(常考题)人教版初中数学九年级数学上册第一单元《一元二次方程》测试(含答案解析)(3)

一、选择题
1．下列方程属于一元二次方程的是（ ）
A ．222-=x x x
B ．215x x +=
C ．220++=ax bx c
D ．223x x += 2．下列方程中是一元二次方程的是（ ）
A ．210x +=
B ．220x -=
C ．21x y +=
D ．211x x
+= 3．用配方法解方程2x 4x 70+-=，方程应变形为（ ）
A ．2(2)3x +=
B ．2 (x+2)11=
C ．2 (2)3?x -=
D ．2()211x -= 4．由于疫情得到缓和，餐饮行业逐渐回暖，某地一家餐厅重新开张，开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元，若设每天的增长率为x ，则x 满足的方程是（ ）
A ．5000（1+x ）＝6050
B ．5000（1+2x ）＝6050
C ．5000（1﹣x ）2＝6050
D ．5000（1+x ）2＝6050 5．方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为（ ）
A ．12
B ．15
C ．12或15
D ．18 6．当分式
2369x x x --+的值为0时，则x 等于（ ） A ．3 B ．0 C ．3± D ．-3
7．若关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ）
A ．a ＜－2
B ．a ＞－2
C ．－2＜a ＜0
D ．－2≤a ＜0 8．在一幅长80cm ，宽50cm 的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示，如果要使整个挂图的面积是5400cm 2，设金色纸边的宽为xcm ，那么x 满足的方程是（ ）
A ．x 2+65x-350=0
B ．x 2+130x-1400=0
C ．x 2-130x-1400=0
D ．x 2-65x-350=0 9．关于x 的方程x 2﹣kx ﹣2＝0的根的情况是（ ） A ．有两个相等的实数根 B ．没有实数根
C ．有两个不相等的实数根
D ．无法确定
10．下列方程是一元二次方程的是（ ）
A ．20ax bx c ++=
B ．22(1)x x x -=-
C ．2325x x y -+=
D ．2210x +=
11．已知m 是方程2210x x --=的一个根，则代数式2242020m m -+的值为（ ） A ．2022
B ．2021
C ．2020
D ．2019 12．若()()
2222230x
y x y ++--=，则22x y +的值是（ ） A ．3 B ．-1 C ．3或1 D ．3或-1 二、填空题
13．把方程2230x x --=化为2()x h k +=的形式来求解的方法我们叫配方法，其中h ，k 为常数，那么本题中h k +的值是_________．
14．若关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，则k =______． 15．已知 12,x x 是一元二次方程()2
3112x -=的两个解，则12x x +=_______． 16．对于任意实数a 、b ，定义：a ◆b ＝a 2+ab +b 2．若方程（x ◆2）﹣5＝0的两根记为m 、n ，则（m +2）（n +2）＝_____．
17．若a 是方程210x x ++=的根，则代数式22020a a --的值是________． 18．已知x 1和x 2是方程2x 2
-5x+1=0的两个根，则1212x x x x +的值为_____． 19．已知1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，则22
12123x x x x ++=__________． 20．当x=______时，−4x 2−4x+1有最大值． 三、解答题
21．商店销售某种商品，每件成本为30元．经市场调研，售价为40元时，可销售200件；售价每增加2元，销售量将减少20件．如果这种商品全部销售完，该商店可盈利2250元，那么该商品每件售价多少元？
22．解下列方程：
（1）2x 2﹣4x ＋1＝0；
（2）（2x ﹣1）2＝（3﹣x ）2．
23．水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售．
（1）设这种水果每斤的售价降低x 元（02x ≤≤），每天的销售量为y 斤，求y 与x 的关系式；
（2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 24．用适当的方法解方程：
（l ）2(3)26x x +=+
（2）2810x x -+=．
25．解方程：(2)4x x x +=-
26．解下列方程：
（1）x （x －1）＝1－x
（2）(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)
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一、选择题
1．D
解析：D
【分析】
一元二次方程必须满足两个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0．据此判断即可．
【详解】
解：A 、移项得：20x -=，是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项错误； B 、不是整式方程，即不是一元二次方程，故本选项错误；
C 、ax 2+bx+c=0，当a=0时，它不是一元二次方程，故C 错误；
D 223x x +=符合一元二次方程的定义，故D 正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2．
2．B
解析：B
【分析】
直接利用一元二次方程的定义分析得出答案．
【详解】
解：A.210x +=，是一元一次方程，故本选项不符合题意．
B.220x -=，是一元二次方程，故本选项符合题意．
C.21x y +=，是二元二次方程，故本选项不符合题意．
D.
211x x
+=，该方程分式方程，故本选项不符合题意． 故选B ．
【点睛】 此题主要考查了一元二次方程的定义，正确把握定义是解题关键．
3．B
解析：B
【分析】
根据配方法解一元二次方程的方法解答即可．
【详解】
解：用配方法解方程2
470x x ，方程应变形为24411x x ++=，即()2
211x +=． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握配方的方法是解题的关键． 4．D
解析：D
【分析】
根据开业第一天收入约为5000元，之后两天的收入按相同的增长率增长，第3天收入约为6050元列方程即可得到结论．
【详解】
解：设每天的增长率为x ，
依题意，得：5000（1+x ）2＝6050．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
5．B
解析：B
【分析】
首先求出方程的根，再根据三角形三边关系定理列出不等式，确定是否符合题意．
【详解】
解：解方程x 2-9x+18=0，得x 1=3，x 2=6，
当3为腰，6为底时，不能构成等腰三角形；
当6为腰，3为底时，能构成等腰三角形，周长为6+6+3=15．
故选：B ．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．
6．D
解析：D
【分析】
先根据分式的值为0的条件列出关于x 的不等式组，求出x 的值即可．
【详解】
依题意得：230
690x x x ⎧-⎨-+≠⎩＝，
解得x ＝−3．
故选：D
【点睛】
本题考查的是分式的值为0的条件，熟知分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零是解答此题的关键．
7．C
解析：C
【分析】
由关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －12
＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根可得2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-=+> ⎪⎝⎭
，解不等式即可求出a 的取值范围． 【详解】
∵关于x 的一元二次方程ax 2＋2x －
12＝0（a ＜0）有两个不相等的实数根， ∴2214244202b ac a a ⎛⎫∆=-=-⨯⨯-
=+> ⎪⎝⎭
， 解得：a >−2，
∵a <0，
∴−2<a <0．
故选C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式，掌握根的判别式的应用为解题关键． 8．A
解析：A
【分析】
本题可设长为（80+2x ），宽为（50+2x ），再根据面积公式列出方程，化简即可．
【详解】
解：依题意得：（80+2x ）（50+2x ）=5400，
即4000+260x+4x 2=5400，
化简为：4x 2+260x-1400=0，
即x 2+65x-350=0．
故选：A ．
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的应用，解此类题目要注意运用面积的公式列出等式再进行化简．
9．C
解析：C
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可得△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8＞0，即可得到答案．
【详解】
解：△＝（﹣k ）2﹣4×1×（﹣2）＝k 2+8．
∵k 2≥0，
∴k 2+8＞0，即△＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：C ．
【点睛】
本题考查一元二次方程根的判别式， 24b ac ∆=-，当0∆>时方程有两个不相等的实数根，当0∆=时方程有两个相等的实数根，当∆<0时方程没有实数根．
10．D
解析：D
【分析】
根据“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程：进行判断即可．
【详解】
解：A 、当a=0时，该方程不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
B 、该方程化简整理后是一元一次方程，故本选项不符合题意．
C 、该方程含有2个未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意．
D 、该方程符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意．
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查了一元二次方程，判断一个方程是否是一元二次方程应注意抓住5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．
11．A
解析：A
【分析】
把x m =代入方程2210x x --=求出221m m -=，把2242020m m -+化成()2222020m m -+，再整体代入求出即可．
【详解】
∵把x m =代入方程2210x x --=得：2210m m --=，
∴221m m -=，
∴()
222420202220202120202022m m m m -+=-+=⨯+=，
故选：A ．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解，采用了整体代入的方法．注意：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
12．A
解析：A
【分析】
用22a x y =+，解出关于a 的方程，取正值即为22x y +的值是．
【详解】
解：令22a x y =+，
则(2)30a a --=，
即2230a a --=，
即(3)(1)0a a ，
解得13a =，21a =-，
又因为220a x y =+>，所以3a =
故22x y +的值是3，
故选：A ．
【点睛】
本题考查解一元二次方程，掌握换元思想可以使做题简单，但需注意22
0a x y =+>． 二、填空题
13．3【分析】首先把常数项移到等号右边经配方h 和k 即可求得进而通过计算即可得到答案【详解】根据题意移项得配方得：即∴∴故答案是：3【点睛】本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法 解析：3
【分析】
首先把常数项移到等号右边，经配方，h 和k 即可求得，进而通过计算即可得到答案．
【详解】
根据题意，移项得223x x -=，
配方得：22131x x -+=+，即2
(1)4x -=，
∴1h =-，4k =
∴143h k +=-+=
故答案是：3．
【点睛】
本题考查了配方法解一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握配方法的性质，从而完成求解．
14．4【分析】根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根∴解得：；故答案为4【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题 解析：4
【分析】
根据一元二次方程根的判别式可直接进行求解．
【详解】
解：∵关于x 的一元二次方程240x x k -+=有两个相等的实数根，
∴()2
24440b ac k ∆=-=--=， 解得：4k =；
故答案为4．
【点睛】
本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键．
15．2【分析】先将方程整理为x2-2x-3=0再根据根与系数的关系可得出x1+x2即可【详解】解：一元二次方程整理为∵x1x2是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根∴x1+x2=2故答案为：2【点睛】
解析：2
【分析】
先将方程整理为x 2-2x-3=0，再根据根与系数的关系可得出x 1+x 2即可．
【详解】
解：一元二次方程()23112x -=整理为2230x x --=，
∵x 1、x 2是一元二次方程x 2-2x-3=0的两个根，
∴x 1+x 2=2．
故答案为：2．
【点睛】 本题考查了根与系数的关系，牢记两根之和等于b a
-是解题的关键． 16．-1【分析】根据新定义可得出mn 为方程x2＋2x−1＝0的两个根利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2mn ＝−1变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算【详解】
解析：-1
【分析】
根据新定义可得出m 、n 为方程x 2＋2x−1＝0的两个根，利用根与系数的关系可得出m ＋n ＝−2、mn ＝−1，变形（m ＋2）（n ＋2）得到mn ＋2（m ＋n ）＋4然后利用整体代入得方法进行计算．
【详解】
解：∵（x ◆2）﹣5＝x 2+2x +4﹣5，
∴m 、n 为方程x 2+2x ﹣1＝0的两个根，
∴m +n ＝﹣2，mn ＝﹣1，
∴（m +2）（n +2）＝mn +2（m +n ）+4＝﹣1+2×（﹣2）+4＝﹣1．
故答案为﹣1．
【点睛】
本题考查了一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0（a≠0）的根与系数的关系：若方程两根为x 1，x 2，则x 1＋x 2＝b a -，x 1•x 2＝c a
． 17．2021【分析】把x=a 代入已知方程并求得a2+a=-1然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可【详解】解：把x=a 代入x2+x+1=0得a2+a+1=0解得a2+a=-1所以2020-a2-a=2
解析：2021
【分析】
把x=a 代入已知方程，并求得a 2+a=-1，然后将其整体代入所求的代数式进行求值即可
【详解】
解：把x=a 代入x 2+x+1=0，得
a 2+a+1=0，
解得a 2+a=-1，
所以2020-a 2-a=2020+1=2021．
故答案是：2021．
【点睛】
本题考查了一元二次方程的解的定义．能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根．
18．5【分析】直接根据根与系数的关系求出再代入求值即可【详解】解：∵x1x2是方程2x2-5x+1=0的两个根∴x1+x2=-∴故答案为：5【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1x2是一元二次方程ax
解析：5
【分析】
直接根据根与系数的关系，求出12x x +，12x x 再代入求值即可．
【详解】
解：∵x 1，x 2是方程2x 2-5x+1=0的两个根，
∴x 1+x 2=--55-=22，121=2
x x ．
∴1
2125
2==512
x x x x + 故答案为：5．
【点睛】
本题考查了根与系数的关系：若x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x 1+x 2=b a -，x 1x 2=c a
． 19．—1【分析】根据根与系数之间的关系解题即可【详解】∵是方程的两个实数根∴∴故答案为：-1【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系解题的关键是根据公式正确计算
解析：—1
【分析】
根据根与系数之间的关系解题即可.
【详解】
∵1x ，2x 是方程2250x x --=的两个实数根，
∴122x x +=，125x x =，
∴()()2
222112*********x x x x x x x x ++++=+-=-=， 故答案为：-1
【点睛】
本题考查了一元二次方程根与系数之间的关系，解题的关键是根据公式正确计算. 20．【分析】先根据完全平方公式将原式配方进而利用非负数的性质求出即可
【详解】解：∵-4x2-4x+1=-(4x2+4x-1)=-(2x+1)2+2-(2x+1)2≤0∴当x=-时4x2-4x+1有最大值 解析：12
- 【分析】
先根据完全平方公式将原式配方，进而利用非负数的性质求出即可．
【详解】
解：∵-4x 2-4x+1=-(4x 2+4x-1)=-(2x+1)2+2，
-(2x+1)2≤0，
∴当x=-12
时，4x 2-4x+1有最大值是2． 故答案为：-
12
． 【点睛】 此题主要考查了配方法的应用以及非负数的性质，正确配方得出是解题关键．
三、解答题
21．每件售价为45元
【分析】
设该商品的单价为x 元，根据题意得到方程，解方程即可求解．
【详解】
解：设该商品的单价为x 元．
根据题意，得()()3020010402250---=⎡⎤⎣⎦x x ．
解这个方程，得1245x x ==．
答：每件售价为45元．
【点睛】
本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据利润得到相应的等量关系是解题的关键．
22．（1）x 1＝1＋
2，x 2＝1﹣2；（2）x 1＝﹣2，x 2＝43 【分析】
（1）利用配方法解一元二次方程；
（2）利用因式分解法解方程．
【详解】
（1）解：2x 2﹣4x ＋1＝0，
x 2﹣2x ＝﹣12
， x 2﹣2x ＋1＝﹣
12＋1，即（x ﹣1）2＝12，
∴x ﹣1＝±
2，
∴x 1＝1＋2，x 2＝1﹣2
； （2）解：（2x ﹣1）2＝（3﹣x ）2．
（2x ﹣1）2﹣（3﹣x ）2＝0，
[（2x ﹣1）＋（3﹣x ）][（2x ﹣1）﹣（3﹣x ）]＝0，
∴x ＋2＝0或3x ﹣4＝0，
∴x 1＝﹣2，x 2＝
43
． 【点睛】
本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握配方法、因式分解法、公式法，并熟练运用是关键．
23．（1）300150y x =+；（2）只需将每斤的售价降低1元．
【分析】
（1）销售量=原来销售量+下降销售量，据此列式即可；
（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可．
【详解】
（1）当02x ≤≤时，150303001500.1
x y x =+⨯=+ （2）由题意得：()()64300150450x x --+=解得：112x =
，21x = 当12x =时，13001503003602
y =⨯+=<（舍去） 当1x =时，3001150450360y =⨯+=> ∴只需将每斤的售价降低1元．
【点睛】
本题考查了理解解题的能力，销售量×每斤利润=总利润，掌握利润公式是解题的关键．
24．（1）13x =-，21x =-；（2）1x =，24x =【分析】
（1）用因式分解法求解可得；
（2）用配方法求解即可．
【详解】
解：（1）∵（x+3）2-2（x+3）=0，
∴（x+3）（x+1）=0，
∴x+3=0或x+1=0，
解得：x=-3或x=-1；
（2）2810x x -+=
281x x -=-
28+1615x x -=
2(4)15x -=
4x -=
∴1x =，24x =【点睛】
本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．
25．1241x x =-=，
【分析】
方程整理后，利用因式分解法求解即可．
【详解】
解：(2)4x x x +=-，
方程整理得：2340x x +-=，
因式分解得：()()410x x +-=，
则40x +=或10x -=，
∴1241x x =-=，．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程－因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．
26．（1）12x 1x -1==，；（2）12x 12x 1=-=，．
【分析】
（1）根据因式分解法，可得答案；
（2）根据因式分解法，可得答案．
【详解】
解：（1）x （x －1）＝1－x
方程整理，得，x （x ﹣1）+（x ﹣1）＝0，
因式分解，得，（x ﹣1）（x +1）＝0
于是，得，x ﹣1＝0或x +1＝0，
解得x 1＝1，x 2＝﹣1；
（2）(x-3) 2 = (2x-1) (x +3)
方程整理，得，x 2+11x ﹣12＝0
因式分解，得，（x +12）（x ﹣1）＝0
于是，得，x +12＝0或x ﹣1＝0，
解得x 1＝﹣12，x 2＝1．
【点睛】
本题考查了解一元二次方程，因式分解是解题关键．。