普通高等学校招生国统一考试数学试题 文国卷2,含答案 试题

2021年普通高等招生全国统一考试数学试题 文〔全国卷2〕
考前须知：
1．答卷前，所有考生必须将本人的姓名、准考证号填写上在答题卡上。

2．答题时，将答案写在答题卡上。

写在套本套试卷及草稿纸上无效。

3．在在考试完毕之后以后，将本套试卷和答题卡一起交回。

一、选择题：此题一共12小题，每一小题5分，一共60分，在每一小题给出的四个选项里
面，只有一项是哪一项符合题目要求的。

1．()i 23i += A ．32i -
B ．32i +
C ．32i --
D ．32i -+
2．集合{}1,3,5,7A =，{}2,3,4,5B =，那么A
B =
A ．{}3
B ．{}5
C ．{}3,5
D ．{}1,2,3,4,5,7
3．函数()2
e e x x
f x x
--=的图像大致为
4．向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，那么(2)⋅-=a a b A ．4
B ．3
C ．2
D ．0
5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区效劳，那么选中的2人都是女同学的概率为 A ．0.6
B ．0.5
C ．0.4
D ．0.3
6．双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>3，那么其渐近线方程为
A
．y =
B
．y =
C
．y = D
．y x = 7．在ABC △
中，cos 2C 1BC =，5AC =，那么AB = A
． B
C
D
．8．为计算11111
1234
99100
S =-
+-++
-
，设计了如图的程序框图，那么在空白框中应填入
A ．1i
i =+ B ．2
i i =+ C ．3i i =+
D ．4i i =+
9．在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1CC 的中点，那么异面直线AE 与CD 所成角的正切值为 A B C D 10．假设()cos sin f x x x =
-在[0,]a 是减函数，那么a 的最大值是 A
．
π4
B ．
π2
C
．
3π4
D ．π
11．1
F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，P 是C 上的一点，假设12PF PF ⊥，且2160PF F ∠=︒，那
么C 的离心率为 A ．1B ．2C D 1-
12．()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，满足(1)(1)f x f x -=+．假设(1)2f =，那么
(1)(2)(3)f f f ++(50)f +
+=
A ．50-
B ．0
C ．2
D ．50
二、填空题：此题一共4小题，每一小题5分，一共20分。

13．曲线2ln y x =在点(1,0)处的切线方程为__________．
14．假设,x y 满足约束条件250,230,50,x y x y x +-⎧⎪
-+⎨⎪-⎩
≥≥≤ 那么z x y =+的最大值为__________．
15．5π1
tan()45
α-
=，那么tan α=__________． 16．圆锥的顶点为S ，母线SA ，SB 互相垂直，SA 与圆锥底面所成角为30︒，假设SAB △的
面积为8，那么该圆锥的体积为__________．
三、解答题：一共70分。

解容许写出文字说明、证明过程或者演算步骤。

第17～21题为必
考题，每个试题考生都必须答题。

第22、23为选考题。

考生根据要求答题。

〔一〕必考题：一共60分。

17．〔12分〕 记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，17a =-，315S =-． 〔1〕求{}n a 的通项公式；
〔2〕求n S ，并求n S 的最小值．
18．〔12分〕
下列图是某地区2000年至2021年环境根底设施HY 额y 〔单位：亿元〕的折线图．
为了预测该地区2021年的环境根底设施HY 额，建立了y 与时间是变量t 的两个线性回归模型．根据2000年至2021年的数据〔时间是变量t 的值依次为1,2,
,17〕建立模型
①：ˆ30.413.5y t =-+；根据2021年至2021年的数据〔时间是变量t 的值依次为1,2,,7〕
建立模型②：ˆ9917.5y
t =+． 〔1〕分别利用这两个模型，求该地区2021年的环境根底设施HY 额的预测值；
〔2〕你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．
19．〔12分〕
如图，在三棱锥P ABC -中，22AB BC ==，4PA PB PC AC ====，O 为AC 的中
点．
〔1〕证明：PO ⊥平面ABC ；
〔2〕假设点M 在棱BC 上，且2MC MB =，求点C 到平面POM 的间隔 ．
20．〔12分〕
设抛物线24C y x =：的焦点为F ，过F 且斜率为(0)k k >的直线l 与C 交于A ，B 两点，
||8AB =．
〔1〕求l 的方程；
〔2〕求过点A ，B 且与C 的准线相切的圆的方程．
21．〔12分〕
函数()()
321
13
f x x a x x =-++．
〔1〕假设3a =，求()f x 的单调区间；
〔2〕证明：()f x 只有一个零点．
〔二〕选考题：一共10分。

请考生在第22、23题中任选一题答题。

假如多做，那么按所做
的第一题计分。

22．[选修4－4：坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2cos ,
4sin x θy θ=⎧⎨=⎩〔θ为参数〕，直线l 的参数方
程为1cos ,
2sin x t αy t α=+⎧⎨=+⎩
〔t 为参数〕．
〔1〕求C 和l 的直角坐标方程；
〔2〕假设曲线C 截直线l 所得线段的中点坐标为(1,2)，求l 的斜率．
23．[选修4－5：不等式选讲]〔10分〕 设函数()5|||2|f x x a x =-+--．
〔1〕当1a =时，求不等式()0f x ≥的解集； 〔2〕假设()1f x ≤，求a 的取值范围．
参考答案
一、选择题
1．D 2．C 3．B 4．B 5．D 6．A
7．A 8．B 9．C 10．C 11．D 12．C
二、填空题
13．y=2x–2 14．9 15．3
2
16．8π
三、解答题
17．解：
〔1〕设{a n}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15．
由a1=–7得d=2．
所以{a n}的通项公式为a n=2n–9．
〔2〕由〔1〕得S n=n2–8n=〔n–4〕2–16．
所以当n=4时，S n获得最小值，最小值为–16．
18．解：
〔1〕利用模型①，该地区2021年的环境根底设施HY额的预测值为y=–×19=226.1〔亿元〕．
利用模型②，该地区2021年的环境根底设施HY额的预测值为
y×9=256.5〔亿元〕．
〔2〕利用模型②得到的预测值更可靠．
理由如下：
〔i〕从折线图可以看出，2000年至2021年的数据对应的点没有随机分布在直线y=–t 上下，这说明利用2000年至2021年的数据建立的线性模型①不能很好地描绘环境根底设施HY额的变化趋势．2021年相对2021年的环境根底设施HY额有明显增加，2021年至2021年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2021年开场环境根底设施HY额的变化规律呈线性增长趋势，利用2021年至2021年的数据建立的线性模型y t可以较好地描绘2021年以后的环境根底设施HY额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．
〔ii〕从计算结果看，相对于2021年的环境根底设施HY额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比拟合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．
以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或者其他合理理由均可得分．
19．解：
〔1〕因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23．
连结OB．因为AB=BC=
2
2
AC，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB=
1
2
AC=2．
由222
OP OB PB
+=知，OP⊥OB．
由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．
〔2〕作CH ⊥OM ，垂足为H ．又由〔1〕可得OP ⊥CH ，所以CH ⊥平面POM ． 故CH 的长为点C 到平面POM 的间隔 ． 由题设可知OC =12AC =2，CM =23BC
ACB =45°． 所以OM
，CH =sin OC MC ACB OM ⋅⋅∠
．
所以点C 到平面POM 的间隔
． 20．解：
〔1〕由题意得F 〔1，0〕，l 的方程为y =k 〔x –1〕〔k >0〕． 设A 〔x 1，y 1〕，B 〔x 2，y 2〕．
由2(1)4y k x y x
=-⎧⎨=⎩得2222(24)0k x k x k -++=． 2
16160k ∆=+=，故2122
24
k x x k
++=． 所以212244
(1)(1)k AB AF BF x x k +=+=+++=．
由题设知2244
8k k +=，解得k =–1〔舍去〕，k =1． 因此l 的方程为y =x –1．
〔2〕由〔1〕得AB 的中点坐标为〔3，2〕，所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+．
设所求圆的圆心坐标为〔x 0，y 0〕，那么
0022
000
5(1)(1)16.2y x y x x =-+⎧⎪⎨-++=+⎪⎩，
解得0032x y =⎧⎨=⎩，或者00116.x y =⎧⎨=-⎩， 因此所求圆的方程为
22(3)(2)16x y -+-=或者22(11)(6)144x y -++=．
21．解：
〔1〕当a =3时，f 〔x 〕=32
13333
x x x ---，f ′〔x 〕=263x x --．
令f ′〔x 〕=0解得x =3-x =3+．
当x ∈〔–∞，3-3++∞〕时，f ′〔x 〕>0；
当x ∈〔3-3+ f ′〔x 〕<0．
故f 〔x 〕在〔–∞，3-〕，〔3++∞〕单调递增，在〔3-，3+单调递减．
〔2〕由于2
10x x ++>，所以()0f x =等价于3
2
301x a x x -=++． 设()g x =3
231
x a x x -++，那么g ′〔x 〕=2222(23)(1)x x x x x ++++≥0，仅当x =0时g ′〔x 〕=0，
所以g 〔x 〕在〔–∞，+∞〕单调递增．故g 〔x 〕至多有一个零点，从而f 〔x 〕至多有一个零点．
又f 〔3a –1〕=2
2111626()0366a a a -+-
=---<，f 〔3a +1〕=1
03
>，故f 〔x 〕有一个零点．
综上，f 〔x 〕只有一个零点． 22．解：
〔1〕曲线C 的直角坐标方程为22
1416
x y +
=． 当cos 0α≠时，l 的直角坐标方程为tan 2tan y x αα=⋅+-， 当cos 0α=时，l 的直角坐标方程为1x =．
〔2〕将l 的参数方程代入C 的直角坐标方程，整理得关于t 的方程 22(13cos )4(2cos sin )80t t ααα+++-=．①
因为曲线C 截直线l 所得线段的中点(1,2)在C 内，所以①有两个解，设为1t ，2t ，那么120t t +=．
又由①得1224(2cos sin )
13cos t t ααα
++=-
+，故2cos sin 0αα+=，于是直线l 的斜率
tan 2k α==-．
23．解：
〔1〕当1a =时， 24,1,()2,12,26, 2.x x f x x x x +≤-⎧⎪
=-<≤⎨⎪-+>⎩
可得()0f x ≥的解集为{|23}x x -≤≤． 〔2〕()1f x ≤等价于|||2|4x a x ++-≥．
而|||2||2|x a x a ++-≥+，且当2x =时等号成立．故()1f x ≤等价于|2|4a +≥． 由|2|4a +≥可得6a ≤-或者2a ≥，所以a 的取值范围是(,6][2,)-∞-+∞．
励志赠言经典语录精选句；挥动**，放飞梦想。

厚积薄发，一鸣惊人。

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自古以来就有许多文人留下如头悬梁锥刺股的经典的，而近代又有哪些经典的高中励志赠言出现呢?小编筛选了高中励志赠言句经典语录，看看是否有些帮助吧。

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贵在坚持、难在坚持、成在坚持。

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耕耘今天，收获明天。

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短暂辛苦，终身幸福。

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大智若愚，大巧若拙。

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2022年元月元日
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播下希望，充满**，勇往直前，永不言败。

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创作；朱本晓
2022年元月元日。