福建省泉州市晋江市南侨中学2021-2022高二数学上学期11月月考试题(含解析)

福建省泉州市晋江市南侨中学2021-2022高二数学上学期11月月考试
题（含解析）
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.过点(2,1)-，(1,4)的直线l 的倾斜角为( ) A. 30 B. 45︒
C. 60︒
D. 135︒
【答案】B 【解析】
分析：利用两点间的斜率公式，求得直线的斜率，进而求解直线的倾斜角． 详解：设过两点的直线l 的倾斜角为α， 由直线的斜率公式可得41
11(2)
k -=
=--，即00tan 1,(0,180)αα=∈，
所以045α=，故选B ．
点睛：本题主要考查了直线的倾斜角与斜率，其中熟记公式是解答的关键，着重考查了推理与运算能力．
2.若直线60ax by ++=在x 轴、y 轴上的截距分别是-2和3，则a ，b 的值分别为（ ） A. 3，2 B. -3，-2
C. -3，2
D. 3，-2
【答案】D 【解析】
分析：将(2,0),(0,3)-代入直线方程即可求解．
详解：由题意，得260360a b -+=⎧⎨+=⎩
，
解得32
a b =⎧⎨
=-⎩．
点睛：本题考查直线的方程等知识，意在考查学生的基本计算能力和数学转化能力． 3.已知空间向量()()1,,2,2,1,2a n b ==-，若2a b -与b 垂直，则||a 等于（ ）
【答案】D 【解析】
∵a =（1，n ，2），b =（﹣2，1，2）， ∴2a ﹣b =（4，2n ﹣1，2）， ∵2a ﹣b 与b 垂直， ∴（2a ﹣b ）•b =0， ∴﹣8+2n ﹣1+4=0，
解得，n=5
2， ∴a =（1，5
2
，2）
∴|a =
2
． 故选：D ．
4.若直线00Ax By C ABC ++=≠（）经过第一、二、三象限，则系数A B C ，，满足的条件
为( )
A. A B C ，，同号
B. 00AC BC ><，
C. 00AC BC <>，
D. 00AB AC ><，
【答案】B 【解析】
【详解】因为直线()00Ax By C ABC ++=≠ 经过第一、二、三象限，所以斜率0A
B
-> ，在y 轴上的截距0,0C
BC B
-
>∴< ，两式相乘可得0,AC >故选B. 5.经过点(1,3)P ，并且在两坐标轴上的截距相等的直线有（ ） A. 1条 B. 2条
C. 3条
D. 4条
【答案】B 【解析】
【分析】
按照截距为零和不为零分类讨论即可求出．
【详解】(1)当截距为零时，即直线经过原点，可得直线方程为：3y x =； (2)当截距不为零时，设直线方程为：1x y
a a
+=，因为直线经过点(1,3)P ， 所以有，
13
1a a
+=，解得4a =．综上可知，这样的直线有
2条． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查直线的截距式方程的应用，解题需注意截距式方程的使用条件，意在考查学生分类讨论思想和数学运算能力．
6.已知M N 、分别是四面体OABC 的棱,OA BC 的中点，P 点在线段MN 上，且
2MP PN =，,,OA a OB b OC c ===，则OP =（ ）
A.
111663a b c ++ B. 1
11333
a b c ++
C.
111633
a b c ++ D.
111366
a b c ++ 【答案】C 【解析】 如
图
所
示
：
()
()
11
,,231
,,2
121111111
.
336633633OP ON NP ON OB OC NP NM NM NO OM OM OA OP ON NO OM ON OA OA OB OC a b c =+=
+==+=∴=++=+=++=++
本题选择C 选项.
7.设A ，B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为3，且|PA|=|PB|，若直线PA 的方程为10x y -+=，
则直线PB 的方程是( ) A. 50x y ++= B. 210x y --= C. 240x y -+= D. 70x y +-=
【答案】D 【解析】 【分析】
根据点P 在直线PA 上可以求出其纵坐标，然后根据|PA|=|PB|可知，点A ，B 关于直线
3x =对称，即可求出点B 的坐标，由点,P B 的坐标即可求出直线PB 的方程．
【详解】因为点P 在直线PA 上，所以310y -+=，解得4y =，即点P 的坐标为()3,4， 又|PA|=|PB|，点A ，B 关于直线3x =对称，点A 的坐标为()1,0-，所以点B 的坐标为
()7,0，40
137
PB k -=
=--，所以PB ：()017y x -=-⨯-，即70x y +-=． 故选：D ．
【点睛】本题主要考查轴对称、中点公式的应用以及直线方程的求法．
8.若直线2
2
()10m x m m y +-+=与210x y --=互相垂直，则实数m =（ ）
A. 1-
B. 0
C. 1-或0
D. 1
【答案】A 【解析】 由题意得
222()001m m m m m --=⇒==-或 ，当0m = 时直线
()
2210m x m m y +-+=方程为10=不成立，舍去，选A.
9.在平面直角坐标系xoy 中，已知直线l 上的一点向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度后，仍在该直线上，则直线l 的斜率为( ) A. －2 B. －
12
C.
12
D. 2
【答案】A 【解析】 【分析】
首先设出直线l 上的一点00(,)P x y ，进而求得移动变换之后点00'(2,4)P x y +-，根据点在直线上，利用两点斜率坐标公式求得斜率00
00
422y y k x x --=
=-+-，从而求得结果.
【详解】根据题意，设点00(,)P x y 是直线l 上的
一点，
将点00(,)P x y 向右平移2个单位后再向下平移4个单位得到点00'(2,4)P x y +-， 由已知有：点00'(2,4)P x y +-仍在该直线上， 所以直线l 的斜率00
00
422y y k x x --=
=-+-，
所以直线l 的斜率为2-， 故选A.
【点睛】该题考查的是有关直线的斜率问题，涉及到的知识点有平移变换，两点斜率坐标公式，属于简单题目.
10.已知(3,2,3),(1,1,1)a b x =--=--，且a 与b 的夹角为钝角，则x 的取值范围是（ ） A. (2,)-+∞
B. 552,,33⎛
⎫⎛⎫
-+∞ ⎪
⎪⎝
⎭⎝⎭ C. (,2)-∞- D. 5,3
⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭
【答案】B 【解析】 【分析】
根据a 与b 的夹角为钝角，所以0a b ⋅<且a 与b 不共线，列出不等式组，即可解出．
【详解】由题知，0a b ⋅<且a 与b 不共线，即()()()()3121310
(3,2,3)(1,1,1)x x λ⎧⨯-+-⋅-+-⨯<⎨--≠--⎩
，
解得2x >-且5
3
x ≠． 故选：B ．
【点睛】本题主要考查利用向量的数量积解决向量夹角问题，解题关键是向量夹角大小与数量积符号之间的等价转化．
二、多项选择题（本大题共2小题，每小题5分，共10分. 在每小题给出的四个选项中，至少有两个项是符合题目要求的，只选一个正确的项给2分，多选算零分. ） 11.已知向量(1,1,0)a =，则与a 共线的单位向量e =（ ）
A. (
B. (0,1,0)
C. ,,0)22
D. (1,1,1)
【答案】AC 【解析】 【分析】
根据向量数乘的概念，可知单位向量的求法，a e a
=±
，即可求出．
【详解】设与a 共线的单位向量为e ，所以a e λ=，因而a e λλ==，得到a λ=±．
故a e a
=±
，而11a =+=
2(,22e =或2(,22
e =--．
故选：AC ．
【点睛】本题主要考查单位向量的求法以及共线向量定理的应用． 12.下列说法正确的是（ ） A. 截距相等的直线都可以用方程
1x y
a a
+=表示 B. 方程20()x my m R +-=∈能表示平行y 轴的直线
C. 经过点(1,1)P ，倾斜角为θ的直线方程为1tan (1)y x θ-=-
D. 经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线方程211211()()()()0y y x x x x y y -----= 【答案】BD 【解析】 【分析】
根据直线方程的使用条件，逐项判断即可得出．
【详解】对于A ，若直线过原点，横纵截距都为零，则不能用方程
1x y
a a
+=表示，所以A 不
正确；
对于B ，当0m =时，平行于y 轴的直线方程形式为2x =，所以B 正确；
对于C ，若直线的倾斜角为90，则该直线的斜率不存在，不能用1tan (1)y x θ-=-表示，所以C 不正确；
对于D ，设点(),P x y 是经过两点111(,)P x y ，222(,)P x y 的直线上的任意一点，根据 121//PP PP 可得211211()()()()0y y x x x x y y -----=，所以D 正确． 故选：BD ．
【点睛】本题主要考查各种形式的直线方程的适用范围． 三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.设(3,6)P -，(5,2)Q -，(,9)R x -且P Q R 、、三点共线，则x =__________. 【答案】6 【解析】 【分析】
根据P Q R 、、三点共线，所以//PQ PR ，由向量平行的坐标表示列出方程，求解即可． 【详解】根据P Q R 、、三点共线，所以//PQ PR ，而()8,8PQ =-，()3,3PR x =--， 即有()()83830x -⨯---=，解得6x =． 故答案为：6．
【点睛】本题主要考查三点共线的证明和应用，常用证明方式有：利用向量平行、利用斜率相等．
14.若(1,,2),(2,1,2),(1,4,4)a b c λ==-=，且,,a b c 共面，则λ=_________ 【答案】1 【解析】 【分析】
根据向量,b c 不共线，以它们为基底，利用空间向量基本定理，可知存在实数,x y 使得
a x
b y
c =+，即可解出．
【详解】因为向量,b c 不共线，且,,a b c 共面，所以存在实数,x y 使得a xb yc =+，即有
124224x y x y x y λ=+⎧⎪
=-+⎨⎪=+⎩
，解得1λ=． 故答案为：1．
【点睛】本题主要考查空间向量基本定理的应用以及向量的运算．
15.三菱柱ABC-A 1B 1C 1中，底面边长和侧棱长都相等，∠BAA 1=∠CAA 1=60°则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为
____________.
【答案】6
【解析】 【
详
解】如图设
1,,AA a AB b AC c
===设棱长为1，则
，因为底面边长和侧棱长都相等，且
所以，所以，
，
，设异面直线的夹角为，
所以1111
6
cos 323
AB BC AB BC θ⋅==
=⨯.
16.若直线l ：-3y kx =23-60x y +=的交点位于第一象限，则直线l 的倾斜角的取值范围是___________. 【答案】(,)62
ππ
【解析】
若直线:3l y kx =-与直线2360x y +-=的交点位于第一象限，如图所示：
则两直线的交点应在线段AB 上（不包含,A B 点）, 当交点为()0,2A 时，直线l 的倾斜角为
2π，当交点为()3,0B 时，斜率(
033303
k -==-，直线l 的倾斜角为6π ∴直线的倾斜角的取值范围是,62ππ⎛⎫
⎪⎝
⎭。

故答案为,62ππ⎛⎫
⎪⎝⎭
四、解答题（本大题共6小题，共70分） 17.已知平面内两点(8,6),(2,2)A B -.
（1）求线段AB 的垂直平分线2l 方程.
（2）直线1l 过点(2,3)P -，且A B 、两点到直线1l 的距离相等，求直线1l 的方程； 【答案】(1)34230x y --=；（2）4310x y ++=或3110x y --= 【解析】 【分析】
（1）先求出线段AB 的中点坐标，再利用直线2l 与直线AB 垂直，斜率之积为－1，求出直线2l 的斜率，由点斜式即可写出线段AB 的垂直平分线2l 的方程；
（2）按照点A B 、与直线1l 的位置，分类讨论，若两点在直线1l 同侧，则直线1//l AB ；若两点在直线1l 两侧，则直线1l 过线段AB 中点，即可求出． 【详解】（1）因为AB 的中点坐标为()5,2-，∵624
823
AB k --=
=--
∴AB的垂直平分线斜率为3
4
，所以由点斜式
3
2(5)
4
y x
+=-，
得AB的中垂线方程为34230
x y
--=
（2）当
1
//
l AB时，由点斜式4
3(2)
3
y x
+=--得4310
x y
++=
当1l过AB中点时，由两点式
32
2352
y x
+-
=
-+-
得3110
x y
--=
所以，直线1l的方程为4310
x y
++=或3110
x y
--=
【点睛】本题主要考查直线方程的求法以及直线与直线的位置关系的应用，意在考查学生的运算能力．
18.如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点，
2, 2.
CA CB CD BD AB AD
======
（Ⅰ）求证：AO⊥平面BCD；
（Ⅱ）求点E到平面ACD的距离.
【答案】（Ⅰ）详见解析
21
【解析】
【详解】试题分析：（Ⅰ）要证明AO⊥平面BCD，需要证明AO OC
⊥，AO BD
⊥，证明时主要是利用已知条件中的线段长度满足勾股定理和等腰三角形三线合一的性质（Ⅱ）中由已知条件空间直角坐标系容易建立，因此可采用空间向量求解，以O为坐标原点，以,,
OB OC OA方向为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，
求出平面ACD的法向量(3,1,3)
n=--和斜线的方向向量
13
(,
22
EC=-，代入公式
EC n
d
n
⋅
=计算
试题解析：（Ⅰ）证明：,AB AD O =为BD 的中点，AO BD ∴⊥， 2AD =,1OD =，1AO ∴=
，2,3CB CD BD OC ===∴=，
又2,CA =222CA OA OC ∴=+，AO OC ∴⊥，
BD OC O ⋂=，,BD OC 均在平面BCD 内，AO ∴⊥平面BCD
（Ⅱ）方法一：以O 为坐标原点，以,,OB OC OA 方向为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立空间直角坐标系，则1
3(0,0,1),(1,0,0),(0,3,0),(1,0,0),(,,0)2A B C D E -， (0,3,1),(1,3,0)AC CD =-=--
设n 为平面ACD 的法向量，则n AC ⊥，n CD ⊥
30,
{30,y z x y -=∴+=取n (3,1,3)=--，
13(,,0)2EC =-，则点E 到平面ACD 的距离为3217
EC n d n ⋅===
方法二：设点H 在CD 上，且14
DH DC =，连AH ， 2,CB CD DB ===O 为BD 的中点，OH CD ∴⊥
AO ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD ，,AO CD ∴⊥
,,AO OH O AO OH ⋂=⊂平面AOH ，CD 平面AOH
CD ⊂平面ACD ，∴平面AOH ⊥平面ACD ，且交线为AH
过点O 作OP AH ⊥于点P ，则OP ∴⊥平面ACD
,O E 分别为,BD BC 的中点，则//,OE CD OE ⊄平面ACD ，CD ⊂平面ACD ，
//OE ∴平面ACD ，E ∴点到平面ACD 的距离即OP ， 3137
2121,,,77
AO OH AO OH AH OP AH ⨯⋅==
=∴=== 故点E 到平面ACD
的距离为21
考点：1.线面垂直的判定；2.点到面的距离
19.已知平行四边形ABCD 的三个顶点的坐标为(15)A -，
，(21)B --，，(23)C ，.
（1）求平行四边形ABCD 的顶点D 的坐标；
（2）在ACD 中，求CD 边上的高所在直线方程；
（3）求四边形ABCD 面积.
【答案】（1）(39)D ，
（2）2966
x y =-+（3）20 【解析】 试题分析：首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.
试题解析：
（1）方法（一）：设()D x y ，，AB DC =，
()()1623x y ∴--=--，，，∴3x =，9y =，即()39D ，.
法二：AC 中点为1
42⎛⎫ ⎪⎝⎭
，， 该点也为BD 中点，设()D x y ，
，则可得()39D ，； （2）∵，∴CD 边上的高的6CD k =斜率为16
-
， ∴CD 边上的高所在的直线方程为：2966x y =-+； （3）法一：BC ：10x y -+=，
∴A 到BC
=
又BC =，∴四边形ABCD
面积为202=. 法二：∵AC =AB =
，BC =
∴由余弦定理得cos ABC ∠= ∴sin ABC ∠= ∴四边形ABCD 的面积为sin 20AB BC ABC ⨯⨯∠==。

【点睛】利用坐标法解题是解析几何的一大特点，借助向量工具特别是向量的坐标运算是解析几何与向量联系的纽带，首先根据平行四边形对边平行且相等，得出向量相等的条件，根据向量的坐标运算，得出向量相等的条件要求，求出点的坐标，求高线方程采用点斜式，利用垂直关系求斜率，球平行四边形的面积可利用两条平行线间的距离也可利用两点间的距离求边长，再根据余弦定理求角，再利用三角形面积公式求面积.
20.如图，BCD ∆与MCD ∆都是边长为2的正三角形，平面MCD ⊥平面BCD ，AB ⊥平面BCD ，AB =
（1）求直线AM 与平面BCD 所成的角的大小；
（2）求平面ACM 与平面BCD 所成的二面角的正弦值.
【答案】（1）45α=︒；（2）25sin θ=
【解析】
【分析】
（1）根据题目条件建立空间直角坐标系，求出平面BCD 的法向量，根据线面角的向量公式即可求出；
（2）分别求出平面ACM 与平面BCD 的法向量，再利用二面角的向量公式即可求出．
【详解】取CD 中点O ，连OB ，OM ，则OB CD ⊥，OM CD ⊥，
又平面MCD ⊥平面BCD ，则MO ⊥平面BCD .
以O 为原点，直线OC 、BO 、OM 为x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系如图.
3OB OM ==则各点坐标分别()0,0,0O ，()1,0,0C ，(3M ，()0,3,0B -，(0,3,23A -，
（1）设直线AM 与平面BCD 所成的角为α.
因(AM =，平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，则有
3sin |cos ,|||||6
AM
n AM n AM n α⋅=〈〉===
⋅45α=︒. （2）(CM =-，(1,CA =-.设平面ACM
的法向量为()1,
,n x y z
=， 由11n CM n CA ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩
得00
x x ⎧-=⎪⎨-+=⎪⎩.解得x =，y z =， 取()13,1,1n =，又平面BCD 的法向量为()0,0,1n =，则111cos ,||||5
n n n n n n
⋅=
= 设所求二面角为θ，则sin 5θ==. 【点睛】本题主要考查利用向量法计算立体几何中的线面角和二面角，意在考查学生的直观想象和数学运算能力．
21.已知过点(,)P m n 的直线l 与直线:240l x y '++=垂直.
（1） 若12m =，且点P 在函数11y x
=-的图象上，求直线l 的一般式方程； （2）若点(,)P m n 在直线l '上，判断直线0:(1)50l mx n y n +-++=是否经过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由.
【答案】（1）210x y -+=；（2）过定点()1,1，理由见解析
【解析】
【分析】
（1）根据点P 在函数11y x
=-的图象上，求出点P 的坐标，再利用直线l 与直线:240l x y '++=垂直求出直线l 的斜率，由点斜式方程即可求出直线l 的一般式方程；
（2）根据点P 在直线l '上，找到,m n 之间的关系，消元转化为
()()21450n x y x y -++-+-=，则有210450x y x y -++=⎧⎨+-=⎩
，即可解出定点坐标． 【详解】（1）点P 在函数11y x =
-的图象上，121n m ==-，即点1,22P ⎛⎫ ⎪⎝⎭
由240x y ++=，得122y x =-
-，即直线l '的斜率为12-， 又直线l 与直线l '垂直，则直线l 的斜率k 满足：112k -=-，即2k =， 所以直线l 的方程为1222y x ⎛
⎫-=- ⎪⎝⎭
，一般式方程为：210x y -+=． （2）点()P m n ,在直线l '上，所以240m n ++=，即24m n =--，
代入()150mx n y n +-++=中，整理得()()21450n x y x y -++-+-=，
由210450x y x y -++=⎧⎨+-=⎩，解得11x y =⎧⎨=⎩
， 故直线()150mx n y n +-++=必经过定点，其坐标为()1,1.
【点睛】本题主要考查直线与直线的位置关系应用、直线方程的求法以及过定点的直线系中的定点求法．
22.如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，90BAC ∠=︒．点D ，E ，N 分别为棱PA ，PC ，BC 的中点，M 是线段AD 的中点，4PA AC ==，2AB =．
（1）求证：MN ∥平面BDE ；
（2）求二面角C EM N --的正弦值；
（3）已知点H 在棱PA 上，且直线NH 与直线BE 所成角的余弦值为721
，求线段AH 的长． 【答案】（1）证明见解析；（2）
10521
；（3）85或12． 【解析】 【详解】试题分析：本小题主要考查直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.首先要建立空间直角坐标系，写出相关点的坐标，证明线面平行只需求出平面的法向量，
计算直线对应的向量与法向量的数量积为0，求二面角只需求出两个半平面对应的法向量，借助法向量的夹角求二面角，利用向量的夹角公式，求出异面直线所成角的余弦值，利用已知条件，求出AH 的值.
试题解析：如图，以A 为原点，分别以AB ，AC ，AP 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系.依题意可得A （0，0，0），B （2，0，0），C （0，4，0），P （0，0，4），D （0，0，2），E （0，2，2），M （0，0，1），N （1，2，0）
.
（1）证明：DE =（0，2，0），DB =（2，0，2-）.设(),,n x y z =，为平面BDE 的法向量， 则00n DE n DB ⎧⋅=⎨⋅=⎩
，即20220y x z =⎧⎨-=⎩.不妨设1z =，可得()1,0,1n =.又MN =（1，2，1-），可得0MN n ⋅=.
因为MN ⊄平面BDE ，所以MN //平面BDE .
（2）解：易知()11,0,0n =为平面CEM 的一个法向量.设()2,,n x y z =为平面EMN 的法向量，则2200
n EM n MN ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，因为()0,2,1EM =--，()1,2,1MN =-，所以2020y z x y z --=⎧⎨+-=⎩.不妨设1y =，可得()24,1,2n =--. 因此有121212,21n n cosn n n n ⋅==-12105sin ,n n =. 所以，二面角C —EM —N 的正弦值为
10521. （3）解：依题意，设AH =h （04h ≤≤），则H （0，0，h ），进而可得()1,2,NH h =--，
()
2,2,2 BE=-.
由已知，得cos,
21
NH BE
NH BE
NH BE h
⋅
===，整理得
2
102180
h h
-+=，解得
8
5
h=，或
1
2
h=.
所以，线段AH的长为8
5
或
1
2
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【考点】直线与平面平行、二面角、异面直线所成的角
【名师点睛】空间向量是解决空间几何问题的锐利武器，不论是求空间角、空间距离还是证明线面关系利用空间向量都很方便，利用向量夹角公式求异面直线所成的角又快又准，特别是借助平面的法向量求线面角，二面角或点到平面的距离都很容易.。