数学必修4三角函数与平面向量

数学必修4 三角函数与平面向量
第一章 三角函数
1.1.1 任意角1
**学习目标**
1．认识角扩充的必要性，了解任意角的概念；
2．会用集合和数学符号表示终边相同的角，象限角以及区间角；
3．会用运动的观点认识任意角的概念以及终边相同的角、象限角和区间角的集合表示． **要点精讲**
1．角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我．们规定．．．
，按逆时针旋转形成的角叫做正角，按顺时针旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个零角．
2．直角坐标系内讨论角：角的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合．那么，角的终边在第几象限，我们就说这个角是第几象限的角．如果角的终边在坐标轴上，则这个角不属于任何象限．
3．所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合
{|360,}S k k Z ββα==+⋅∈，
即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．
**范例分析**
新课引入：钟面上的时针与分针从0时出发，问经过几时几分第一次重合？
例1．在0360（指0360α≤<）范围内，找出与95012'-角终边相同的角，并判断它是第几象限的角．
例2．（1）写出终边在x 轴上的角的集合．终边在y 轴上的角的集合呢？终边在坐标轴上的
角的集合呢？
（2）写出终边在直线y x =上的角的集合S ，并把S 中适合不等式360720β-≤<的元素写出来．
例3．（1）若角α的终边与角β的终边关于x 轴对称，则αβ+= ．
（2）若角α的终边与角β的终边关于y 轴对称，则αβ+= ．
（3）若角α的终边与角β的终边关于原点对称，则αβ-= ．
例4．（1）已知α是第四象限角，试确定2a ，2
α角所在的象限； （2）如图，分别写出角的终边在甲、乙图中阴影区域内的角的集合(包括边界) ．
**规律总结**
1．数学是讲究简洁性的，通过数学概括能使表达更加简洁，如例2．把终边在x 轴上的角的集合写成{|180}n n Z ββ=⋅∈，.同样，可以把终边在y 轴上的角的集合写成
{|18090}n n Z ββ=⋅∈+，，终边在坐标轴上的角的集合写成{|90}n n Z ββ=⋅∈，。

2．终边在同一直线上的角有两个，都可以合并在一个集合中，设其中一个角为α，则终边在此直线上的角的集合是{|180}n n Z ββα=+⋅∈，。

3．在角k αθ⋅+中，适当取整数k 的值，把它化成360n β⋅+的形式，从而确定出角的终边的位置。

4．用区间来表示的角叫做区间角，区间角表示角的取值范围，象限角是区间角，终边在某一区域内的可以用区间角表示，如例4．
**基础训练**
一、选择题
1．12018'-角所在的象限是（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
2．设{A =小于90的角}，{B =第一象限角}，则A B =（ ）
A ．{锐角}
B ．{小于90的角}
C ．{第一象限角}
D ．{第一象限且小于90的角}
3．下列各组角中，终边相同的是（ ）
A ． 60,300,420-
B ．60,300,420---
C ．60,300,420--
D ．60,300,420--
4．已知α是第三象限角，则2
α所在的象限是（ ） A ．第一或第二象限 B ．第二或第四象限 C ．第一或第三象限 D ．第二或第三象限
5．如果角α与角45x +的终边相同，角β与角45x -的终边关于x 轴对称，则α与β的关系是（ ）
A ．90360,k k Z αβ+=+⋅∈
B ．90αβ-=
C ．902360,k k Z αβ+=+⋅∈
D ．90360,k k Z αβ-=+⋅∈
二、填空题
6．与490-角终边相同的角的集合是 ，
它们中最小的正角是 ，最大的负角是 ，
它们是第 象限角．
7．如图，终边在阴影部分内的角的集合（不包括边界）
是 ．
8．如果θ为小于360的正角，这个正角的7倍角的终边与这个
角的终边重合，则θ= ．
三、解答题
9．（1）写出与1840终边相同的角的集合M ；
（2）若角M α∈，且[360,360]α∈-，求角α。

45 300 225
120
10．若角α的终边与45角的终边分别关于x 轴、y 轴、原点、直线y x =-对称，分别写出这些角的集合．
**能力提高**
11．已知{|3018075180,}A k k k Z αα=+⋅≤≤+⋅∈，
{|12045120,}A k k k Z αα=⋅<<+⋅∈，A B =（ ）
A ．{|3036045360,}k k k Z αα+⋅≤<+⋅∈
B ．{|3045αα≤<或240255}α<≤
C ．{|3036045360k k αα+⋅≤<+⋅ 或240360255360,}k k k Z α+⋅<≤+⋅∈
D ．{|3036045360k k αα+⋅≤<+⋅ 或210360240360,}k k k Z α+⋅≤<+⋅∈
12．半径为1的圆心位于坐标原点，点P 从点(1,0)出发，以逆时针方向等速沿单位圆圆周旋
转，已知1秒钟内转过的角度为θ(0180)θ<<，经过2秒钟到达第三象限，经过14秒种后又恰好回到出发点，求角θ的值．
第一章 三角函数
1.1.1 任意角1**参考答案**
新课引入：
分析：第一次重合时，分针比时针多旋转了360．应用题，考虑旋转量，可不考虑正负角 解：设过x 小时时针与分针第一次重合，因为时针每小时顺时针旋转30，分针每小时顺时
针旋转360，所以x 小时时针顺时针旋转30x 度，分针顺时针旋转606x ⋅度（分针每分钟旋转6度），依题意得
360x 30360x -=，1211x =
答：经过1小时5511
分钟，时针与分针第一次重合． 例1．分析：方法1：把95012'-角写成360(,0360)k k Z αα+⋅∈≤<的形式；
方法2：把与95012'-角终边相同的角α的集合写出来，然后取适当的整数k 的值，使0360α≤<．
解：方法1：95012'-除以360，商为3-，余数为12948'，
故95012'-1294833'=-⨯，所以在0360范围内，与95012'-角终边相同的角是12948'，它是第二象限的角．
方法2：与95012'-角终边相同的角α的集合{|95012360,}S k k Z αα'==-+⋅∈， 集合S 中适合0360α≤<的元素是：当3k =时，α=12948'，所以在0360范围内，与95012'-角终边相同的角是12948'，它是第二象限的角．
例2．（1）在0360范围内，终边在x 轴上的角有两个，即0，180角．所有与0角终边相同的角构成集合1{|0360}S k k Z ββ==+⋅∈，，
而所有与180角终边相同的角构成集合2{|180360}S k k Z ββ==+⋅∈，
于是，终边在x 轴上的角的集合12S S S =
{|0360}{|180360}k k Z k k Z ββββ==+⋅∈=+⋅∈，，
{|2180}{|21180}k k Z k k Z ββββ==⋅∈=+⋅∈，（），
{|180}n n Z ββ==⋅∈，
（2）在0360范围内，终边在直线y x =上的角有两个，即45，225角．因此，终边
在直线y x =上的角的集合
{|45360}{|225360}S k k Z k k Z ββββ==+⋅∈=+⋅∈，，
{|45180}n n Z ββ==+⋅∈，
S 中适合不等式360720β-≤<的元素是210123k =--，，，，，时对应的315β=-，135-，45，225，405，585．
例3．分析：设一基本角[0,360)θ∈，角α与角β用θ来表示
解：（1）设11360,k k Z αθ=+⋅∈，则22360,k k Z βθ=-+⋅∈，
所以αβ+=1212()360,,k k k k Z +⋅∈，所以360,k k Z αβ+=⋅∈
（2）设11360,k k Z αθ=+⋅∈，则22180360,k k Z βθ=-+⋅∈，
所以αβ+=1212180()360,,k k k k Z ++⋅∈，所以180360,k k Z αβ+=+⋅∈．
（3）设11360,k k Z αθ=+⋅∈，则22180360,k k Z βθ=±++⋅∈，
所以180αβ-=±+1212()360,,k k k k Z -⋅∈，所以180360,k k Z αβ-=+⋅∈．
例4．（1）∵α是第四象限角，∴90360360k k α-+⋅<<⋅，k Z ∈
①180236022360k k α-+⋅<<⋅，
∴2a 是第三或第四象限的角或终边在y 轴的非正半轴上 ②451801802k k α
-+⋅<<⋅，k Z ∈
∴当k 为偶数时，2α
是第四象限的角，当k 为奇数时，2α
是第二象限的角
（2）{|60360315360,}k k k Z αα+⋅≤≤+⋅∈，
{|4536060360,}k k k Z αα-+⋅≤≤+⋅∈
**基础训练**答案
1．C 提示：12018136023942''-=-⨯+
2．D 提示： A B ={第一象限且小于90的角}
3．C 提示：任意两角度数之差必须是360的整数倍
4．B 提示：180360270360k k α+⋅<<+⋅，90180135180k k α+⋅<<+⋅ ，
5． A 提示：11(45)360,x k k Z α-+=⋅∈，22(45)360,x k k Z β+-=⋅∈．
6．{|490360,}k k Z αα=-+⋅∈，230，130-，三 提示：适当取k 的值
7． {|6018045180,}k k k Z αα-+⋅<<+⋅∈ 提示：对顶角区域可合并
8． 60,120,180,240 提示： 7360k θθ=+⋅，60k θ=⋅，1,2,3,4k =
9．（1）{|1840360,}M k k Z αα==-+⋅∈
（2）当5k =时，40α=-，当6k =时，320α=。

所以40α=-或320α=
10．{|45360,}k k Z αα=-+⋅∈，{|135360,}k k Z αα=+⋅∈，
{|225360,}k k Z αα=+⋅∈， {|225360,}k k Z αα=+⋅∈
**能力提高**
11．C 提示：按2,21k n n =+来讨论集合A 中角α的终边所在的区域，按
3,31,32k n n n =++来讨论集合B 中角α的终边所在的区域，两区域的公共部分为所求角的区域
12．∵0180θ<<且1803602270360,k k k Z θ+⋅<<+⋅∈，则必有0k =，于是90135θ<<．
又14360n θ=⋅()n Z ∈，∴1807n θ=⋅，∴901801357n θ<=⋅<，72124
n <<，∴4n =或5， 故720
7θ=或9007
θ=。