高二试题(文科、选修1-1)

高二期末考试 数 学 试 题（文）
本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟． 试题范围：选修1-1
第Ⅰ卷（选择题 共50分）
一、选择题：选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
1．下列句子或式子中是命题的个数是 （ A ）
（1）语文与数学； （2）0432
=--x x ；
（3）023>-x （4）垂直于同一条直线的两条直线必平行吗？ （5）一个数不是合数就是素数； （6）把门关上 A ．1 B ．3 C ．5 D ．2
2、“2x >”是“24x >”的（ ）
A 充分非必要条件
B 充要条件
C 必要非充分条件
D 既不充分也不必要条件
3、已知直线a 、b 、c 和平面M ，则a//b 的一个充分条件是（ ）
A ．a//M ，b//M
B ．a ⊥c ，b ⊥c
C ．a 、b 与平面M 成等角
D ．a ⊥M ，b ⊥M ．
4、若方程1)1(2
2
22=-+m y m x 表示准线平行于x 轴的椭圆，则m 的范围是（ D ）
A 21>m
B 21<m C) 21>m 且1≠m D 2
1<m 且0≠m
5．方程2
2520x x -+=的两个根可分别作为（ ）
A ．一椭圆和一双曲线的离心率
B ．两抛物线的离心率
C ．一椭圆和一抛物线的离心率
D ．两椭圆的离心率
6、设斜率为2的直线l 过抛物线2(0)y ax a =≠的焦点F ，且和y 轴交于点A ，若△
OAF （O 为坐标原点）的面积为4，则抛物线方程为（ ）
（A ）24y x = （B ）28y x = （C ）24y x =± （D ）28y x =±
7．设1F 、2F 分别是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的左、右焦点，若双曲线右支
上存在一点P ，使1||||OP OF =（O 为原点），且12|||PF PF =，则双曲线的离心率为（ ）
A
B 1
C
D 1
8、已知奇函数
)
(x f 的导函数为
x
x f cos 5)('+=，
()
1,1-∈x ，且
)0(=f ，如果
0)1()1(2<-+-x f x f ，则实数x 的取值范围为
A ．（0，1）
B ．(1,
C ．(2,-
D ．(1,∪(1)-
9、已知两条曲线12-=x y 与31x y -=在点0x 处的切线平行，则0x 的值为（ C ） A 0 B 3
2
- C 0 或 3
2- D 0 或 1
10.若函数f (x )＝13x 3＋1
2f ′(1)x 2－f ′(2)x ＋3，则f (x )在点(0，f (0))处切线的
倾斜角为 ( )
A.π4
B. 3π4
C.2π3
D. π
3
第Ⅱ卷（非选择题 共100分）
二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）
11.命题“a 、b 都是偶数，则a+b 是偶数”的逆否命题是 若a+b 不是偶数，则a 、b 都不是偶数。

。

12、双曲线12222=-b y a x 的离心率为1e ，双曲线122
22=-a y b x 的离心率为2e ，则21e e +的
最小值为
13. 若抛物线2
2y px =的焦点与双曲线22
195
x y -=的右焦点重合，则p 的值为
_________________。

14.函数512322
3+--=x x x y 在[0，3]上的最大值和最小值分别是_______.
15．与直线x+2y+3=0垂直的抛物线2
x y =的切线方程是_____ y=2x-1___________
三、解答题：解答写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75
分）。

16．（本题满分12分）
分别写出下列命题的逆命题，否命题，逆否命题，并判断其真假。

（1）矩形的对角线相等且互相平分；
（2）正偶数不是质数。

解：（1）
逆命题：若一个四边形的对角线相等且互相平分，则它是矩形（假命题）…2分
否命题：若一个四边形不是矩形，则它的对角线不相等或不互相平分（假命题）．…………………………………………………………………………………………4分逆否命题：若一个四边形的对角线不相等或不互相平分，则它不是矩形（真命题）．…………………………………………………………………………………6分
（2）
逆命题：如果一个正数不是质数，那么这个正数是正偶数（假命题）．…………8分否命题：如果一个正数不是偶数，那么这个数是质数（假命题）．………………10分逆否命题：如果一个正数是质数，那么这个数不是偶数（假命题）．……………12分
17．（本题满分12分）
已知椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 的离心率36=e ，过点A ),0(b -和B )0,(a 的直线与原点
的距离为23
，求椭圆的标准方程.
解：3
6
22=
-=
=a b a a
c
e ………………………………………………………3分 ∴ 322
2
2=-a
b a ∴223b a = 即b a 3=，………………………………………5分 ∴ 过A ),0(b -，B )0,(a 的直线为1=-b
y a
x ，
∴ 把b a 3=代人，即033=--b y x ，……………………………………7分 ∴ 又由点到直线的距离公式得
2
2
)3(132
=
-+-b ，…………………………10分 ∴ 解得1=b ∴3=a ∴所求方程为13
22=+y x ……………………………12分
18. （本题满分12分）
设函数
)0(19)(2
3<--+=a x ax x x f 若曲线)(x f y =的斜率最小的切线与直线612=+y x 平行，求：
（1）a 的值； （2）函数)(x f 的单调区间。

19（本题满分12分）
已知函数32
()
f x x ax x c
=+-+，且
2
'()
3
a f
=．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）求函数)(x
f的单调区间；
（Ⅲ）设函数x e
x
x
f
x
g⋅
-
=]
)
(
[
)
(3，若函数)
(x
g在]2,3
[-
∈
x上单调递增，求实数c的取值范围．
20. （本题满分13分）
直线l:y=kx+1与双曲线C:x2-y2=1的左支交于不同的两点A、B,直线m过点P(-2,0)和AB的中点M,求m在y轴上的截距b的取值范围.
21．（本小题满分14分）
已知双曲线C ：12222=-b
y a x )0,0(>>b a 的离心率为232，且过点P )1,6(.
（I ）求双曲线C 的方程；
（II ）若直线l ：2+=kx y 与双曲线交于两个不同点A 、B ，且2>⋅OB OA （O 为坐标原点），求k 的取值范围.
解：（I ）由已知33
2===a c e
∴a c 3
3
2=
，2222223134a a a a c b =-=-=，
即223b a =，…………………………………………………………………3分 又P )1,6(在双曲线上，
∴113622=-b b ，12
=b ，故所求双曲线C 的方程为13
22=-y x ………………6分
（II ）联立⎪⎩⎪⎨⎧=-+=3
32
2
2
y x kx y 消去y ……………………………………………7分 得0926)31(22=---kx x k ，…………………………………………………9分
设A ),(11y x ，B ),(22y x ⎪⎩⎪⎨⎧>-+-=∆≠-0)31(36)26(0
312
22
k k k 12<k 且3
1
2≠k ，
又2
213126k
k
x x -=
+，221319k x x --=………………………………………11分 ∴221
32621
39)
1(2222121>+---+=+=⋅k k
k
k k y y x x 01
332
2<--k k ∴3312<<k ∴1312<<k …………………………………13分 故k 的取值范围为)1,3
3
()33,1(⋃--…………………………………14分。