2023届江苏省高三下学期期初考试仿真模拟数学试卷(四)(word版)

2022-2023学年高三下学期期初考试仿真模拟
数学试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
2N log 2A x x =∈≤，{
}
327x
B x =>，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
2．复数z 满足|5||1||i |z z z -=-=+，则||z =（ ）
A.
B.
C. D. 5
3．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A.
3π4
B.
π2
C.
π4
D.
4．已知平面向量,a b →→
的夹角为3
π
，且||2,||1a b →→==，则|2|a b →→-=（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
D.
5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，6人中有4
名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟
手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 432 6．已知数列{}n a 的前n 项和组成的数列{}n S 满足11S =，25S =，21320n n n S S S ++-+=，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A. 12n n a -=
B. 11,1
22,2n n n a n -=⎧=⎨+≥⎩
C. 1,1
2,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩
D. 2n n a =
7．设1F ，2F 分别为双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，A 为双曲线的左顶点，以12
F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且120MAN ∠=︒，（如图），则该双曲线的离心率为（ ）
A.
3
B. C.
D.
8．不等式e ln ax a x >在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,2e ∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭
B ．1(,)e +∞
C ．
1,)∞+（ D ．(e,)+∞ 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是1a ，1b ，1c ，1d ，数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是2a ，2b ，2c ，2d ，且满足
()311,2,3,
,i i y x i n =-=，则下列结论正确的是（ ）
A. 2131b b =-
B. 21a a =
C. 219c c =
D. 2131d d =-
10．向量2
2(sin ,cos ),sin (),cos ,0,242x x a x x b ωπ
ωωωω⎛⎫
==+> ⎪⎝
⎭
函数()f x a b =⋅，则下述结论正确的有（ ）
A. 若()f x 的图像关于直线2
x π
=对称，则ω可能为1
2
B. 周期T π
=时，则()f x 的图像关于点3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C. 若()f x 的图像向左平移3π
个单位长度后得到一个偶函数，则ω的最小值为34
D. 若()f x 在2,56ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ､B 存在如下关系：
()()()()
P A P B A P A B P B =
.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和
0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐
厅的概率为0.5，则王同学（ ） A ．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B ．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C ．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为
59 D ．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为
49
12．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点()1,M m 到点F 的距离是2，P 是抛物线C
的准线与x 轴的交点，A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，则（ ）
A ．m =
B ．若直线AB 过点F ，则3OA OB ⋅=-
C ．若直线AB 过点F ，则
PA FA
PB FB
= D ．若直线AB 过点P ，则2AF BF PF +>
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在4
2x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为______．
14.若π0,
2α⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
sin 1αα-=，则cos2=α______． 15.知函数()ln 1f x x =-，2
120x e x e <<<<，函数()f x 的图象在点()()
11,M x f x 和点
()()
22,N x f x 的两条切线互相垂直，且分别与y 轴交于,P Q 两点，则
OP OQ
的取值范围是________．
16．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结论：圆周率的
平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形ABCD 中，AB BD == 将ABD △沿BD 进行翻折， 使
得AC = 按张衡的结论， 三棱锥A BCD -外接球的表面积约为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知数列{}n a 满足11a =，22a =，()*223n n n a a n +=+⨯∈N ，且()
*
1n n n b a a n +=+∈N .
（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若()()
*24141
n n n b c n n +=∈-N ，求数列{}n c 的前n 项和.
18．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a =，sin
sin 2B C b B +=．
（1）求sin A ；
（2）如图，点M 为边AC 上一点，MC MB =，π
2
ABM ∠=，求△ABC 的面积．
19．如图，四边形ABCD 为梯形，AB
CD ，四边形ADEF 为平行四边形．
（1）求证：CE ∥平面ABF ；
（2）若AB ⊥平面,,1,2ADEF AF AD AF AD CD AB ⊥====，求： （ⅰ）直线AB 与平面BCF 所成角的正弦值； （ⅱ）点D 到平面BCF 的距离．
20．非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他
们的年龄，将数据分成6组：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求a 的值；
（2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X ，用频率估计概率，求X 的分布列及数学期望()E X ；
（3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m ，若中位数的估计值为n ，写出m 与n 的大小关系．（结论不要求证明）
21．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>过点1,3⎛ ⎝⎭
，过其右焦点2F 且垂直于x 轴的直线交椭圆C 于A ，
B 两点，且AB =
（1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l ：1
2
y kx =-
与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为Q ，在y 轴上是否存在定点P ，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
22．已知函数()ln e
x
x
f x a x
-=+
． （1）若1x =是()f x 的极值点，求a ；
（2）若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，当0a >时，证明：2
100ln 1x x x <-+．
2022-2023学年高三下学期期初考试仿真模拟
数学试卷04
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合{}
2N log 2A x x =∈≤，{
}
327x
B x =>，则集合A B ⋂的子集个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
2．复数z 满足|5||1||i |z z z -=-=+，则||z =（ ）
A.
B.
C. D. 5
【答案】C
3．一个圆锥的侧面展开图恰好是一个半径为1的半圆，则该圆锥的表面积为（ ）
A.
3π4
B.
π2
C.
π4
D.
24
【答案】A
4．已知平面向量,a b →→
的夹角为3π
，且||2,||1a b →→==，则|2|a b →→-=（ ）
A. 4
B. 2
C. 1
D.
【答案】B
5．某小区共有3个核酸检测点同时进行检测，有6名志愿者被分配到这3个检测点参加服务，
6人中有4名“熟手”和2名“生手”，1名“生手”至少需要1名“熟手”进行检测工作的传授，每个检测点至少需要1名“熟手”，且2名“生手”不能分配到同一个检测点，则不同的分配方案种数是（ ） A. 72 B. 108 C. 216 D. 432 【答案】C
6．已知数列{}n a 的前n 项和组成的数列{}n S 满足11S =，
25S =，21320n n n S S S ++-+=，则数列{}n a 的通项公式为（ ）
A. 1
2n n a -=
B. 1
1,1
22,2
n n n a n -=⎧=⎨
+≥⎩ C. 1,1
2,2n n n a n =⎧=⎨≥⎩
D. 2n n a =
【答案】C
7．设1F ，2F 分别为双曲线22
22:1x y C a b
-=（0a >，0b >）的左、右焦点，A 为双曲线的
左顶点，以12F F 为直径的圆交双曲线的某条渐近线于M ，N 两点，且120MAN ∠=︒，（如
图），则该双曲线的离心率为（ ）
A.
B. C.
D.
【答案】A
8．不等式e ln ax a x >在(0,)+∞上恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）
A ．1,2e ∞⎛⎫
+ ⎪⎝⎭ B ．1(,)e +∞ C ．1,)∞+（ D ．(e,)+∞
【答案】B
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知数据1x ，2x ，3x ，…，n x 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是1a ，1b ，
1c ，1d ，数据1y ，2y ，3y ，…，n y 的众数、平均数、方差、第80百分位数分别是2a ，2b ，2c ，2d ，且满足()311,2,3,
,i i y x i n =-=，则下列结论正确的是（ ）
A. 2131b b =-
B. 21a a =
C. 219c c =
D. 2131d d =-
【答案】ACD
10．向量2
2(sin ,cos ),sin (),cos ,0,242x x a x x b ωπ
ωωωω⎛⎫
==+> ⎪⎝
⎭
函数()f x a b =⋅，则下述结论正确的有（ ） A. 若()f x 的图像关于直线2
x π
=
对称，则ω可能为1
2
B. 周期T π=时，则()f x 的图像关于点3,08π⎛⎫
⎪⎝⎭
对称 C. 若()f x 的图像向左平移3π
个单位长度后得到一个偶函数，则ω的最小值为34
D. 若()f x 在2,56ππ⎡⎤-
⎢⎥⎣⎦
上单调递增，则30,2ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦
【答案】ACD
11．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A ､B 存
在如下关系：()()()
()P A P B A P A B P B =
.某高校有甲､乙两家餐厅，王同学第一天去甲､乙两家餐厅就餐的概率分别为0.4和0.6.如果他第一天去甲餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.6；如果第一天去乙餐厅，那么第二天去甲餐厅的概率为0.5，则王同学（ ） A ．第二天去甲餐厅的概率为0.54 B ．第二天去乙餐厅的概率为0.44
C ．第二天去了甲餐厅，则第一天去乙餐厅的概率为5
9
D ．第二天去了乙餐厅，则第一天去甲餐厅的概率为4
9
【答案】AC
12．已知抛物线()2
:20C y px p =>的焦点为F ，抛物线C 上的点()1,M m 到点F 的距离是2，P 是抛物线C 的准线与x 轴的交点，A ，B 是抛物线C 上两个不同的动点，O 为坐标原点，则（ ）
A ．m =
B ．若直线AB 过点F ，则3OA OB ⋅=-
C ．若直线AB 过点F ，则PA FA
PB FB
= D ．若直线AB 过点P ，则2AF BF PF +> 【答案】BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．在4
2x x ⎛⎫- ⎪⎝
⎭的展开式中，常数项为______． 【答案】24
14.若π0,2
α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭sin 1αα-=，则cos2=α______．
【答案】7
9
15.知函数()ln 1f x x =-，2
120x e x e <<<<，函数()f x 的图象在点()()
11,M x f x 和
点()()
22,N x f x 的两条切线互相垂直，且分别与y 轴交于,P Q 两点，则
OP OQ
的取值范围
是________．
【答案】()3,+∞
16．张衡是中国东汉时期伟大的天文学家、数学家， 他曾在数学著作《算罔论》中得出结
论：圆周率的平方除以十六约等于八分之五． 已知在菱形ABCD 中，AB BD == 将
ABD △沿BD 进行翻折， 使得AC = 按张衡的结论， 三棱锥A BCD -外接球的表面积约为______．
【答案】四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．已知数列
{}
n a 满足11a =，22a =，()
*
223n n n a a n +=+⨯∈N
，且
()
*1n n n b a a n +=+∈N .
（1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若()()
*24141
n n
n b c n n +=∈-N ，求数列{}n c 的前n 项和. 【答案】（1）3n
n b =，*
n ∈N （2）
()
1
1321n n -+ 【解析】（1）因为11a =，22a =，()
*
223n n n a a n +=+⨯∈N ，1n n n b a a +=+， 可得1123b a a =+=，223n
n n a a +-=⨯，
又()1121223n
n n n n n n n n b b a a a a a a +++++-=+-+=-=⨯，
则
当
2
n ≥时，
()()()211213213232323n n n n b b b b b b b b --=+-+-+⋅⋅⋅+-=+⨯+⨯+⋅⋅⋅+⨯
()
2131313
n n -=+
=-，
上式对1n =也成立，所以3n
n b =，*n ∈N ；
（2）由()()
*24141
n n n b c n n +=∈-N ， 可得()()()()
14411
32121321321n n n n n c n n n n -+=
=--+-+，
则数列{}n c 的前n 项和为
()()0112111111131333335321321n n n n --+-+⋅⋅⋅+-⨯⨯⨯⨯-+ ()1
1321n n =-
+.
18．△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c
，a =
，
sin
sin 2B C b B +=．
（1）求sin A ；
（2）如图，点M 为边AC 上一点，MC MB =，π
2
ABM ∠=，求△ABC 的面积． 【答案】（1）4
sin 5A =
；（2）
27
. 【解析】（1）∵sin sin 22
B C b
a B +=，即2sin sin 2B C b
B +=， ∴π2sin sin 2
A
b B
-=． 由正弦定理，得：2sin cos sin 2
A
B A B =，又sin 0
B ≠，
∴2cos
2A A =，则cos cos 222A A A =，又cos 02A ≠且022A π
<
<，
∴sin 2
A =，则cos 2A =
∴4
sin 2sin cos 225
A A A ==．
（2）由（1）有2
3
cos 2cos
125
A A =-=，易知A 为锐角， 由M
B M
C =，则MBC MCB ∠=∠．
∵π2ABM ∠=
，故π22A C +=
，则π
22
C A =-，
∴πsin 2sin s 523co C A A ⎛⎫
=-==
⎪⎝⎭
，
在△ABC 中，由正弦定理，得sin sin sin b c a ABC C A ===
∠
∴4b ABC =∠，4
c C =．
又()()πsin sin πsin sin cos 2ABC C A A C C C ⎛⎫
∠=--=+=-= ⎪⎝⎭
，
∴114
sin 22445
ABC S bc A ABC C ==⨯∠⨯⨯
△45454527cos sin sin cos sin 24488
C C C C C ====．
19．如图，四边形ABCD 为梯形，AB
CD ，四边形ADEF 为平行四边形．
（1）求证：CE ∥平面ABF ；
（2）若AB ⊥平面,,1,2ADEF AF AD AF AD CD AB ⊥====，求： （ⅰ）直线AB 与平面BCF 所成角的正弦值； （ⅱ）点D 到平面BCF 的距离．
【答案】（1）见解析； （2）（i ）
6ii ）
6
. 【解析】（1）如图,在射线AB 上取点P ,使AP DC =,连接PF .
由题设,得//AP DC ,所以四边形APCD 为平行四边形.
所以//PC AD 且PC AD =. 又四边形ADEF 为平行四边形, 所以//AD EF 且AD EF =. 所以//PC EF 且.PC EF =.
所以四边形PCEF 为平行四边形, 所以//PF CE .
因为CE ⊂平面,ABF PF ⊂平面ABF 所以//CE 平面ABF .
（2）（i ）因为AB ⊥平面ADEF ,,AD AF ⊂平面ADEF ， 所以,AB AD AB AF ⊥⊥.又AD AF ⊥, 所以AB ,AD ,AF 两两相互垂直. 如图建立空间直角坐标系A xyz -,
则(0,0,0),(2,0,0),(1,1,0),(0,0,1)A B C F .所以
(1,1,0),(2,0,1),(2,0,0)BC BF AB =-=-=.
设平面BCF 的法向量为(,,)m x y z =,则0,
0,
m BC m BF ⎧⋅=⎪⎨
⋅=⎪⎩ 即0,
20.x y x z -+=⎧⎨
-+=⎩
令1x =,则1,2y z ==.于是(1,1,2)m =. 设直线AB 与平面BCF 所成角为α,则
6
sin cos
,6
|m AB m AB m AB α⋅=〈〉=
=∣
所以直线
AB 与平面BCF 所成角的正弦值为6 （ii ）因为//AB CD ,
所以直线CD 与平面BCF 所成角的正弦值为
6
. 所以点D 到平面BCF 的距离为sin d CD α=⋅=
20．非物质文化遗产（简称“非遗”）是优秀传统文化的重要组成部分，是一个国家和民族历史文化成就的重要标志．随着短视频这一新兴媒介形态的兴起，非遗传播获得广阔的平台，非遗文化迎来了发展的春天．为研究非遗短视频受众的年龄结构，现从各短视频平台随机调查了1000名非遗短视频粉丝，记录他们的年龄，将数据分成6组：[10,20),[20,30),[30,40),[40,50),[50,60),[60,70]，并整理得到如下频率分布直方图：
（1）求a 的值； （2）从所有非遗短视频粉丝中随机抽取2人，记取出的2人中年龄不超过40岁的人数为X ，用频率估计概率，求X 的分布列及数学期望()E X ； （3）在频率分布直方图中，用每一个小矩形底边中点的横坐标作为该组粉丝年龄的平均数，估计非遗短视频粉丝年龄的平均数为m ，若中位数的估计值为n ，写出m 与n 的大小关系．（结论不要求证明）
【答案】（1）0.018a = （2）分布列详见解析，()0.6E X = （3）n m > 【解析】（1）()0.0040.0120.0140.0240.028101a +++++⨯=， 解得0.018a =.
（2）不超过40岁的人的频率为()0.0040.0120.014100.3++⨯=， 所以()2,0.3X
B ，X 的可能取值为0,1,2，
()002
20C 0.30.70.49P X ==⨯⨯=， ()11121C 0.30.70.42P X ==⨯⨯=， ()22022C 0.30.70.09P X ==⨯⨯=，
所以20.30.6E X =⨯=.
（3）150.04250.12350.14450.24550.28650.1846.4m =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=岁. 0.040.120.140.3,0.040.120.140.240.54++=+++=， 所以0.225145
4010400.2433
n m =+
⨯=+=>.
21．已知椭圆C ：()22
2210x y a b a b +=>>过点1,3⎛ ⎝⎭
，过其右焦点2F 且垂直于x 轴的直
线交椭圆C 于A ，B 两点，且AB （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l ：1
2
y kx =-
与椭圆C 交于E ，F 两点，线段EF 的中点为Q ，在y 轴上是否存在定点P ，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
213
x y += （2）存在定点()0,1P ，
【解析】（1）由题知，椭圆C
过点⎛ ⎝⎭
和c ⎛ ⎝⎭
， 所以222
222
22
1
213113a b c
a b a b c ⎧+=⎪⎪⎪+=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，解得22
31a b ⎧=⎨=⎩ 所以椭圆C 的方程为2
213
x y +=．
（2）
假设在y 轴上存在定点P ，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立，设()00,P y ，
()11,E x y ，()22,F x y 由221213
y kx x y ⎧
=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得()22
4121290k x kx +--=，∴12212412k x x k +=+，122
9412x x k -=+ ()
22144364120k k ∆=++>
∵∠EQP ＝2∠EFP ，∴∠EFP ＝∠FPQ ，∴QE ＝QF ＝QP ∴点P 在以EF 为直径的圆上，即PE ⊥PF
()110,PE x y y =-，()220,PF x y y =-
∴()()121020PE PF x x y y y y ⋅=+--
()2
12120120x x y y y y y y =+-++
()()22
12121201201124
k x x k x x x x y k x x y =+-+-+-++⎡⎤⎣⎦ ()()22
120120011124k x x k y x x y y ⎛⎫=+-+++++ ⎪⎝⎭
()222
0002
1214480412y k y y k -++-==+ ∴()222
0001214480y k y y -++-=恒成立
∴20200104480y y y ⎧-=⎨+-=⎩，解得01y = ∴()0,1P
∴存在定点()0,1P ，使得∠EQP ＝2∠EFP 恒成立． 22．已知函数()ln e
x
x
f x a x
-=+
． （1）若1x =是()f x 的极值点，求a ；
（2）若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，当0a >时，证明：2
100ln 1x x x <-+．
【答案】（1）e a = （2）证明见解析
【解析】（1）因为 ln ()e x
x f x a x -=+
所以 2
1ln ()e x
x f x a x --'=-+ 若1x =是函数()f x 的极值点，则1
2
1ln1(1)e 01
f a --'=-+= ，即e a =， 此时212
1e ln ()x x x
f x x
--'-= 设()211e ln x g x x x -=--，则121()2e 1e x x
g x x x x
--+--'=，(1)2g '=-，
所以存在1m n <<，使得当(,)x m n ∈时，()0g x '<，()g x 单调递减，
当)1(x m ∈，时， 22()(1)
()0g x g f x x x
'=
>= ，()f x 单调递增，当(1,)x n ∈时
22()(1)
()0g x g f x x x
'=
<=，()f x 单调递减， 所以当e a =时，1x =是()f x 的极值点. （2）因为若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，所以 0
00
ln ()e 0x x f x a x -=+
= ，00
e ln x x a x =-，
1
11211ln ()e
0x x f x a x --'=-+=，1121e (1ln )x x a x -=，所以 01012
10
e ln e (ln 1).x x x x a x x --== 当0a >时， 010
1210
e ln e (ln 1)0x x x x x x -=< ，则0ln 0x <，1ln 1x <，即001x <<，
10e x <<， 因为2
2
0001331244x x x ⎛⎫-+=-+≥
⎪⎝
⎭ 所以当 13ln 4x < 即 3410e x << 时，2
100ln 1x x x <-+成立， 当 34
1
e e x ≤< 时，若10e x x ≤，则只需证明2
000ln x x x <-，
设2e (ln 1)()x x k x x -= ，则 3
e (ln 2ln 3)
()x x x x x k x x
--+'= ， 设1()ln 2ln 3k x x x x x =--+，
则 12()ln k x x x '=- 为增函数，且10)(12k '=-<， 12
(e)10,e
k '=->
所以存在唯一()21,e x ∈，使得1222
2
()ln 0k x x x '=-
= ， 当2(1,)∈x x 时，()10k x '<，()1k x 单调递减，当2()x x ∈+∞，
时，()10k x '>，()1k x 单调递增，
故112224()()50k x k x x x -⎛
=⎫
⎝
+
⎪⎭
≥>， 所以()0k x '>，()k x 单调递增， 所以10e x x ≤， 001e 001222100
e ln e ln e (ln 1),e x x x x x x x x x -=≤ 等价于()0
21e 0
e 10x x +--≥. 设 2(1e)()e
1x
m x x +-=- ，则 []
2(1e)()(1e)1e ,x
m x x +-'=-+
当 3
4
10
e e e x x ≤≤< 时，若 1
4e 1x -≤< 时，()1e 10x -+<，()0m x '<，()m x 单调递
减， 所以当 14
e 1x -≤<，()()3e
1e
10m x m ->=->，所以当 34
1
e e x ≤< 时10e e x x ≤<成
立，
设2
()ln n x x x x =-+，则 1
()21n x x x
'=
-+ ， 当01x <<时，()0n x '>，()n x 单调递增，所以当01x <<时，()()10n x n <=，
即 2
000ln x x x <- ，2100ln 1x x x <-+成立.
综上，若0x ，1x 分别是()f x 的零点和极值点，当0a >时，有2
100ln 1x x x <-+.。