【精选高中试题】广东省珠海一中等六校高三第三次联考数学理试题Word版含答案

2018届广东省六校第三次联考
理科数学 第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合y x y x M ,|),{(=为实数，且}222=+y x ，y x y x N ,|),{(=为实数，且}2=+y x ，则N M 的元素个数为( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
2.设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若30953==S S ，,则=++987a a a ( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27
3.若变量y x ,满足约束条件⎪⎩
⎪
⎨⎧≤--≥--≤0340120y x y x y ，则y x z 53+=的取值范围是( )
A ．[)∞+，
3 B ．[]3,8- C ．(]9,∞- D ．[]9,8- 4.函数x x x y sin |
|ln 1|
|ln 1⋅+-=
的部分图象大致为( )
A ．
B ．
C. D ．
5.设函数()()
ϕ+=x x f 3cos ，其中常数ϕ满足0<ϕ<π-.若函数)(')()(x f x f x g +=（其中
)('x f 是函数)(x f 的导数）是偶函数，则ϕ等于( )
A ．3π-
B ．π-65 C. 6π- D ．3
2π-
6.执行下面的程序框图，如果输入的k b a ,,分别为1，2，3，输出的8
15
=M ,那么，判断框中应填入的条件为( )
A ．k n <
B ．k n ≥ C.1+<k n D ．1+≤k n
7.已知()()()()()n
n n
i b i b i b i b i +-+++-++-++-=+-222212
210
0 i n ,2≥（为虚数单位）
，又数列{}n a 满足：当1=n 时，21-=a ；当2≥n ，n a 为()2
22i b +-的虚部，若数列⎭
⎬⎫
⎩⎨
⎧-n a 2的前n 项和为n S ，则=2018S ( ) A ．
20182017 B ．20172018 C.20184035 D ．2017
4033
8.如图，在同一个平面内，三个单位向量,,满足条件：与的夹角为α，且
7tan =α，与与的夹角为45°.若()R n m OB n OA m OC ∈+=,，则n m +的值为( )
A ．3
B ．
223 C.23 D ．2
2
9.四面体ABC S -中，三组对棱的长分别相等，依次为x ，，
45，则x 的取值范围是( ) A ．()412， B ．()93，
C. ()
413， D ．()92， 10.从2个不同的红球、2个不同的黄球、2个不同的篮球共六个球中任取2个，放入红、黄、蓝色
的三个袋子中，每个袋子至多放入一个球，且球色与袋色不同，那么不同的放法有( ) A ．42种 B ．36种 C.72种 D ．46种
11.已知点F 为双曲线()0,1:22
22>=-b a b
y a x E 的右焦点，直线)0(>=k kx y 与E 交于N M ,两点，
若NF MF ⊥,设β=∠MNF ,且⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡ππ∈β612，，则该双曲线的离心率的取值范围是( ) A ．
[]62,
2+ B ．[]13,2+ C. []62,2+ D ．
[]
13,
2+
12.已知()()2211,,y x B y x A 、是函数()x x x f ln =
与()2x
k
x g =图象的两个不同的交点，则()21x x f +的取值范围是( )
A ．⎪⎭⎫
⎝⎛+∞,2ln 2e e B ．⎪⎭⎫ ⎝⎛e e e 1,2ln 2 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛e 10， D ．⎪⎭
⎫
⎝⎛0,2ln 2e e 第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上） 13.已知函数)(x f y =是定义在R 上的奇函数，则
()⎰
=⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
+-3
1
12dx x x f ． 14.已知函数()x b x a x f cos sin -=，若⎪⎭
⎫
⎝⎛+π=⎪⎭⎫ ⎝⎛-πx f x f 44，则函数13++=b ax y 恒过定点 ．
15.已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图为一正方形，则该几何体的表面积为 ．
16.若函数()x f 的图象上存在不同的两点()()2211,,,y x B y x A ，其中2211,,,y x y x 使得
2
22221212121y x y x y y x x +⋅+-+的最大值为0，则称函数()x f 是“柯西函数”.给出下列函数：
①()()30ln <<=x x x f ； ②()()01
>+=x x
x x f ； ③()822+=
x x f ； ④()822-=x x f .
其中是“柯西函数”的为 （填上所有正确答案的序号）．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n S 的前n 项和为n T ，满足*∈-=N n n S T n n ,22. (Ⅰ)求321,,a a a 的值； (Ⅱ)求数列{}n a 的通项公式.
18.某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份食品，然后以每份10元的价格出售.如果当天卖不完，剩下的食品还可以每份1元的价格退回食品厂处理.
(Ⅰ)若小店一天购进16份，求当天的利润y （单位：元）关于当天需求量n （单位：份，N n ∈）的函数解析式；
(Ⅱ)小店记录了100天这种食品的日需求量（单位：份），整理得下表： 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率.
(i)小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润（单位：元），求X 的分布列及数学期望； (ii)以小店当天利润的期望值为决策依据，你认为一天应购进食品16份还是17份？ 19如图，在四棱锥ABCD P -中，ABCD 是平行四边形，︒=∠==120,1BAD BC AB ，
2==PC PB ,
F E PA ,,2=分别是PD AD ,的中点.
(Ⅰ)证明：平面⊥EFC 平面PBC ； (Ⅱ)求二面角P BC A --的余弦值.
20.已知椭圆()01:2222>>=+b a b y a x C 的离心率为2
3，21A A 、分别为椭圆C 的左、右顶点点
()1,2-P 满足121=⋅PA .
(Ⅰ)求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)设直线l 经过点P 且与C 交于不同的两点N M 、，试问：在x 轴上是否存在点Q ，使得QM 与直线QN 的斜率的和为定值？若存在，请求出点Q 的坐标及定值；若不存在，请说明理由.
21.已知函数()()2
2
1x a e x x f x
-
-=，其中R a ∈. (Ⅰ)函数()x f 的图象能否与x 轴相切？若能，求出实数a ，若不能，请说明理由；
(Ⅱ)求最大的整数a ，使得对任意()+∞∈∈,0,21x R x ，不等式()()221212x x x f x x f ->--+恒成立.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. 22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程为⎩⎨
⎧α
=α
+=sin cos t y t m x （t 为参数，π<α≤0），以坐标原点为极点，以x 轴正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为θ=ρcos 4，射线4,44
π+ϕ=θ⎪⎭⎫ ⎝⎛π<ϕ<π
-
ϕ=θ，
4
π
-
ϕ=θ分别与曲线C 交于C B A 、、三点（不包括极点O ）. (Ⅰ)求证：OA OC OB 2=+；
(Ⅱ)当12
π
=ϕ时，若C B 、两点在直线l 上，求m 与α的值.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数()a x a x x f 222-+-+=. (Ⅰ)若()31<f ，求实数a 的取值范围；
(Ⅱ)若不等式()2≥x f 恒成立，求实数a 的取值范围.
2018 届广东省六校第三次联考
理科数学参考答案
一、选择题
1-5: BADAA 6-10: CCBCA 11、12：DD 二、填空题
13.3ln 14.()31， 15. 23224++ 16.① ④ 三、解答题
17.解：(Ⅰ)∵12111-==S T S ,111a S ==，∴11=a . ∵422221-==+S T S S ,∴42=a . ∵9233321-==++S T S S S ,∴103=a .
(Ⅱ)∵ 22n S T n n -=①，()2
1112--=--x S T n n …②，
∴①-②得，()2122≥+-=n n a S n n ，∵112211+⨯-=a S ， ∴()1122≥+-=n n a S n n …③，
32211+-=--n a S n n …④， ③-④得，()2221≥+=-n a a n n ， )2(221+=+-n n a a .
∵321=+a ，∴{}2+n a 是首项3公比2的等比数列，1232-⨯=+n n a ， 故2231-⨯=-n n a .
18.解：(Ⅰ)当日需求量16≥n 时，利润80=y ， 当日需求量16<n 时，利润649)16(45-=--=n n n y ，
所以y 关于n 的函数解析式为()N n n n n y ∈⎩
⎨
⎧≥<-=16,8016
,649.
(Ⅱ)(i)X 可能的取值为62，71，80，
并且()()2.071,1.062====X P X P ,()7.080==X P .X 的分布列为：
X 62 71 80 P
0.1
0.2
0.7
X 的数学期望为()4.767.0802.0711.062=⨯+⨯+⨯=X E 元.
(ii)若小店一天购进17份食品，Y 表示当天的利润（单位：元），那么Y 的分布列为
Y 58 67 76 85 P
0.1
0.2
0.16
0.54
Y 的数学期望为()26.7754.08516.0762.0671.058=⨯+⨯+⨯+⨯=Y E 元.
由以上的计算结果可以看出，()()Y E X E <,即购进 17 份食品时的平均利润大于购进 16份时的平均利润．所以，小店应选择一天购进 17 份. 19.
解法一：(Ⅰ)取BC 中点G ，连AC AG PG ,,,∵PC PB =,∴BC PG ⊥, ∵ABCD 是平行四边形，1==BC AB ,
120=∠BAD ,∴60=∠ABC ,
∴ABC ∆是等边三角形，∴BC AG ⊥,
∵G PG AG = ,∴⊥BC 平面PAG ,∴PA BC ⊥. ∵F E ,分别是PD AD , 的中点,∴PA EF //,AG EC //, ∴EF BC ⊥,EC BC ⊥,∵E EC EF = ,∴⊥BC 平面EFC , ∵⊂BC 平面PBC ,∴平面⊥EFC 平面PBC . (Ⅱ)由(Ⅰ)知BC AG BC PG ⊥⊥,, ∴PGA ∠是二面角P BC A --的平面角. ∵2,2
3,27412===-
=
PA AG PG , 在PAG ∆中，根据余弦定理得,7
21
2cos 222=
⋅-+=∠AG PG PA AG PG PGA , ∴二面角P BC A --的余弦值为7
21
-. 解法二：
(Ⅰ)∵ABCD 是平行四边形，1==BC AB ,
120=∠BAD ，∴60=∠ADC ,
∴ADC ∆是等边三角形，∵E 是AD 的中点， ∴AD CE ⊥,∵BC AD //, ∴BC CE ⊥.
分别以,的方向为x 轴、y 轴的正方向，C 为坐标原点， 如图建立空间直角坐标系. 则()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛0,21,23,0,0,23,0,0,0A E C ,⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-0,21,23D ,
设()z y x P ,,
2==
4=,解得1,2
1
,23==-
=z y x ， ∴可得⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-1,21,23P , ∵F 是PD 的中点，∴⎪⎭
⎫ ⎝⎛
21,0,0F ,∵0=∙,∴CF CB ⊥,∵BC CE ⊥,
C CF CE = ,∴⊥BC 平面EFC ,∵⊂BC 平面PBC ,
∴平面⊥EFC 平面PBC .
(Ⅱ)由(Ⅰ)知，()0,1,0=CB ,⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-
=1,21,23,设z y x ,,=是平面PBC 的法向量，则
⎪⎩⎪⎨⎧⊥⊥，∴⎪⎩
⎪
⎨⎧=++-
=∙==∙021
230z y x n CP y ， 令2-=x ，则)3,0,2(--=， 又)1,0,0(=是平面ABC 的法向量，
∴7
21,cos -
=<， ∴二面角P BC A --的余弦值为7
21-
. 注：直接设点()z F ，，00，或者说⊥CF 平面ABCD ,AD PA ⊥，酌情扣分. 20.解：(Ⅰ)依题意，()0,1a A -、()0,2a A ，()12-，P ， ∴()22151,2)1,2a a a PA -=-⋅--=
⋅（, 由121=⋅PA ,
0>a ,得2=a ，∵2
3
=
=a c e ， ∴1,3222=-==c a b c ，
故椭圆C 的方程为14
22
=+y x . (Ⅱ)假设存在满足条件的点()0,t Q .当直线l 与x 轴垂直时， 它与椭圆只有一个交点，不满足题意.
因此直线l 的斜率k 存在，设)2(1:-=+x k y l ，由⎪⎩⎪
⎨⎧=+-=+14
)2(12
2y x x k y ，消y 得 ()()
016168164122
2
2
=+++-+k k x k k
x k ，
设()()2211,,y x N y x M 、，则2
2212221411616,41816k k
k x x k k k x x ++=++=+，
∵()()()()()()t x t x t x k kx t x k kx t
x y
t x y k k QN QM -----+---=-+-=
+211221
22111212 ()()()()()()()2
222212121212824284122122t
k t k t t k t t x x t x x t
k x x kt k x kx +-+-+-=++-+++++-=
， ∴要使对任意实数Q N Q M k k k +,为定值，则只有2=t ，此时，1=+Q N Q M k k . 故在x 轴上存在点()0,2Q ,使得直线QM 与直线QN 的斜率的和为定值1. 21.解：(Ⅰ)由于ax xe x f x
-=)('. 假设函数()x f 的图象与x 轴相切于点()0,t ，
则有⎩⎨⎧==0)('0)(t f t f ，即()⎪⎩⎪⎨⎧=-=--0
'0
2'12at te t a e t . 显然0',0>=≠a e t 代入方程()02
'12
=-
-t a e t 中得，0222=+-t t . ∵04<-=∆，∴无解．故无论a 取何值，函数()x f 的图象都不能与x 轴相切. (Ⅱ)依题意，()()()()21212121x x x x x x f x x f +-->--+
()()()()21212121x x x x f x x x x f -+->+++⇔恒成立.
设()x x f x g +=)(，则上式等价于()()2121x x g x x g ->+，要使()()2121x x g x x g ->+
对任意()+∞∈∈,0,21x R x 恒成立，即使()()x x a e x x g x
+-
-=2
2
1在R 上单调递增， ∴01)('≥+-=ax xe x g x 在R 上恒成立.
则1,01)1('+≤≥+-=e a a e g ，∴0)('≥x g 在R 上成立的必要条件是：1+≤e a .
下面证明：当3=a 时，013≥+-x xe x
恒成立.
设()1--=x e x h x ，则1)('-=x e x h ，当0<x 时，0)('<x h ，当0>x 时，0)('>x h ， ∴0)0()(min ==h x h ，即1,+≥∈∀x e R x x .那么，
当0≥x 时，()011213,2
22≥-=+-≥+-+≥x x x x xe x x xe x x ；
当0<x 时，0)13(13,1>+-=+-<x
e x x xe e x x x ，∴013≥+-x xe x
恒成立.
因此，a 的最大整数值为 3.
22.解：(Ⅰ)证明：依题意，ϕ=cos 4OA ，
⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π-ϕ=⎪⎭⎫ ⎝⎛π+ϕ=4cos 4,4cos 4OC OB ，
则OA OC OB 2cos 244cos 44cos 4=ϕ=⎪⎭⎫ ⎝
⎛π-ϕ+⎪⎭⎫ ⎝⎛π+
ϕ=+. (Ⅱ)当12π=
ϕ时，C B 、两点的极坐标分别为⎪⎭⎫ ⎝
⎛
π-⎪⎭⎫ ⎝⎛π63232，，，， 化直角坐标为()()
3331-，，，C B .
经过点C B 、的直线方程为()23--=x y ，
又直线l 经过点()0,m ，倾斜角为α，故3
2,2π=
α=m . 23.解：(Ⅰ)∵()31<f ，∴321<-+a a ， ①当0≤a 时，得32,3)21(-
><-+-a a a ，∴03
2≤<-a ； ②当210<<a 时，得2,3)21(-><-+a a a ，∴2
10<<a ； ③当21≥a 时，得34,3)21(<<--a a a ，∴3421<≤a . 综上所述，实数a 的取值范围是⎪⎭
⎫
⎝⎛-3432，. (Ⅱ)∵()a x a x x f 212
2-+-+=，根据绝对值的几何意义知，当21a x -=时，()x f 的值最小, ∴221≥⎪⎭⎫ ⎝⎛
-a f ，即22
51>-a ， 解得56>
a 或52-<a .∴实数a 的取值范围是⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,5652, .。