四川省威远中学2020届高三数学上学期半期考试(第二次月考)试题文

四川省威远中学2020届高三数学上学期半期考试（第二次月考）试题 文
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，全卷满分150分，考试时间120分钟.
第Ⅰ卷 （选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合{|2}A x Z x =∈≥，()(){|130}B x x x =--<，则A B ⋂=（ ）
A.∅
B.{}2,3
C.{}2
D.{}|23x x ≤<
2. 复数22cos
sin
33
z i ππ
=+在复平面内对应的点在（ ） A ．第一象限 B.第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知向量()
11,3,,2x ⎛⎫
==-
⎪⎝⎭
，若与a b a b 的夹角为60o ，则x 的值为（ ） A ．0 B ．
3 C ．30或
D ．
3 4. 设{n a }为等差数列，公差2d =-，n S 为其前n 项和，若1011S S =，则1a =（ ）
A ．18
B ．20
C ．22
D ．24
5. 某产品的广告费用x 与 销售额y 的统计数据如右表格根据
上表可得回归方程ˆˆˆy
bx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( ) A.63.6万元
B.65.5万元
C.67.7万元
D.72.0万元
(
)
的图像是函数⎪⎭⎫ ⎝⎛<<-=22
cos ln .6ππ
x x y
7．已知函数()3
2
32f x ax x x =+-+在R 上是减函数，则a 的取值范围是（ ）
A.(],3-∞-
B.(),3-∞-
C.()3,0-
D.[)3,0-
8. 下列判断正确的是（ ）
A ．”
“2-<x 是()”“03ln <+x 的充分不必要条件 B ．函数()9
192
2++
+=
x x x f 的最小值为2
C ．当R ∈βα,时，命题“若βα=，则βαsin sin =”的逆否命题为真命题
D ．命题“020192019,0>+>∀x
x ”的否定是“020192019
,00
0≤+≤∃x x ”
9. 已知()παα,0,43tan ∈=
，则⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+6cos πα的值为（ ）
A.
10334- B. 10334+ C. 10334- D. 10
4
33- 10. 已知()()x f x f +=-22，()x f 在(]2,∞-上单调递减，()00=f ，则()032>-x f 的解集是（ ）
A ．2
()(2)3-∞+∞，，
U B ．2
(2)3
， C ．22()33
-，
D ．22()()33
-∞-+∞，，U 11. 已知函数().cos 23x x x f +=若()()()7log
,2,32
2
f c f b f a ===，则c b a ,,的大小关系是
（ ）
A. c b a <<
B. a b c <<
C. c a b <<
D. a c b <<
12．已知函数()x f 是定义在R 上的偶函数，且()1-x f 也为偶函数，当[]0,1-∈x 时，()3
x x f -=，
则关于x 的方程()x x f πcos =在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-21,25上的所有实数解之和为（ ）
A ．-7
B ．-6
C ．-3
D ．-1
第Ⅱ卷 （非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案填在答题卡相应位置上. 13．设函数()x x f lg 1-=的定义域为 ．
14. 若实数y x ,满足线性约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤-≤≥+421y x x y y x ，则y x 2+的最大值为 ．
15. 已知函数f(x)满足当x ≥4时；当x <4时f(x)=f(x ＋1)，则f (2＋
log 23)= ．
16. 已知函数()()21
ln ,e ,22
x x f x g x -=+=若()()g m f n =成立，则n m -的最小值为 ．
三、解答题：（本大题共6个小题，共70分。

解答应写出必要的文字说明、推演步骤）
17.（本小题满分12分）已知函数ln ()()x a
f x a x
+=
∈R . （1）若曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --= 平行，求a 的值； （2）在（1）条件下，求函数()f x 的单调区间和极值；
18. （本小题满分12分）已知数列{}n a 为等比数列且81,341==a a （1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）设()()()()2019212131
11log T b b b T a f a f a f b x x f n
n n n ，求，，+++=+++==ΛΛ.
19．（本小题满分12分）设ABC ∆三个内角 ,,A B C 的对边分别为,,a b c ，ABC ∆的面积S 满足
22243S a b c =+-. （1）求角C 的值； （2）求sin cos B A -的取值范围.
20．（本小题满分12分）为了解本届高二学生对文理科的选择与性别是否有关，现随机从高二的全体学生中抽取了若干名学生，据统计，男生35人，理科生40人，理科男生30人，文科女生15人。

(1)完成如下2×2列联表，判断是否有99. 9%的把握认为本届高二学生“对文理科的选择与性别有关”？ 男生 女生 文科 理科
(2)已采用分层抽样的方式从样本的所有女生中抽取了5人，现从这5人中随机抽取2人参加座谈会，求抽到的2人恰好一文一理的概率。

2()
P K k ≥ 0.15
0.10
0.05
0.01
0.005
0.001
k 2.072
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
（参考公式22
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++为样本容量）
21. （本小题满分12分）已知函数()()212
+--=mx e x x f x
，其中R m ∈，Λ71828.2=e 为自然
对数的底数.
（1）当1=m 时，求函数()x f 的单调区间；
（2）当常数()+∞∈,2m 时，若函数()x f 在[)+∞,0上有两个零点()2121,x x x x <，证明：
e
x x 4ln
12>-.
22. （本小题满分10分） 在直角坐标系中，直线l 的参数方程为1cos ,
1sin x t y t αα=-+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，
0πα<<），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
24
1sin ρθ
=+．
（1）当π
6
a =
时，写出直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程； （2）已知点()11P -，，设直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，试确定PA PB ⋅的取值范围．
威远中学高2020届高三上学期第二次月考
数 学（文科）
（参考答案与评分细则）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案
C
B
D
B
B
B
A
C
A
D
D
A
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13、 (]10,0 ； 14、 14 ； 15、
24
1
； 16、 2ln . 三、解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（本小题满分12分）
解： （1）函数(){}
0,f x x x 的定义域为所以()2
1ln .x a
f x x
--=
'又曲线()()()1,1y f x f =在点处的切线与直线10x y --=平行，所以()111,0.f a a =-=='即 （2）令()0,f x x e ='=得
当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：
+ 0 —
极大值
由表可知：()f x 的单调递增区间是(
)0,e
，单调递减区间是(),e +∞
所以()f x x e =在处取得极大值，()()ln .e f x f e e 极大值== 1
e
= 18.（本小题满分12分）
解：（1）{}n a Θ为等比数列，设公比为q . 又38114==a a ，，所以3=q ，即数列{}n a 是首项为3，
公比为3的等比数列，故n
n a 3=
（2）由已知可得：()n a f n =，则()21321+=
++++=n n n b n Λ，故⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=11121n n b n
⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=1112111
31212112n n n T n Λ，所以201020192019=
T 19．（本小题满分12分）
解：（1）222222222
1cos ,2cos sin 224343a b c C a b c ab C S ab C ab +-=
+-====， 3
tan 3
C =
，6C π=.
（2）sin cos cos 3B A A π⎛⎫-=-+ ⎪⎝⎭或者sin 6A π⎛⎫- ⎪⎝⎭，sin 3B π⎛
⎫+ ⎪⎝
⎭，
cos 6B π⎛⎫- ⎪⎝⎭ 因为50,
6
A π⎛
⎫
∈ ⎪
⎝
⎭，所以7,336A πππ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，1cos ,132A π⎛⎫⎛⎤+∈- ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎦，所以1sin cos ,12B A ⎛⎤
-∈- ⎥⎝⎦
.
20.（本小题满分12分） 解：(1)列联表如下表: 男生 女生 合计 文科 5 15 20 理科 30 10 40 合计
35
25
60
2
2
60(5101530)13.71410.82820402535
K ⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯.所以有99.9%的把握认为二者有关；
(2)由题意知:抽取的5人中，文科女3人，理科女2人，分别设为,,,,A B C D E 随机抽取2人，则共有: ,,,,,,,,,AB AC AD AE BC BD BE CD CE DE 10种情况 其中，有6种情况符合题意，所以63105
P ==. . 21.（本小题满分12分）
22．（本小题满分10分）
解：（1）当6a π=时，直线l 的参数方程为3
1,1,611,1,
62x tcos x y tsin y t ππ⎧⎧=-+=-⎪⎪⎪⎪⇒⎨
⎨⎪⎪=+=+⎪⎪⎩⎩
. 消去参数t 得3130x ++=.由曲线C 的极坐标方程为2
2
4
1sin ρθ
=
+.得()2
2sin 4ρρθ+=，
将2
2
2
x y ρ+=，及sin y ρθ=代入得2
2
24x y +=，即22
142
x y +=
（2）由直线l 的参数方程为1,
1,
x tcos y tsin αα=-+⎧⎨
=+⎩（t 为参数，0απ<<）可知直线l 是过点P （-1，1）
且倾斜角为α的直线，又由（1）知曲线C 为椭圆22142
x y
+=，所以易知点P （-1，1）在椭圆C 内，
将1,1,
x tcos y tsin αα=-+⎧⎨=+⎩代入22142x y +=中并整理得()()22
1sin 22sin cos 10t t ααα++--=，设A ，B
两点对应的参数分别为12,t t ，则12211sin t t α⋅=-
+所以12
21
1sin PA PB t t α
⋅==+因为0απ<<，所以(]2
sin
0,1α∈，所以12211,11sin 2PA PB t t α⎡⎫
⋅==
∈⎪⎢+⎣⎭
所以PA PB ⋅的取值范围为1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
.
附：12题16题答案 12.因为函数
是R 上的偶函数，且()1-x f 为偶函数，所以
是函数的对称轴，且周期为2，分别画出与
在
上的图象，
交点依次为 所以
，
所以，故选A.
16. 不妨设()()()2
1
,e
ln
022
m n g m f n t t t -==∴=+=>， 12
2,2,2e
t m lnt m lnt n -
∴-==+=⋅，故()12
2e
20t n m lnt t --=⋅-->，
令()()12
2e
20t h t lnt t -=⋅-->， 则()12
12e
t h t t
-⋅'=-， 易知()h t '在()0,+∞上是增函数，且102h ⎛⎫
=
⎪
⎭
'⎝，当12t >时，()0h t '>，当102t <<时，()0h t '<，即当1
2
t =
时，()h t 取得极小值同时也是最小值，此时1122
112e 2222222h ln ln ln -⎛⎫=⋅--=-+= ⎪⎝⎭
，即n m -的最小值为ln2。