江西省南昌一中、南昌十中高三数学第二次联考试题 文

2012—2013学年度南昌一中、十中第二次月考试卷
数学（文）
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的
1．已知集合{}
{}2|320,|log 42x A x x x B x =-+===,则A B =U （ ） A. {}1,2 B. {}2,1,2- C.{}2,2- D.{}2
2. 若tan 2α=，则2sin cos sin 2cos αα
αα
-+的值为( )
A ．0
B 。

34
C 。

1
D 。

5
4
3．设0<2πx ≤，且1sin 2sin cos x x x -=-，则（ ）
A.0≤x ≤
B. π4≤x ≤5π4
C. π4≤x ≤7π4
D. π
2
≤x ≤3π2
4．函数ππ2sin +cos -44y x x ⎛
⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
图象的一个对称轴方程是( ) A. π=
4x B. π=8x C. π
=2x D. =πx 5．()2x
f x e x =+-的零点所在的一个区间为（ ）
A ．(－2，－1)
B ．(－1,0)
C ．(0,1)
D ．(1,2)
6．将函数sin 23y x π⎛⎫
=+ ⎪⎝
⎭
的图像经怎样平移后所得的图像关于点,012π⎛⎫
-
⎪⎝⎭
中心对称（ ） A 。

向左平移
12π B 。

向左平移6π C 。

向右平移12π D 。

向右平移6
π
7．已知2
()2'(1)f x x xf =+，则'(0)f 等于（ ）
A ．0
B ．－4
C ．－2
D ．2
8．若函数2
34y x x =--的定义域是[0,]m ，值域为25,44⎡⎤
-
-⎢⎥⎣⎦
，则m 的取值范围是 （ ） A.（0，4］ B. 3,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
C. 3
,32⎡⎤⎢⎥⎣
⎦
D. 3,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣
⎭
9．定义在R 上的函数()f x 满足(6)()f x f x +=，当－3≤x <－1时，2
()(2)f x x =-+；
当－1≤x <3时，()f x x =，则(1)(2)(3)(2012)f f f f ++++=L ( ) A ．335 B 。

338 C 。

2013 D 。

2012 10．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足()()4f x f x -=-，且[]0,2x ∈时，
()()2log 1f x x =+，甲，乙，丙，丁四位同学有下列结论：甲：()31f =；乙：函数()
f x 在[]6,2--上是增函数；丙：函数()f x 关于直线4x =对称；丁：若()0,1m ∈，则关于x 的方程()0f x m -=在[]8,8-上所有根之和为8-，其中正确的是（ ）
A.甲，乙,丁
B.乙,丙
C.甲,乙,丙
D.甲,丁
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.[]
11.设()f x =lg ,0,
10,0,
x x x x >⎧⎨≤⎩则((2))f f -= .
12．函数2
32
3)(x x x f +
=的单调减区间是 ． 13．已知tan α、tan β是方程2
3340x x ++=的两根，且α、β(,)22
ππ
∈-
，则tan()αβ+=__________，
14.已知函数()|1|2(0x
f x a a a =-->,且1a ≠)有两个零点，则a 的取值范围
是 .
15. 关于x 的一元二次方程2
510x ax --=有两个不同的实根，一根位于区间（-1,0），另一根位于区间（1,2）,则实数a 的取值范围为 .
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16．已知向量m 2
1+cos 2sin ,sin 2x x x ⎛⎫
=+
⎪⎝
⎭，n 13cos 2sin 2,2sin 2x x x ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭
， 设函数()f x =m •n ，x ∈R . (1)求函数()f x 的最小正周期；
(2)若π0,2
x ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦
，求函数()f x 值域.
17．已知函数()sin()(0,0,||,)2
f x A x A x R π
ωϕωϕ=+>><
∈的图象的一部分如下图所
示．
(1)求函数()f x 的解析式；
(2)当x ∈[－6，－2
3
]时，
求函数()(2)y f x f x =++的最大值与最小值及相应的x 的值．
18．在ABC ∆中，角C B A ,,满足.02cos 2
cos cos 42
=++B C
A B (Ⅰ)求角B 的大小；
(Ⅱ)求C A sin sin +的取值范围.
19.已知二次函数()f x 的二次项系数a ，且不等式()2f x x >-的解集为(1,3). (1)若()()6g x f x a =+有两个相同的零点，求()f x 的解析式； （2）若()f x 的最大值为正数，求a 的取值范围.
20．已知()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2
()f x x x =+. （1）求0x <时，()f x 的解析式；
（2）问是否存在这样的非负数,a b 且a b <，当[,]x a b ∈时，()f x 的值域为
[42,66]a b --？若存在，求出所有的,a b 值；若不存在，请说明理由.
21．已知函数3
2
()(1)(2)f x x a x a a x =+--+ ()a R ∈，'()f x 为()f x 的导数. （1）当3a =-时，证明()y f x =在区间(1,1)-上不是单调．．．．函数； （2）设191
()63
g x x =
-，是否存在实数a ，对于任意的[]11,1x ∈-，存在[]20,2x ∈，使得112'()2()f x ax g x +=成立？若存在，求出a 的取值范围；若不存在，说明理由.
文科参考答案
1. A A ={1,2}，由log 42x =,得2
4x =，又因为0x >，所以2x =，故B ={2}.则
{}1,2A B =U
2. B 2sin cos 2tan 13sin 2cos tan 24
αααααα--==++.
3.B 因为
1sin 2sin cos sin cos x x x x x -=-=-，所以sin cos 0x x -≥.则
π2sin 04x ⎛
⎫-≥ ⎪⎝
⎭，得π2π2ππ4k x k ≤-≤+，所以()π5π2π2π44k x k k +≤≤+∈Z .又
0<2πx ≤，所以取0k =得
π5π
44
x ≤≤
4. A
2ππππππ2sin cos 2sin cos 2sin 444244y x x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛
⎫=+-=+-+=+=
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝⎭⎣⎦
π1cos 21sin 22x x ⎛
⎫-+=+ ⎪⎝
⎭，当π=4x 时，y 取得最大值，故一个对称轴方程是π=4x .
5.. C f ′(x )＝e x
＋1＞0，所以f (x )＝e x
＋x －2在R 上是增函数．而f (－2)＝e －2
－4
＜0，
f (－1)＝e －1－3＜0，f (0)＝－1＜0，f (1)＝e －1＞0，f (2)＝e 2＞0. 即f (0)f (1)＜0，故(0,1)为函数f (x )零点所在的一个区间．答案 C 6. C
7. B 解析 f ′(x )＝2x ＋2f ′(1)，
∴f ′(1)＝2＋2f ′(1)即f ′(1)＝－2，∴f ′(x )＝2x －4，∴f ′(0)＝－4. 8. C 解析2325
()()24
f x x =--,x ∈［0,m ］,又因为min y =254-,f(0)=f(3)=-4,
所以
3
2
≤m ≤3.故应选C. 9. B 【解析】由f (x )＝f (x ＋6)知函数的周期为6，f （1）＝1，f （2）＝2，f （3）＝f (－3)＝－1，
f (4)＝f (－2)＝－(－2＋2)2＝0，f (5)＝f (－1)＝－1，f (6)＝f (0)＝0， 所以f （1）＋f （2）＋f （3）＋…＋f (6)＝1，
所以f （1）＋f （2）＋…＋f (2 012)＝335[f （1）＋f （2）＋…＋f (6)]＋f （1）＋f （2）＝335×1＋3＝338.
10. D 由条件得()()()()33141f f f f -=-=-=-，所以()()231log 21f f ===，故甲正确;
当[4,2]x ∈--时，4[0,2]x +∈，所以
()()()()22()444log 41log 5f x f x f x x x =+-=-+=-++=-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦单调递减，故乙
不正确；
()()()()()5514111f f f f f =--=---=---=-=-⎡⎤⎣⎦， ()()()()()3314111f f f f f =--=--=--==⎡⎤⎣⎦，
所以()()53f f ≠，故丙不正确；
()()()()22242f x f x f x f x +=---=--+-=-⎡⎤⎣⎦，所以函数()f x 关于直线2x =对称，又()()()84f x f x f x -=--=，所以()f x 的周期为8，故6x =-也是()
f x 的对称轴.画草图可知， 11. x=-2＜0，所以f （-2）=10-2
=
1100
＞0,所以f （10-2）=lg 10-2
=-2,即f （f （-2））=-2. 12. 033)('2
<+=x x x f 解得，填)0,1(-． 13. 8. 3
14.解析：令g(x)=|a x
-1|,h(x)=2a,画出它们的函数图象知0<2a<1,则0<a<12
. 15.解析：由题知f （-1）＞0,f （0）＜0,f （1）＜0, f （2）＞0, 代入f （x ）=5x 2
-ax-1中得4＜a ＜
192
.
16．（1）因为()f x =m •n 211cos 222sin 1cos 222222
x x x x x -+=--=
π1sin 26x ⎛
⎫=-+ ⎪⎝
⎭. ………………………..(4分)
所以其最小正周期为2π
π2
T =
=. …………………….(6分) （2）由（1）知()π1sin 26f x x ⎛⎫=-+
⎪⎝
⎭
， 又因为π0,2x ⎡
⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ7π2,666x ⎡⎤
+∈⎢⎥⎣⎦………………..(8分) 所以π1sin 2,162x ⎛
⎫⎡⎤
+
∈- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦. ………………………..(10分) 所以()π31sin 20,62f x x ⎛⎫⎡⎤=-+∈ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦.即函数()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. …………..(12分)
17．解 (1)由图象知A ＝2，∵T ＝2πω＝8，∴ω＝π
4
. ……………….(2分)
又图象经过点(－1,0)，∴2sin(－π4＋φ)＝0. ∵|φ|<π2，∴φ＝π
4
. ……..(5
分)
∴f (x )＝2sin(π4x ＋π
4
)．…………………………(6分)
(2)y ＝f (x )＋f (x ＋2)＝2sin(π4x ＋π4)＋2sin(π4x ＋π2＋π4)＝22sin(π4x ＋π
2
)＝
22cos π
4
x ……(9分)
∵x ∈[－6，－23]，∴－3π2≤π4x ≤－π
6
………………….(10分)
∴当π4x ＝－π6，即x ＝－2
3时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最大值6；………….(11分)
当π
4
x ＝－π，即x ＝－4时，y ＝f (x )＋f (x ＋2)取得最小值－22……………(12分)
18.解：（Ⅰ）由已知01cos 2)]cos(1[cos 22
=-+++B C A B ………………(2分)
(4分)
………………(6分)
（Ⅱ）由（1）A C -=
32π且3
20π
<
<A ………………………(7分) 所以A A A A C A cos 23sin 23)32sin(
sin sin sin +=-+=+π)6
sin(3π
+=A ……(9分)
]
121
()6sin( 6566 ，A A ∈+∴<+<ππππΘ……………………(11分)
]3,2
3
(
sin sin 的取值范围是C A +∴ ………………(12分) 19.解：（1）由题意得f(x)+2x=a(x-1)(x-3)(a<0),……………….(2分)
所以f(x)=ax 2
-(2+4a)x+3a,………………………….(3分)
令g(x)=f(x)+6a=ax 2
-(2+4a)x+9a=0, …………….(4分)
由Δ=0,得a=1(舍去）或15a =-.所以2163
()555
f x x x =---…………(6分)
(2) f(x)=ax 2
-2(1+2a)x+3a 2
2
1241
(0)a a a a x a a a +++⎛⎫=--
< ⎪⎝
⎭,…………(9分) 所以241
0,0,a a a
a ⎧++-
>⎪⎨⎪>⎩
所以2a <--
或20a -+<<……………(12分)
1cos 2)cos 1(cos 22
=-+-B B B ;3
,21cos π==B B 所以得
20.【解】（1）因为x≥0时，f(x)=x+2
x ，x<0时，-x>0， 所以f(-x)=(-x)+(-x)2=-x+2
x …………………(3分) 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x).
所以-f(x)=-x+2x .即f(x)=x-2x .即x<0时，f(x)=x-2
x ，…………………(6分) (2)假设存在非负数a,b 满足条件.
因为x≥0时，f(x)是单调递增函数，所以()42,()6 6.f a a f b b =-⎧⎨=-⎩即2
2
42,
6 6.
a a a
b b b ⎧+=-⎪⎨+=-⎪⎩…….(9分)
解得12,
2 3.a a b b ==⎧⎨==⎩
或或………………………………(11分)
由于a<b ，所以1,1,2,
23 3.a a a b b b ===⎧⎧⎧⎨⎨⎨===⎩⎩⎩或或……………………………………(13分)
21.解：（1）当3-=a 时，()3243f x x x =+-x ，()2
383f x x x '=+-，
令'()0f x =得：13x =-、21
3
x =………………….(2分) 所以()f x 在1(3,)3-单调递减。

在1
(,3),(,)3
-∞-+∞单调递增…………..(4分)
所以()f x 在(1,1)-上不是单调函数…………………….(6分)
(解二：当3-=a 时，()3
2
43f x x x =+-x ，()2
383f x x x '=+-，其对标轴为3
4
-
=x . 当()1,1x ∈-时，()f x '是单调增函数，
又()()180,180f f ''-=-<=>，在()1,1-上，由()0f x '=，得1=
3
x ； 在11,3⎛⎫- ⎪⎝⎭上)(x f '＜0，()f x 为减函数；在1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上)(x f '＞0，()f x 为增函数. 由上得出在()1,1-上，()f x 不是单调函数. ） （2）在[]0,2上()19163g x x =
-是增函数，故对于[]20,2x ∈，()21,63g x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦
. 设()()()[]2
1111112322,1,1h x f x ax x x a a x '=+=+-+∈-.
()1162h x x '=+，
由()10h x '=，得3
11-=x . ………………….(8分)
要使对于任意的]1,1[1-∈x ，存在]2,0[2∈x 使得()()12h x g x =成立，只需在[]1,1-上， -
()11
63
h x ≤≤， 在11,3⎛⎫-- ⎪⎝
⎭
上()1'0h x <；在1,13⎛⎫- ⎪⎝⎭
上()1'0h x >，
所以3
11-=x 时，()1h x 有极小值211
233
h a a ⎛⎫-=--- ⎪⎝⎭
…………….(10分) 又()()2
2
112,152h a a h a a -=--=--，
因为在[]1,1-上()1h x 只有一个极小值，故()1h x 的最小值为a a 23
1
2---………….(12分)
22
2126,526,
112,
3
3a a a a a a ⎧
⎪--≤⎪--≤⎨⎪⎪---≥-⎩ 解得02≤≤-a . …………….(14分)。