山东省泰安2025届高三上学期11月月考数学试题含答案

泰安2025届高三上学期期中模拟考试
数学试题（答案在最后）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.已知集合{}{
}2|20,|128,x A x x x B x x =--≤=≤≤∈Z
，则A B = （）
A.
[]1,3- B.
{}0,1 C.
[]0,2 D.
{}0,1,2【答案】D 【解析】
【分析】根据一元二次不等式求集合A ，根据指数函数单调性求集合B ，进而求交集.【详解】因为集合{}
{}2
|20|12A x x x x x =--≤=-≤≤，
{}
{}{}|128,|03,0,1,2,3x B x x x x x =≤≤∈=≤≤∈=Z Z ，
所以{}0,1,2A B = ．故选：D ．
2.命题“[]1,2x ∃∈-，2
102
x a -≤”是真命题的一个充分不必要条件是（）
A.0a ≥
B.3a ≥-
C.0a ≤
D.3
a ≥【答案】D 【解析】
【分析】将不等式成立的存在性问题转化为函数的最值问题，得到a 的取值范围，再由充分不必要条件的定义得到结果.
【详解】因为“[]1,2x ∃∈-，2
102x a -≤”，所以2min
12a x ⎛⎫≥ ⎪⎝⎭，所以0a ≥．
结合选项及充分不必要条件知“3a ≥”是“0a ≥”的充分不必要条件．故选：D ．
3.已知奇函数(
)()22cos x x
f x m x -=+⋅，则m =（
）
A.1-
B.0
C.1
D.
1
2
【答案】A
【解析】
【分析】由()()0f x f x +-=即可求解.【详解】(
)()
()2
2cos()22cos x
x x x f x m x m x ---=+-=+，
()f x 是奇函数，()
()()2222cos 0x x x x
f x f x m x --⎤⎡∴
+-=+++=⎣⎦
，()
(1)22cos 0x x m x -∴++=，10m ∴+=，1m =-．
故选:A ．
4.设公差0d ≠的等差数列{}n a 中，3a ，5a ，8a 成等比数列，则135
147
a a a a a a ++=++（
）
A.
54
B.
34
C.
45 D.
43
【答案】C 【解析】
【分析】利用等比数列求出首项与公差的关系，然后利用等差中项化简所求表达式即可．【详解】解：因为公差0d ≠的等差数列中，3a ，5a ，8a 成等比数列，
所以2
538a a a =⋅，即()()()2
111427a d a d a d +=+⋅+，解得12d a =，
所以
13533114744132224
33235
a a a a a a d d d a a a a a a d d d ++++=====++++，
故选：C ．
5.已知α，β都是锐角，1
cos 7α=，()11cos 14
αβ+=-，求cos β=（）
A.
1
2
B.
3998 C.
5998
D.
7198
【答案】A 【解析】
【分析】利用同角三角函数之间的关系可求得sin α，()sin αβ+，再利用两角差的余弦公式可得结果.【详解】由1cos 7α=
，()11cos 14αβ+=-以及α，β都是锐角可得43sin 7α=，()53sin 14
αβ+=；所以()()()cos cos cos cos sin sin βαβααβααβα
=+-=+++
111491147147982
=-
⨯+⨯==.故选：A 6.函数()11ln sin 21x
f x x x
+=--的零点个数为（）A.1 B.0
C.3
D.2
【答案】A 【解析】
【分析】利用导数判断函数的单调性，结合()00f =，即可判断出答案.【详解】由
101x
x
+>-，可得11x -<<，即定义域为−1,1，所以()()221121cos cos 2111x f x x x x x
x -=
⨯⨯=-+--'-，由于21(0,1]x -∈，故
2
1
cos 01x x
-≥-，即′≥0，当且仅当=0时取等号，即()f x 在−1,1上为单调递增函数，又()00f =，
所以()f x 仅有一个零点．故选：A ．
7.在ABC V 中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若,,cos cos cos a b c
A B C 成等差数列，则sin cos cos A B C
的最小值为（）
A.3
B.4
C.5
D.6
【答案】A 【解析】
【分析】根据等差中项和三角恒等变换化简得tan tan 3A C =，然后结合和差公式将所求化简为关于
tan ,tan A C 的表达式，利用基本不等式可得.
【详解】由题知
2cos cos cos a c b A C B +=，由正弦定理得sin sin 2sin cos cos cos A C B
A C B
+=，即
()sin sin cos cos sin sin 2sin cos cos cos cos cos cos cos A C A C A C B B
A C A C A C B
++===
，因为()0,π,sin 0B B ∈>，所以cos 2cos cos B A C =，
又()cos cos cos cos sin sin B A C A C A C =-+=-+，
所以cos cos sin sin 2cos cos A C A C A C -+=，得tan tan 3A C =，所以,A C 最多有一个是钝角，所以tan 0,tan 0A C >>，
因为
()sin sin sin cos cos sin tan tan cos cos cos cos cos cos B C A B C B C B C
B C B C B C
++===+()tan tan 13
tan tan tan tan tan 1tan tan 22
A C A C C C A C A C +=-++=-
+=+-，
由基本不等式得
13tan tan 322A C +≥，当且仅当13tan tan 22
tan tan 3
A C A C ⎧=⎪
⎨⎪=⎩，即tan 3,tan 1A C ==时等号成立，所以
sin cos cos A
B C
的最小值为3.
故选：A
【点睛】关键点睛：本题主要在于利用三角恒等变换和三角形内角和定理，将已知和所求转化为tan ,tan A C 的表达式，即可利用基本不等式求解.
8.已知函数()f x 的定义域为R ，且满足()()()22f x f y f x y xy +=+-+，()12f =，则下列结论正确的是（
）
A.()412f =
B.方程()2f x x =有解
C.()f x 是偶函数
D.12f x ⎛
⎫
-
⎪⎝
⎭
是偶函数【答案】B 【解析】
【分析】根据已知得到()()12f x f x x +-=，应用递推式及累加法求()f x 解析式，进而判断各项正误.【详解】因为函数()f x 的定义域为R ，
由()()()22f x f y f x y xy +=+-+，()12f =，取1x y ==，得()24f =，取2x y ==，得()414f =，故A 错误．取1y =，得()()12f x f x x +-=，
所以()()()121f x f x x --=-，()()()1222f x f x x ---=-，⋯，()()212f f -=，
以上各式相加得()()()()2212112
x x f x f x x ⎡⎤-+⋅-⎣
⎦-==-，所以()2
2f x x x =-+，不是偶函数，故C 错误；
令()2
22f x x x x =-+=，得2320x x -+=，解得=1或2，故B 正确；
因为()2
2f x x x =-+，所以22
11111(222224f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-
=---+=-+ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝
⎭不是偶函数，故D 错误.故选：B
二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.设正实数,m n 满足1m n +=，则（）
A.
的最小值为
1
2 B.
12
m n
+的最小值为3+
C.
D.22m n +的最小值为
12
【答案】BD 【解析】
【分析】利用基本不等式判断A ，利用基本不等式“1”的妙用判断B ，利用平方法，结合基本不等式判断C ，利用完全平方公式，结合基本不等式判断D ，从而得解.
【详解】对于A ，112
m n =+≥⇒≤，
当且仅当12m n ==
取最大值1
2
，故A 不正确；对于B ，因为正实数,m n 满足1m n +=，
所以
()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥++ ⎪⎝⎭，
当且仅当2n m
m n =且1m n +=，即1,2m n ==-
所以12
m n
+的最小值为3+B 正确；
对于C ，
2
2m n m n m n =+++++=⇒，
当且仅当1
2m n ==+≤，即最大值为2，故C 错误；
对于D 11
24
mn ≤⇒≤，
因此()22
2212111242
m n mn m m n n =+-=+≥-⨯=-，
当且仅当12m n ==时取等号，则22m n +的最小值为1
2
，故D 正确.故选：BD
10.已知函数()()π
2sin (0,)2
f x x ωϕωϕ=+><
的图象过点()0,1A 和()00,2(0)B x x ->，且满足
min ||AB =）
A.π6ϕ=B .2π
3
ω=C.当1,14x ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
时，函数()f x 值域为[]0,1D.函数()y x f x =-有三个零点【答案】ABD 【解析】
【分析】根据()0,1A 和ϕ的范围即可得π6ϕ=
，进而根据min ||AB =2π
.3
ω=
即可判断AB ，根据整体法即可求解C ，利用函数图象即可求解D.
【详解】解：点()0,1A 代入解析式得，()2sin 01ωϕ⨯+=，即1
sin 2
ϕ=，又ππ26
ϕϕ<
∴= 故A 项正确.
由min ||AB ==02x =±，又00x >Q ，02x ∴=，
由A 项可知()π2sin 6f x x ω⎛
⎫=+
⎪⎝
⎭，则有()π22sin 226f ω⎛
⎫=+=- ⎪⎝
⎭，
因此πsin 216ω⎛
⎫
+=- ⎪⎝
⎭
，又因为()0,1A 和()2,2B -和min ||AB =可知，π3π2=62ω+
，解得2π.3
ω=故B 项正确.
由AB 选项可知，()2ππ2sin +36f x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则1,14x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
时，2ππ5π0,366x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，此时函数()f x 值域为[]
0,2.故C 项错误.
由五点作图法作出()2π
π2sin 3
6f x x ⎛⎫=+
⎪⎝⎭的图象及y x =的图象，如下图所示。

通过图象可知()2π
π2sin 3
6f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭与y x =的图像有3个不同交点，
因此函数()y x f x =-有三个零点.因此D 项正确。

故选：ABD
11.已知n S 是数列{}n a 的前n 项和，且2
1n n S S n +=-+，则下列选项中正确的是（
）
A.()1212n n a a n n ++=-≥
B.()222n n a a n +-=≥
C.若10a =，则1004950
S =D.若数列{}n a 单调递增，则1a 的取值范围是11,42⎛⎫
- ⎪⎝⎭
【答案】ABC 【解析】
【分析】由2
1n n S S n +=-+推出()
()2
112n n S S n n -=-+-≥，两式相减即可判断A ；由
()1212n n a a n n ++=-≥推出()1221121n n a a n n +++=+-=+，两式相减即可判断B ；由22n n a a +-=分
析知，中奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列，再由等差数列得前n 项和公式求和可判断C ；根据数列单调递增可判断D.【详解】对于A ，2
1n n S S n +=-+ ①，()
()2
112n n S S n n -∴=-+-≥②.
由①-②式可得；()1212n n a a n n ++=-≥，∴A 选项正确；对于B ，因为()1212n n a a n n ++=-≥，所以()1221121n n a a n n +++=+-=+，
两式相减得：()222n n a a n +-=≥，所以B 正确；对于C ，因为2
1n n S S n +=-+，
令1n =，得2
1211+=-+a a a ，因为10a =，所以21a =，令2n =，得22
32112=-+++-a a a a a ，因为10a =，21a =，
可得32a =，
因为()222n n a a n +-=≥，而312a a -=，所以22n n a a +-=，所以奇数项是以10a =为首项，2为公差的等差数列，偶数项是以21a =为首项，2为公差的等差数列，所以10012399100
=+++++ S a a a a a ()()
139924100a a a a a a =+++++++ 5049504950025012495022⨯⨯⎛
⎫⎛⎫=⨯+⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以C 选项正确；
对于D ，2
1n n S S n +=-+，
令1n =，则211S S =-+，所以1211a a a +=-+，则2121a a =-+，又因为1221n n a a n +++=+，令1n =，则233a a +=，所以()3211332122a a a a =-=--+=+，同理：
()4311552223a a a a =-=-+=-+，()5411772324a a a a =-=--+=+，
因为数列单调递增，所以1234n a a a a a <<<<< ，
解12a a <得：113a <，解23a a <得：11
4a >-，
解34a a <得：11
4a <，
解45a a <得：11
4a >-，
解56a a <得：11
4
a <，
所以1a 的取值范围是11,44⎛⎫
- ⎪⎝
⎭，所以D 不正确.故选：ABC.
【点睛】关键点点睛：解题的关键点是利用22n n a a +-=得出的奇数项、偶数项分别成等差数列.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.已知数列{}n a 为正项等比数列，11089100,2a a a a ==-，若n T 是数列{}n a 的前n 项积，则当n T 取最大值时n 的值为______．【答案】7【解析】
【分析】设等比数列{}n a 的公比为q ，根据题意，列出方程求得12q =，得到1
11002n n a -⎛⎫=⨯ ⎪
⎝⎭
，结合71a >，
81a <，进而得到答案.
【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，其中0q >，
因为10892a a a =-，可得117198
2q q a q a a =-，所以2210q q +-=，
解得12q =或1q =-（舍去），则1
11002n n a -⎛⎫=⨯ ⎪⎝⎭
，
又当7n =时，6
7110012a ⎛⎫=⨯> ⎪⎝⎭，当8n =时7
8110012a ⎛⎫=⨯< ⎪⎝⎭
，
所以当n T 取最大值时n 的值为7．故答案为：7.
13.为了测量隧道口A 、
B 间的距离，开车从A 点出发，沿正西方向行驶D 点，然后从D 点出发，沿正北方向行驶一段路程后到达
C 点，再从C 点出发，沿东南方向行驶400米到达隧道口B 点处，
测得BD 间的距离为1000米.则隧道口AB 间的距离是___________.
【答案】1000【解析】
【分析】根据给定条件，利用正弦定理、余弦定理列式计算即得.
【详解】在BCD △中，400,1000,45BC BD BCD ==∠=
，
由正弦定理得40022sin 10005
BDC ⨯
∠=
=，
而CD AD ⊥，则cos sin 5
ADB BDC ∠=∠=
，在ABD △中，AD =
由余弦定理得：1000AB =.故答案为：1000
14.函数()f x 的导函数为()f x '，若在()f x 的定义域内存在一个区间(),D f x 在区间D 上单调递增，
()f x '在区间D 上单调递减，则称区间D 为函数()f x 的一个“渐缓增区间”．若对于函数()2
e x
f x a x =-，
区间10,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭
是其一个渐缓增区间，那么实数a 的取值范围是______．
【答案】,e e ⎥⎣⎦
【解析】
【分析】先通过′在区间10,2⎛
⎫
⎪⎝
⎭
上单调递减，
得到其导函数不大于零恒成立，通过参变分离求最值得a 的范围，再通过()f x 在区间10,2⎛⎫
⎪⎝
⎭
上单调递增，得到其导函数不小于零恒成立，通过单调性求得a 的范围，综合可得答案.
【详解】对于函数()2
e x
f x a x =-，10,
2x ⎛⎫∈ ⎪⎝
⎭
()e 2x f x a x '=-，令()e 2x g x a x =-，
则()e 2x
g x a '=-，因为′在区间10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以e 20x a -≤恒成立，即2e x a ≤
恒成立，又12
22e e x >=，
所以e
a ≤，又()f x 在区间10,
2⎛
⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，所以()e 20x f x a x ='-≥恒成立，
所以1
2e 10a -≥
，解得e
a ≥，综合得e 2e e e
a ≤≤.
故答案为：,e e ⎣⎦.四、解答题：本题共5小题，共60分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15.记ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知()()sin sin sin sin .
C A B B C A -=-（1）证明：2222;
a b c =+（2）若3102
a =，5cos 8A =，求ABC V 的周长.【答案】（1）证明见解析
（2
）92
+【解析】
【分析】（1）利用正弦函数的和差公式，结合正弦定理与余弦定理的边角变换，化简整理即可得证；
（2）利用（1）中结论与余弦定理分别求得22,2b c bc +，从而求得b c +，由此得解.
【小问1详解】
已知()()sin sin sin sin C A B B C A -=-，
可化为sin sin cos sin cos sin sin sin cos sin cos sin C A B C A B B C A B C A -=-，
由正弦定理可得cos cos cos cos ac B bc A bc A ab C -=-，即cos 2cos cos ac B bc A ab C =-，由余弦定理可得222222222
2222a c b b c a a b c ac bc ab ac bc ab
+-+-+-⋅=⋅-⋅，整理得2222a b c =+.
【小问2详解】
当2a =，5cos 8A =
时，2222(452
b c +=⨯=
，22222(
)22365cos cos 8b c a a bc A A +-====，所以222()2453681b c b c bc +=++=+=，解得9b c +=，
所以ABC V 的周长为3109.2a b c ++=
+16.已知函数()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
．（1）求函数()f x 的单调递减区间；
（2）将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12
（纵坐标不变），再向右平移π6个单位，得到函数()g x 的图象，若()65g α=-，且π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭
，求cos2α的值．【答案】（1）π4π2π+,2π+,33k k k ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦
Z （2
）3
10
+【解析】
【分析】（1）利用两角和的正、余弦公式及诱导公式化简函数()f x 的解析式，再由整体角范围求解不等式可得单调区间；
（2）由伸缩变换与平移变换得()g x 解析式，得π3sin 265
α⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭，根据整体角范围求余弦值，再由
ππ2266αα⎛⎫=-+ ⎪⎝
⎭角的关系，利用两角和的余弦公式求解可得.【小问1详解】
()πππsin cos sin 632f x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
ππππsin cos cos sin cos cos sin sin cos 6633x x x x x ⎛⎫=+--+ ⎪⎝⎭
11sin cos cos cos 2222
x x x x x =+-++πcos 2sin
6x x x ⎛⎫=+=+ ⎪⎝
⎭.由
ππ3π2π2π,262k x k k +≤+≤+∈Z ，解得π4π2π2π,33k x k k +≤≤+∈Z 即π4π2π+,2π+,33x k k k ⎡
⎤∈∈⎢⎥⎣⎦
Z 时，函数单调递减，所以函数()f x 的单调递减区间为π4π2π+
,2π+,33k k k ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦Z ；【小问2详解】
将函数()f x 图象上所有点的横坐标缩短为原来的12
（纵坐标不变），则得到函数π(2)2sin 26f x x ⎛
⎫=+ ⎪⎝⎭的图象，再向右平移π6
个单位，得到函数()g x 的图象，所以πππ()2sin 22sin 2666g x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎦
.若()65g α=-，则π6()2sin 265g αα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，π3sin 265α⎛⎫-=- ⎪⎝
⎭.由π5π,612α⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，得ππ2π2,623α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又πsin 206α⎛⎫-< ⎪⎝
⎭，
所以ππ2,062α⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，则π4cos 265α⎛⎫-== ⎪⎝⎭，
故ππππππcos2cos 2cos 2cos sin 2sin 666666αααα⎛
⎫⎛⎫⎛⎫=-+=--- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝
⎭4313525210
+⎛⎫=⨯--⨯= ⎪⎝⎭.故cos2α
的值为310
+.17.已知数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭
是以公比为3，首项为3的等比数列，且11a =.（1）求出{}n a 的通项公式；
（2）设2n n n na b a =+，数列{}n b 的前n 项和为n S ，若不等式123
n n n S λ+>-对任意的N n *∈恒成立，求实数λ的取值范围.
【答案】（1）231n n a =
-（2）43,
⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭
【解析】
【分析】（1）由
1113n n n a a +-=利用累加法求出1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式，进而求出的通项公式.（2）由231n n a =-得3n n n b =，利用错位相减法求出3232223n n n S +=-⋅，不等式123n n n S λ+>-可转化为31223n λ<-⨯，利用31223n n c =-⨯的单调性求出最小值即可.【小问1详解】
∵数列111n n a a +⎧⎫-⎨⎩⎭
是首项为3，公比为3的等比数列，∴1111333n n n n a a -+-=⨯=，∴当2n ≥时，12111221111111333n n n n n n a a a a a a -----⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-++-=+++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()
131333132n n ---=-，即111332n n a a --=，∴1133133311222
n n n n a a ---=+=+=，∴231n n a =-.又11a =也满足上式，∴数列的通项公式为231
n n a =
-；【小问2详解】
由（1），可得()
2
2312232231231n n n n n n n n na n n b a ⋅-====++-+-，∴231233333n n n S =++++ ①，234111231333333n n n n n S +-=+++++ ②，由①-②，得23121111333333n n n n S +=++++- ，∴2111111131323321113333323322313
n n n n n n n n n n n n S -⎛⎫⨯- ⎪+⎛⎫⎝⎭=++++-=-=--=- ⎪⋅⎝⎭- ，∴不等式123n n n S λ+>-可化为323122·33n n n n λ++->-，即31223n λ<-⨯对任意的N n *∈恒成立，令31223n n
c =-⨯且{}n c 为递增数列，即转化为()min n c λ<.又min 143c c ==，所以43
λ<，综上，λ的取值范围是4,
3∞⎛⎫- ⎪⎝⎭.18.已知函数()()121e x
x f x a x b -=---，其中,a b 是实数.（1）若0a =，求()f x 的单调区间；
（2）若函数()f x 不具有单调性，求实数a 的取值范围；
（3）若()0f x ≤恒成立，求a b +的最小值.
【答案】（1）()f x 在(),2-∞单调递增，()2,+∞单调递减
（2）312e a >-
（3）0
【解析】
【分析】（1）求出导函数，解不等式即可求解；
（2）由题意()22e
x x f x a -'=
-在定义域内有异号零点，利用导数研究其单调性，结合零点存在性定理列不等式求解即可；
（3）易知当1x =时，0b a +≥，再证=-b a 能成立，即证：存在a ，使得
()122e x x a x -≤-恒成立，构造函数，利用导数研究其最值即可求解.
【小问1详解】
当0a =时，()1e x x f x b -=-，则()2e x
x f x ='-，令()0f x '>，解得2x <，令()0f x '<，解得2x >，
所以()f x 在(),2∞-单调递增，()2,∞+单调递减；
【小问2详解】
函数()f x 的图象是连续的，且不具有单调性，
()22e x
x f x a -∴=-'在定义域内有正有负（有异号零点），记()()22e x x g x f x a -=-'=，则()3e
x x g x '-=在(),3∞-为负，()3,∞+为正，()f x ∴'在(),3∞-单调递减，()3,∞+单调递增，故存在12x a =-，使得()()21222222e 20e a a a f x a a a -+=
-=+->'，只需()()3min 1320e f x f a ==-
-'<'，即312e
a >-.【小问3详解】()121e x x a x
b -≤-+对任意x 都成立，当1x =时，0b a +≥，下证：=-b a 能成立，即证：存在a ，使得()122e x x a x -≤-恒成立，记()()()12210e x x F x a x F -=--⇒=，故()10F '=（必要性），而()22e x x F x a -'=-，则120e a -=，解得12e a =，只需证：()()11220e 2e x x F x x -=--≤恒成立，()21e e
x x F x '-=-，由（2）知，其在(),3∞-单调递减，()3,∞+单调递增，()F x ∴'在(),1∞-为正，在()1,3为负，在()3,∞+为负，
()F x ∴在(),1∞-单调递增，()1,∞+单调递减，()()10F x F ≤=，得证；
综上，b a +的最小值为0.
【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：
一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极（最）值问题处理．
19.对于任意正整数n ，进行如下操作：若n 为偶数，则对n 不断地除以2，直到得到一个奇数，记这个奇数为n a ；若n 为奇数，则对31n +不断地除以2，直到得出一个奇数，记这个奇数为n a .若1n a =，则称正整数n 为“理想数”.
（1）求20以内的质数“理想数”；
（2）已知9m a m =-.求m 的值；
（3）将所有“理想数”从小至大依次排列，逐一取倒数后得到数列{}n b ，记{}n b 的前n 项和为n S ，证明：()*7N 3
n S n <∈.【答案】（1）2和5为两个质数“理想数”
（2）m 的值为12或18
（3）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据“理想数”概念，结合列举法可解；
（2）分析题意知道9m a m =-必为奇数，则m 必为偶数，结合整除知识得解；
（3）将数列适当放缩，后分组，结合等比数列求和公式计算即可.
【小问1详解】
20以内的质数为2,3,5,7,11,13,17,19，
212
=，故21a =，所以2为“理想数”；33110⨯+=，而
1052=，故3不是“理想数”；35116⨯+=，而41612=，故5是“理想数”；37122⨯+=，而22112=，故7不是“理想数”；311134⨯+=，而34172=，故11不是“理想数”；313140⨯+=，而4058=，故13不是“理想数”；317152⨯+=，而52134
=，故17不是“理想数”；
319158⨯+=，而58292
=，故19不是“理想数”；2∴和5为两个质数“理想数”；
【小问2详解】
由题设可知9m a m =-必为奇数，m ∴必为偶数，
∴存在正整数p ，使得
92p m m =-，即9921
p m =+-：921p ∈-Z ，且211p -≥，211p ∴-=，或213p -=，或219p -=，解得1p =，或2p =，
1991821m ∴=+=-，或2991221
m =+=-，即m 的值为12或18．【小问3详解】显然偶数"理想数"必为形如()*
2k k ∈N 的整数，下面探究奇数"理想数"，不妨设置如下区间：((((
022*******,2,2,2,2,2,,2,2k k -⎤⎤⎤⎤⎦⎦⎦⎦ ，若奇数1m >，不妨设(2222,2k k m -⎤∈⎦，
若m 为"理想数"，则(*3112s m s +=∈N ，且)2s >，即(
*213s m s -=∈N ，且)2s >，①当(*
2s t t =∈N ，且)1t >时，41(31)133t t m -+-==∈Z ；②当()
*21s t t =+∈N 时，2412(31)133t t m ⨯-⨯+-==Z ；(
*413t m t -∴=∈N ，且)1t >，又22241223
t k k --<<，即1344134k t k -⨯<-≤⨯，易知t k =为上述不等式的唯一整数解，
区间(2222,2k k -]存在唯一的奇数"理想数"(
*413k m k -=∈N ，且)1k >，显然1为奇数"理想数"，所有的奇数"理想数"为()
*413k m k -=∈N ，
∴所有的奇数"理想数"的倒数为
()
*341k k ∈-N ，113
3134144441k k k ++<=⨯--- 1212123111111222521n n n n S b b b b b b b +⎛⎫⎛⎫∴=+++<+++++<+++++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
21111171111124431124⎛⎫<⨯++++<+⨯= ⎪⎝⎭-- ，即()
*73n S n <∈N ．【点睛】知识点点睛：本题属于新定义的题目，综合了整除，数列的放缩，分组求和和等比数列公式.属于难题.。