人教版高中数学必修二课后导练：4.1.2圆的一般方程

课后导练
基础达标
1 圆 (x-3) 2+(y+2) 2=13 的周长是（ ）
A. 13 π
B. 2 13 π
C.13 π
D.26 π
分析： 由圆方程知圆半径为 r= 13 ,∴周长为 2πr=2
13 π.
答案： B
2 方程 x 2+y 2-x+y+m=0 表示一个圆 ,则（
）
A.m ≤2
B.m<2
C.m<
1
1
2
D.m ≤
2
分析： 由 D 2+E 2-4F>0, 得 1+1-4m>0. 解得 m<
1 .
2
答案： C
3 假如 x 2+y 2+Dx+Ey+F=0(D 2+E 2-4F>0)表示的曲线对于直线 y=x 对称，那么（
）
A.D=E
B.D=F
C.E=F
D.
D=E=F
分析： 由条件知 y=x 过圆的圆心（ D E
,
），即 D=E.
答案： A
2
2
4 圆心在点 C （ 3，4），半径是
5 的圆的标准方程是（
）
A.(x-3) 2+(y-4) 2=5
B.(x+3) 2+(y+4) 2 =5
2
2
5
C.(x-3) +(y-4)
=
D.(x+3) 2+(y+4) 2= 5
分析： 由圆的标准方程形式知 (x-3) 2+(y-4) 2=5
答案： A
5 已知圆 (x-2) 2+(y+1) 2=1
6 的一条直径过直线
x-2y-3=0 被圆截弦的中点，则该直径所在的直
线方程为（ ）
A.2x+y-5=0
B.x-2y=0
C.2x+y-3=0
D.x+2y=0
分析： 由圆的几何性质知，该直径与已知弦垂直，因此直径所在直线的斜率为 k=-2 ，又知
过点（ 2， -1），∴其方程为 y+1=-2(x-2) ，即 2x+y-3=0.
答案： C
2
2
的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是 ____________. 6 若点 P(2， -1)为圆 (x-1) +y =25 分析： 如图，
∵P 为弦 AB 的中点，
∴OP ⊥AB.
又 O （ 1， 0），P （ 2， -1），
1
∴k OP =
=-1.∴ k AB =1.
1
故直线 AB 的方程为 y+1=x-2, 即 x-y-3=0. 答案： x-y-3=0
2
2
7 若圆 x +y -4x+2y+m=0 与 y 轴交于 A 、B 两点，且∠ ACB=90°（此中 C 为已知圆的圆心） ， 则实数 m 等于 ______________. 分析： 由（ -4） 2+22-4m>0, 得 m<5,
∵△ ACB 是以 C 为直角极点的直角三角形且 C （ 2， -1），
∴圆心 C 到斜边 AB 之距为 2，则圆半径为
2 2 ，即 1 16 4 4 m
2 2 ,
2
∴m=-3.
答案： -3
8 圆 x 2+y 2-2ax+2ay+3a 2-2a-1=0 的面积最大值为 _______________. 分析： 当圆半径最大时，面积最大，圆半径为
r=
1 ( 2a)
2 (2a) 2
4(3a 2 2a 1)
1 4a
2 8a 4 ；
2
2
a 2
2a 1
(a 1)2 2
当 a=1 时， r 最大为 2 .
∴面积最大值为
2
πr
π.
=2
答案： 2π
综合运用
9 求圆心在直线 3x+2y=0 上 ,而且与 x 轴的交点分别为 (-2,0),(6,0) 的圆的方程 .
分析： 设圆方程为 x 2+y 2
+Dx+Ey+F=0, 圆心为（
D , E
） .因为圆心在 3x+2y=0 上而且圆
2 2
3( D ) 2( E )
0,
D
4,
2 2
过两点（ -2， 0），（ 6， 0），则有：
4 2D F 0, 解得 E
6,
36 6D
F
0.
F
12.
∴圆方程为 x 2+y 2-4x+6y-12=0.
10 已知圆的方程 x 2+y 2+2(a-1)x+a 2
-4a+1=0, 若点（ -1， -1）在圆外 .务实数 a 的取值范围 .
2 2
2
配方得 分析： 方程 x +y +2(a-1)x+a -4a+1=0 ［ x +(a-1) ］2+y 2 =2a,则方程表示圆的条件为 2a>0,即 a>0,又因为点（ -1，-1）在圆外，则有（ -1）
22
2 2
解得 a>5 或 a<1,由
a 0,
+（ -1）-2（ a-1）+a -4a+1>0, 即 a -6a+5>0,
a 得 a>5 或 0<a<1.
5,或a 1.
因此 a 的取值范围为 a>5 或 0<a<1.
11 已知圆 C ： (x-3) 2+(y-4) 2=1, 点 A （ -1， 0），B （ 1， 0），点 P 为圆上动点，求 d =|PA|2+|PB|2
的最大、最小值及对应的 P 点坐标 .
分析： 若设 P （ x 0,y 0） ,则 d=|PA|2+|PB|2=(x 0+1) 2+y 0 2+(x 0-1) 2+y 0 2=2(x 0 2+y 0 2)+2, 欲求 d 的最值， 只要求 ω=x 0 2+y 02 的最值，即求圆 C 上的点到原点距离平方的最值，故过原点 O 与圆心 C
的直线与圆的两个交点 P 1， P 2 即为所求 .
设过 O ，C
两点的直线交⊙ C 于 P 1 、 P 2 两点，则
ωmin = （ |OC|-1） 2=16=|OP 1|2 ，此时
d min =2×16+2=34,P 1(
12 16
,
);
5 5
18 24 ωmax =(|OC|+1) 2=36=|OP 2|2,此时， d max =2×36+2=74,P 2( , ).
5
5
拓展研究
12 已知矩形 ABCD
2
2
上运动 ,AB,AD 分别平行于 x 轴 ,y 轴 ,
中 ,C(4,4), 点 A 在 x +y =9(x>0,y>0) 求当矩形 ABCD 面积最小时 A 点的坐标 .
剖析： 此题的本质是： A 在 x 2+y 2=9(x>0,y>0) 上哪处时，矩形 ABCD 的面积最小，即（ 4-x ）
（4-y ）的值最小，从而利用换元法化成二次函数的最值问题 .
分析： 设 A （ x,y ），则矩形 ABCD 的面积为 S=（ 4-x ） (4-y)=16-4(x+y)+xy ①
令 t=x+y ，则 t>0 且 t 2=x 2+y 2+2xy=9+2xy. ∴①式化为 S=16-4t+
1
(t 2-9)=
1 (t-4) 2+ 7 , 2
7 2 2
当且仅当 t=4 时， S min = .
2
x y 4,
x 2 2 , x 2
2 , 此时
解得
2 或
2 xy
7 .
y 2
2
y
2
2 . 2
2
2
即 A （2-
2
，2+
2 ）或 A （2+ 2 ， 2-
2
）时，矩形面积最小 .
2
2
2 2。