专题02 复数(新高考地区专用)-2021届高三《新题速递·数学》11月刊(解析版)

专题02 复数
姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________
注意事项：
本试卷满分150分，考试时间120分钟．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．
一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)
1．（2020·安徽高三月考（理））已知复数z 满足2z z i -=，则z 的虚部是（ ） A ．1- B ．1
C ．i -
D ．i
【答案】B
【解析】设(),z a bi a b R =+∈，
因为2z z i -=，可得()22z z a bi a bi bi i -=+--==， 则22b =，可得1b =，所以复数z 的虚部是1. 故选：B.
2．（2020·云南昆明一中月考（理））设()11i x yi +=+（i 是虚数单位，x ∈R ，y R ∈）则x yi +=（ ）
A ．
B
C ．2
D ．1
【答案】B
【解析】因为()11i x yi +=+，即1x xi yi +=+，
所以1x y ==，1i +==
故选：B.
3．（2020·广西南宁二中高三月考（文））已知i 是虚数单位，x ∈R ，
复数()()2z x i i =++为纯虚数，则2x i -
的模等于（ ）
A ．1
B
C
D ．2
【答案】B
【解析】因为(i)(2i)(21)(2)i z x x x =++=-++为纯虚数，所以1
210,202
x x x -=+≠∴=
，从而
2i 1i x -=-= B.
4．（2020·甘肃武威·高三月考（理））已知i 是虚数单位，复数61i
z i
=-，则z 的虚部为（ ） A ．3- B ．3
C ．2-
D ．2
【答案】A
【解析】()()()
()6163133111i i i z i i i i i i ⨯+=
==+=-+--+， 所以33z i =--，其虚部为3-， 故选：A.
5．（2020·湖南月考）已知
12a i
i i
+=-（i 为虚数单位，a R ∈），则a =（ ） A ．2- B ．1-
C ．1
D ．2
【答案】D
【解析】由题得(12)2a i i i i +=-=+，所以2a =. 故选：D.
6．（2020·江苏南通·高三期中）在复平面内，复数65-i ，23i -+对应的点分别为A 、B ，若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．48i +
B ．82i +
C ．2i -
D ．4i +
【答案】C
【解析】先由点,A B 对应的复数可以得到点,A B 的坐标，在利用中点坐标公式可以求出点C 的坐标，最后就可以得到点C 对应的复数．由于复数65i -对应的点为()6,5A -，复数23i -+对应的点为()2,3B -．利用中点坐标公式得线段AB 的中点()2,1C -，所以点C 对应的复数2i -，故选C ．
7．（2020·四川阆中中学高三月考（理））已知i 为虚数单位，复数()3z i ai =-，且5z =，则实数a =（ ） A ．-4 B ．4
C ．4±
D ．2
【答案】C
【解析】复数()33z i ai a i =-=+，且5z =，
5=，解得4a =±，故选C.
8．（2020·贵州遵义·高三其他（文））设复数z 满足|1|1+=z ，且z 在复平面内对应的点为(,)x y 则,x y 满足（ ）
A ．22(1)1x y ++=
B ．2
2
(1)1x y -+= C ．22(1)1y x +-= D ．22(1)1x y ++= 【答案】A
【解析】设(,)z x yi x y R =+∈，
由|1|1+=z 得：
|1|1x yi ++==，
即2
2
(1)1x y ++=， 故选：A
二、多项选择题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分)
9．（2020·山东高三月考）已知复数122
z =
-，则下列结论正确的有（ ）
A ．1z z ⋅=
B ．2z z =
C ．31z =-
D ．2020122
z =-
+ 【答案】ACD
【解析】因为1113
12
244
z z ⎛⎫⎛⎫=+= ⎪⎪
⎪⎪⎝⎭⎭=⎝⋅，所以A 正确；
因为2
2
112222z ⎛⎫-=-- ⎪ ⎪⎝⎭=，12z =+，所以2z z ≠，所以B 错误；
因为3
2
1112222z z z ⎛⎫⎛⎫
=⋅=---=- ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭
，所以C 正确；
因为6331z z z =⋅=，所以()2020
63364431112222z
z z z z i ⨯+⎛⎫===⋅=-⋅-=-+ ⎪ ⎪⎝⎭
，所以D 正确，
故选：ACD.
10．（2020·江苏徐州·高三月考）下列四个命题中，真命题为（ ） A ．若复数z 满足z R ∈，则z R ∈
B ．若复数z 满足
1
R z
∈，则z R ∈ C ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，则12z z =
【答案】AB
【解析】对选项A ，若复数z 满足z R ∈，设z a =，其中a R ∈，则z R ∈，则选项A 正确； 对选项B ，若复数z 满足
1R z ∈，设1
a z
=，其中a R ∈，且0a ≠， 则1
z R a
=
∈，则选项B 正确； 对选项C ，若复数z 满足2z ∈R ，设z i ，则21z R =-∈，
但z i R =∉，则选项C 错误；
对选项D ，若复数1z ，2z 满足12z z R ⋅∈，设1z i =，2z i =，则121z z ⋅=-∈R ，
而21z i z =-≠，则选项D 错误； 故答案选：AB
11．（2020·山东滕州市第一中学新校高二开学考试）下面关于复数的四个命题中，结论正确的是（ ） A ．若复数z R ∈，则z R ∈ B ．若复数z 满足2z ∈R ，则z R ∈ C ．若复数z 满足1
R z
∈，则z R ∈ D ．若复数1z ，2z 满足12z z R ∈，则12z z =
【答案】AC
【解析】A 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则(i ,)z a b a b =-∈R ，因为z R ∈，所以0b =，因此z a R =∈，即A 正确；
B 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则()2
2222z a bi a b abi =+=-+， 因为2z ∈R ，所0ab =，若0,0a b =≠，则z R ∉；故B 错； C 选项，设复数(,)z a bi a b R =+∈，则
222222
11a bi a b i z a bi a b a b a b -===-++++， 因为
1R z
∈，所以2
20b
a b =+，即0b =，所以z a R =∈；故C 正确； D 选项，设复数1(,)z a bi a b R =+∈，2(,)z c di c d R =+∈， 则()()()()12
z z a bi c di ac bd ad bc i =++=-++，
因为12z z R ∈，所以0ad bc +=，若11a b =⎧⎨
=⎩，2
2c d =⎧⎨=-⎩
能满足0ad bc +=，但12z z ≠，故D 错误. 故选：AC.
12．（2020·江苏东海·高二期中）下列关于复数的说法，其中正确的是（ ） A ．复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是
0b =
B ．复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数的充要条件是0b ≠
C ．若1z ，2z 互为共轭复数，则12z z 是实数
D ．若1z ，2z 互为共轭复数，则在复平面内它们所对应的点关于y 轴对称 【答案】AC
【解析】对于A ：复数(),z a bi a b R =+∈是实数的充要条件是0b =，显然成立，故A 正确； 对于B ：若复数(),z a bi a b R =+∈是纯虚数则0a =且0b ≠，故B 错误；
对于C ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所以
()()2122222z a bi a bi a b b z i a =+-=-=+是实数，故C 正确；
对于D ：若1z ，2z 互为共轭复数，设()1,z a bi a b R =+∈，则()2,z a bi a b R =-∈，所对应的坐标分别为(),a b ，(),a b -，这两点关于x 轴对称，故D 错误； 故选：AC
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13．（2020·北京师范大学珠海分校附属外国语学校高三月考）设32z i =+，则在复平面内z 对应的点位于第___________象限. 【答案】四
【解析】由32z i =+ ，可得32z i =-，其在复平面内对应的点为(3,2)-，位于第四象限． 故答案为：四.
14．（2020·开鲁县第一中学高三月考（理））已知i 是虚数单位，则2020
11
1i i i
+⎛⎫+= ⎪-⎝⎭
__________ 【答案】1i -
【解析】∵
()()()2
1121112i i i i i i i ++===--+，
∴2020
2020111
11i i i i i i
+⎛⎫+=+=- ⎪-⎝⎭
， 故答案为：1i -．
15．（2020·全国高一课时练习）设i 为虚数单位，()3||f z z i z =-+，若124z i =-+，25i z =-，则
12()f z z += _____.
【答案】3+【解析】由题得，1233z z i +=+
，12()(33)3|33|3f z z f i i ∴+=+=++=+
故答案为：3+
16．（2020·浙江高三二模）已知,a b ∈R ，复数z a i =-且
11z
bi i
=++（i 为虚数单位），则ab =__________，z =_________．
【答案】6ab =-
z =
【解析】∵复数z a i =-且
11z
bi i
=++ ∴
()(1)(1)(1)1122
a i a i i a a i
bi i -----+===++ ∴1
12{12
a a
b -=+-=
∴3
{
2
a b ==-
∴6ab =-，z ==
故答案为6-四、解答题(本大题共6小题，共70分)
17．（2020·上海高二课时练习）设(,)z a bi a b R =+∈，问：
（1）a ，b 满足什么条件时，
1+z
z 是实数； （2）a ，b 满足什么条件时，
2
1+z
z 是实数. 【答案】（1）0b =且1a ≠-；（2）0b =或2
2
1(0)+=≠a b a
【解析】（1）
11z a bi
z a bi
+=+++ ()()
()()
111a bi a bi a bi a bi ++-=
+++-
()22
222
1(1)a a abi abi b i
i b i a b +-++--=+ 2222
(1)a a b bi a b +++=++
222222
(1)(1)a a b bi a b a b ++=+++++ 若
1+z
z
是实数， 则22
0(1)b
a b
=++且220(1)a b ++≠，解得0b =且1a ≠-.
所以0b =且1a ≠-时，
1+z
z
是实数. （2）若
2
1+z
z 是实数， 则
2211z z z z ⎛⎫= ⎪++⎝⎭
，即2211z z z z =++ 所以22z zz z z z +=+，即()(1)0z z zz --=， 解得z z =或||1z =，
所以a bi a bi +=-
1=， 解得0b =或2
2
1(0)+=≠a b a .
所以0b =或22
1(0)+=≠a b a 时，
2
1+z
z
是实数. 18．（2020·
全国高一课时练习）已知12ω=-+（i 为虚数单位）
，求： （1）()
()2
2
2
222ωωωω+++；
（2）2
2
1
ωω+
；
（3）类比()
2
1i i =-，探讨ω（31ω=，ω为虚数）的性质，求()n
n R ω
∈的值.
【答案】（1）3；（2）-1；（3）1,3,32,,31n
n k n k k Z n k ωωω=⎧⎪==-∈⎨⎪=-⎩
【解析】（1
）12ω=-
+， 212ωω-∴==，31ω=，210ωω++=，1ωω⋅=，
()()
2
2
223423422244445583ωω
ωωωωωωωωωω∴++++++++=+=+=.
（2）42
2
22221
111ωωωωωωωω
++-+====-.
（3）由（1
）可知2122
ωω=-
-=，31ω=， 1,3,32,,31n n k n k k Z n k ωωω=⎧⎪
∴==-∈⎨⎪=-⎩
.
19．（2015·福建三明·高二月考（理））已知复数，是实数，其中是虚数单位，．
（1）求复数；
（2）若复数所表示的点在第一象限，求实数的取值范围．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）
∴
z−21+i
=
bi−21+i
=
(b−2)+(b+2)i
2
=
b−22
+
b+22
i ．又∵是实数，∴
b+22
=0,
∴b =−2，即．
(2)∵ z =−2i ，，
∴,
又∵复数所表示的点在第一象限，
∴{m 2−4>0,−4m >0,
解得m <−2，即m ∈(−∞,−2)时，复数所表示的点在第一象限．
20．已知复数(),z a bi a b R =+∈满足，复平面内有Rt ABC ∆,其中90BAC ∠=，点,,A B C 分别对应复数23
,,z z z ，如图所示，求z 的值.
【答案】1-±
【解析】由z a bi =+，得A 点坐标为a b （，）
， 由()2222z a b abi =-+ ，得C 点坐标为()22,2a
b ab - 由()()3223333z a ab a b b i =-+- ，得B 点坐标为()32233,3a ab a b b -- 再有222AB ab b k a b a -=-- ，233233AC a b b b k a ab a
--=-- 由 A B A C k k 1⋅=-且222BC AB AC =+
可得1a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩
得1z =-。