对偶单纯形法的应用步骤
08.03.2019
2
单纯形法求解条件
问题为标准型；有初始基本可行解
求 min Z 2 x 1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x 3x 6 2 s .t 1 x1 2 x 2 3 x1 , x 2 0
讨论一般单纯形问题解的情况？？
08.03.2019 3
1 1 、 若 所 有 的 检 验 数 C B N 0 ,则为 X 优 解 N 1 最 1 2 、 检 验 数 C CB N 中 存 在 一 个 分 量 0 ,且 该 分 量 对 应 的 列 N B
向 量 中 所 有 的 分 量 0 ,则 目 标 函 数 值 在 可 行 解 域 内 无 上 界
的 列 向 量 中 至 少 有 一 个 分 量 0 ,则 存 在 更 好 的 基 本 可 行 解
做 换 基 迭 代 : 在 迭 代 过 程 中 ， 始 终 保 持 对 应 的 基 本 解 可 行
1 1 即 X B b 0 , 并 使 检 验 数 C C B 中 0 的 分 量 B N B N 1 个 数 越 来 越 少 ， 最 终 C C B 0 N B N
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如果得到的基本解的分量皆非负(B-1b ≥ 0)则该基 本解为最优解。
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例：求 min Z 2 x 1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x 3x 6 2 s .t 1 x1 2 x 2 3 x1 , x 2 0
m a x Z 2 x1 x 2 3 x1 x 2 x 3 3 4x 3x x 6 2 4 s .t 1 x1 2 x 2 x 5 3 x1 , x 2 , x 3 , x 4 , x 5 0
max Z 2 x1 x 2 Mx 6 Mx 7 3 x1 x 2 x3 x 6 3 4 x 3x x x 6 2 4 7 s.t 1 x1 2 x 2 x5 3 x1 , x 2 , x3 , x 4 , x5 , x6 , x7 0
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用对偶单纯形法解下列问题：
m a x Z 2 x1 x 2 s .t x1 x 2 x3 5 2 x2 x3 5 4 x2 6 x3 9 x1, x 2 , x3 0
min Z 4 x1 12 x 2 18 x 3 x1 3 x 3 3 s .t 2 x1 2 x 3 5 x，x ，x 0 1 2 3
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X ,0 结束 0 B b
1
（2）若B-1b≥0，
记 B b b , b , , b 1 2 m
则问题无可行解。 若 存 在 某 个 b 0 , 且 a 0 j r j
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3、换基迭代： （1）确定出基变量：
0 设 b m b in | b r i i
在B-1b 〈0和检验数非正的情况下如何求解？
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对偶单纯形法应用前提
有一个基，其对应的基满足:单纯形表的检验数 行全部非正；变量取值至少有一个负数。
优点： 不需要人工变量； 当变量多于约束时，可减少迭代次数； 在灵敏度分析中，用对偶单纯形法处理简化。
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X1 X2 X3 X4 X5 检 X3 X4 -2 -1 0 -3 -1 1 -4 -3 0 0 0 1 0 0 0 Z -3 -6
X5
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对偶单纯形法应用步骤
1、找出一个初始对偶可行解。即找出一个基B， 目标函数的系数均≤0 2、判断：
（1）若B-1b≥0，则得到最优解
所在行的基变量出基 则取 br
（2）确定入基变量
i i 0 设 m in | a 0 , 则取 xi0 为入基变量 r i a r i r i a 0
4 、以 a 为主元素进行换基迭代 ，得一新的单纯 转 2 ri 0
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对偶单纯形法
江文奇博士
南京理工大学经济管理学院管理工程系
Email: wqjiang_8@
Байду номын сангаас
08.03.2019
1
授课内容
单纯形法的求解条件
对偶单纯形法的应用前提
对偶单纯形法的应用步骤
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单纯形法求解条件
问题为标准型；有初始基本可行解
求 min Z 2 x 1 x 2 3 x1 x 2 3 4 x 3x 6 2 s .t 1 x1 2 x 2 3 x1 , x 2 0
讨论一般单纯形问题解的情况？？
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1 1 、 若 所 有 的 检 验 数 C B N 0 ,则为 X 优 解 N 1 最 1 2 、 检 验 数 C CB N 中 存 在 一 个 分 量 0 ,且 该 分 量 对 应 的 列 N B
向 量 中 所 有 的 分 量 0 ,则 目 标 函 数 值 在 可 行 解 域 内 无 上 界