24.1解三角形测试题(附答案)

一、选择题:
1、A ABC 中,a=1,b=73, / A=30 °，则/
2、符合下列条件的三角形有且只有一个的是
3、在锐角三角形 ABC 中，有
A . cosA>sin
B 且 cosB>sinA
D.不定
7、如图： D,C,B 三点在地面同一直线上 ，DC=a,从 a (a <3 ),则A 点离地面的高度 AB 等于
asin Ct sin P
A. sin (Pi ) asin G cos P
C . sin (P-o )
asin d sin P
B . cos® - p )
解三角形测试题
A. 60°
B. 60° 或 120
C. 30° 或
150°
D. 120
A . a=1,b=2 ,c=3 a=1,b=
, / A=30
C. a=1,b=2, / A=100
C. b=c=1, / B=45
C. cosA>sinB 且 cosB<sinA cosA<sinB 且 cosB>sinA 4、若(a+b+c)(b+c — a)=3abc,且 sinA=2sinBcosC,那么△ ABC 是 A .直角三角形 B.等边三角形 C.等腰三角形 D .等腰直角三角形 2
5、设 A 、B 、C 为三角形的三内角,且方程(sinB — sinA)x +(sinA — sinC)x +(sinC — sinB)=0 有等
根，那么角B
A. B>60 C. B<60
6、满足 A=45,c=
,a=2的^ ABC 的个数记为 m,则
等于
cosA<sinB 且 cosB<sinA
C,D 两点测得 A 点仰角分别是
D .
acos
E cos(a - P )
C
8、两灯塔A,B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a(km),灯塔A 在 C 北偏东30° ,B 在C 南
偏东60。

，则A,B 之间的相距
二、填空题: 9、A 为^ ABC 的一个内角，且 sinA+cosA=
A . a (km)
B. J3a(km)
C .J 2 a(km)
D. 2a (km)
10、在 A ABC 中,
11、在 A ABC 中
,
A=60 ° , c:b=8:5,内切圆的面积为12n ，则外接圆的半径为 1 2 2 2
若 S A ABC = — (a +b — c ),那么角/ C= _______ . 4 12、在 A ABC 中,
a =5,
b = 4,cos(A - B)= 31 则 cosC= 32 三、解答题: 13、在 A ABC
① B=60 中，求分别满足下列条件的三角形形状： 2 2 2 ,b =ac; ② b tanA=a tanB; sin A +sin … o , 2 2 2
③sinC= ------------- ④(a - b )sin(A+B)=(a +b )sin(A —
B).
cosA +cosB
—,贝U A ABC 是
12
1
14、已知△ ABC 三个内角 A、B、C 满足 A+C=2B, ---- +
cos A cosC
匹，求
cosB
cosAlC 的值.
2
15、二次方程ax2—^2 bx+c=0,其中a、b、c是一钝角三角形的三边，且以b为最
长.
①证明方程有两个不等实根；
②证明两个实根a , 3都是正数；
③若a=c，试求| a-3 I的变化范围.
A,上午11时,测得一轮船在岛北 60。

东C处，俯角30° ,11时10分,又测得该船在岛的北60°西B处, 俯角60° .
①这船的速度每小时多少千米？
②如果船的航速不变,它何时到达岛的正西方向？此时所在点E离岛多少千米？
16、海岛 O上有一座海拨1000米的山，山顶上设有一个观察站
参考答案
解三角形
2
.Si n(A +B)+si n(A —B)_a 一
_
--
=~2, ^^
= 2
si n(A + B)-s in (A-B) b cos As in B sin B
•••△ ABC 是等腰△或 Rt△.点评：这类判定三角形形状的问题的一般解法是：由正弦定理 或余弦定理将已知条件转化为只含边的式子或只含角的三角函数式，然后化简考察边或角的 关系，从而确定三角形的形状.有时一个条件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以混用 如本例的②④也可用余弦定理，请同学们试试看
.
(14
)分析：常A +C =2B 「B =60° A +C =120°再代入三角式解得A 或C.解：
寫 A +C =2B, 180° —B =2B,「. B =60°A +C =1 2 0.
=-2屁.cos(120。

-A) +COSA = -242 cos(120°-
A)
=a ,则A=60°+SC =60°—G .代入上式得：cos(60°—
一、BDBBD 二、(9)钝角
AAC
14 L
(10)— J 3
3 (11) — (12)
4 三、(13)分析: 理
化简已知条件，找到边角之间的关系, 1
8
就可判断三角形的形状
.①由余弦定
2 丄 2
.2
宀 a +c -b
cos 60 = ------------ = 2 丄 2
.2
.
a +c -
b 1 22 2
------------ =一 =a + c — ac = ac 二(a — c) =0 , 2 2ac .••a=c .由 a=c 及 B=60。

可知△ ABC 为等边三角形.②由 b 2tanA=a 2
tanB= b
sin A cos A
2
a sin B sin BcosA
- ------------ — -------------------
cosB
sin AcosB
b 2
-~~2 a -2 c
sin B =—2—/. sin AcosA =sin B cosB/. sin 2A = sin 2B,
sin A
••• A=B 或 A+B=90 ° ,A^ ABC 为等腰△或
c(cosA +cosB) = a +b,再由余弦定理:
Rt △.③一si nc =sin
A +si nB
，由正弦定理:
cos A + cos B
a 2 +
b 2 -
c 2
a 2 + c 2 -
b 2
c 冥 一一 +c x
-一— =a +b 2bc
2ac
. 2 2
/.(a +b)(c 2
—a 2
-b 2
) =0,「.c 2
=a 2
+b 2
,”•.人ABC 为Rt i .④由条件变形为
sin(A
~B)
/ 巴 si n(A
+ B) a +b
sin AcosB sin A
n2A=sin2B”・. A=B 或A + B=90°
1
•••由已知条件化为：
+ cos A
cosAcos(120°—A),设 A2C
+cos(60° +a) = —2庞cos(60°+a)cos(60°—a).化简整理得4J2cos2a +2cosa —3丿2 =0
- 72
=(2cos a _ J 2)(272cos a +3) =0「cos a =——，即 cos
2 2
A+c 72
=——.注：本题有多
2
种解法.即可以从上式中消去 B 、C 求出cosA ，也可以象本例的解法 公式， （15） 明a
•还可以用和、差化积的
同学们可以试一试.
分析：证明方程有两个不等实根，即只要验证△> 0即可.要证a , 3为正数，只要证
3> 0 , a + 3 > 0即可.解：①在钝角^ ABC 中，b 边最
长.二-1 ccosB c 0且b 2
=a 2
+C 2
—2accosB,i = (-J 2b)2
-4ac = 2b 2
-4ac 2
2
2
J
卜］T ］ 2
=2(a +c —2accosB) —4ac =2(a _c) —4accosB ;>0.(其中 2(a_c) >0且―4accosB >0
•••方程有两个不相等的实根.②a + P ：= "b > 0,ap =c
>0, 两实根a 、
a
a
3都是正数.
i + R V 2b a P =——
Oh 2
③a=c 时，彳
a
(a — P )2 = a 2 + P 2 -2aP =(a + P )2
—aP =— -4 =
R c 彳
a
2(a +
c
2accosB) 4a
=rcosB,打 7 <cosB v 0,「. 0 c -4cosB v 4,因此 0<|a-P |c 2.
2
a
（16）分析：这是一个立体的图形，要注意画图和空间的简单感觉
解：①如图：所示.OB=OA tan30勺=竺（千米），OC =丿3 则 B-JoBWcjOBOCcos
120
-^
（千米）
「•船速卡
嚅二溷（千米/小时）
②由余弦定理得:
cosNOBC=OB 2
+BC 2
—OC 2
2OB X BC 5石3
= ----- “ sin^EBO =sin^OBC =
26
（千
2
3寸39 5丿13
荷,论EBO= -石丽S B =刑180J(Z EBO+ 妙］=
os30+os N EB。

530J 石
V T3 sWEB。

十初希鱼。

“
J39 BE
再由正弦定理，得 OE=1.5 （千米），BE = ——（千米）,—— =5 （分钟）.
6 v
在点E离岛1.5千米.。