2016-2017学年江苏省泰州中学高一(下)开学数学试卷

2016-2017学年江苏省泰州中学高一（下）开学数学试卷
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（5分）的定义域为．
2．（5分）设，则f（f（﹣2））=．
3．（5分）计算：=．
4．（5分）幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=．5．（5分）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα=．
6．（5分）若log a＜1，则实数a的取值范围是．
7．（5分）已知a=（2，1），b=（x，2），且与平行，则x等于．
8．（5分）角α的终边过P（sin，cos），则角α的最小正值是．9．（5分）已知平面向量，，，，则与
的夹角为．
10．（5分）已知f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=．11．（5分）已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．
12．（5分）设不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
13．（5分）若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]（m＜n），则称[m，n]为函数f（x）的一个“等值映射区间”，已知下列函数：（1）y=x2﹣1；（2）y=2+log2x；（3）y=2x﹣1；（4）y=．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数序号为．
14．（5分）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x
﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）向量，设函数g（x）=•（a ∈R，且a为常数）．
（1）若x为任意实数，求g（x）的最小正周期；
（2）若g（x）在上的最大值与最小值之和为7，求a的值．16．（14分）已知||=2，||=，（2﹣3）•（2+）=19，
（1）求•的值；
（2）若⊥（+λ），求λ的值．
17．（14分）已知函数f（x）=2sin（πx+）
（1）当x∈[﹣，]时，求f（x）的最值；
（2）若f（）=，求cos（﹣α）的值．
18．（16分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
19．（16分）在△ABC中，||=2．||=1，点D是BC的中点．
（1）求证：=（+）；
（2）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：•（+）为常数，并求出该常数；
（3）如图2，若cosA=，F为线段AD上的任意一点，求•（+）的范围．20．（16分）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．
（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；
（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的置于为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（注：区间[p，q]的长度q﹣p）
2016-2017学年江苏省泰州中学高一（下）开学数学试卷
参考答案与试题解析
一、填空题：（本大题共14小题，每小题5分，共70分）
1．（5分）（2012秋•尖山区校级期中）的定义域为{x|x≥﹣4，x ≠﹣2} ．
【解答】解：∵函数的定义域是指使函数式有意义的自变量x的取值范围，
∴x+4≥0，x+2≠0即x≥﹣4，x≠﹣2
故答案为：{x|x≥﹣4，x≠﹣2}
2．（5分）（2011秋•如皋市期中）设，则f（f（﹣2））=4．
【解答】解：∵f（﹣2）=（﹣2）2=4，
再将f（﹣2）=4代入f[f（﹣2）]
f（f（﹣2））=4．
故答案为：4．
3．（5分）（2013秋•兴化市期中）计算：=11．【解答】解：原式=3++=3+4+22=11．
故答案为：11．
4．（5分）（2013春•扬州期末）幂函数f（x）=xα（α∈R）过点，则f（4）=2．
【解答】解：∵已知幂函数y=xα的图象过点（2，），则2α=，
∴α=，故函数的解析式为f（x）=x，
∴f（4）=4=2，
故答案为：2．
5．（5分）（2014春•连云港期末）已知角α的终边过点（3，﹣4），则sinα=．【解答】解：∵角α的终边过点（3，﹣4），∴x=3，y=﹣4，r=5，∴sinα==﹣，故答案为：．
6．（5分）（2017春•高港区校级月考）若log a＜1，则实数a的取值范围是{a|0＜a＜1，或a＞} ．
【解答】解：由log a＜1=log a a 可得当0＜a＜1时，log a＜0，满足条件；当a＞1时，根据y=log a x在（0，+∞）上是增函数，可得a＞．
综合可得，0＜a＜1，或a＞，
故答案为：{a|0＜a＜1，或a＞}．
7．（5分）（2011•顺庆区校级模拟）已知a=（2，1），b=（x，2），且与
平行，则x等于4．
【解答】解：，，
∵∥
∴x1•y2﹣x2•y1=0即
（2+x）（﹣3）=3（2﹣2x）解得x=4，故答案为4
8．（5分）（2014秋•秦安县校级期中）角α的终边过P（sin，cos），则
角α的最小正值是．
【解答】解：∵sin=，cos=﹣，
∴P（，﹣）为第四象限，
由cosα==cos（2π﹣）=cos（），
sinα=﹣=sin得角α的最小正值是α=，
故答案为：．
9．（5分）（2015•南阳校级三模）已知平面向量，，，
，则与的夹角为．
【解答】解：由，得，
即，
又，，
∴，即．
∴，
则，∴，
∴与的夹角为．
故答案为：．
10．（5分）（2015秋•无为县校级期中）已知f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，且f（﹣2）=10，则f（2）=﹣26．
【解答】解：由f（x）=ax5+bx3+cx﹣8，得f（x）+8=ax5+bx3+cx，
设F（x）=f（x）+8，
则F（x）为奇函数，
∴F（﹣2）=﹣F（2），
即f（﹣2）+8=﹣f（2）﹣8，
∴f（2）=﹣f（﹣2）﹣16=﹣10﹣16=﹣26，
故答案为：﹣26．
11．（5分）（2016秋•泰兴市期中）已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f （﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是（﹣3，1）．
【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0，故函数在（﹣∞，0]上是减函数．
故由f（m+1）＜f（2），
可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，
故答案为：（﹣3，1）．
12．（5分）（2010秋•红花岗区校级期中）设不等式mx2﹣2x﹣m+1＜0对于满足|m|≤2的一切m的值都成立，求x的取值范围．
【解答】解：令f（m）=m（x2﹣1）﹣2x+1，由条件f（m）＜0对满足|m|≤2的一切m的值都成立，
则需要f（﹣2）＜0，f（2）＜0．
解不等式组，解得，
∴x的取值范围是．
13．（5分）（2017春•高港区校级月考）若函数f（x）在[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]（m＜n），则称[m，n]为函数f（x）的一个“等值映射区间”，已知下列函数：（1）y=x2﹣1；（2）y=2+log2x；（3）y=2x﹣1；（4）y=．其中，存在唯一一个“等值映射区间”的函数序号为（2），（3）．
【解答】解：根据新定义可知，“等值映射区间”即是函数与另一函数y=x有两个交点．[m，n]（m＜n）上的值域恰好为[m，n]，可见[m，n]是单调递增．
对于（1）y=x2﹣1；根据新定义可得：x2﹣1=x，方程有两个解，即函数y=x2﹣1与函数y=x有两个交点．但在同一增区间上只有一个，故①不是；
对于（2）y=2+log2x；根据新定义可得：2+log2x=x，即函数y=2+log2x与函数y=x
有两个交点．且在定义域内都是递增，故②是；
对于（3）y=2x﹣1；根据新定义可得：2x﹣1=x，即函数y=2x﹣1与函数y=x有两个交点．且在定义域内都是递增，故③是；
对于（4）y=；根据新定义可得：x2﹣x=1，方程有两个解，即函数y=与函数y=x有两个交点．但在同一增区间是只有一个，故④不是；
故答案为：（2），（3）
14．（5分）（2012•福建）对于实数a和b，定义运算“*”：a*b=设f（x）=（2x﹣1）*（x﹣1），且关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互
不相等的实数根x1，x2，x3，则x1x2x3的取值范围是．
【解答】解：∵2x﹣1≤x﹣1时，有x≤0，
∴根据题意得f（x）=
即f（x）=
画出函数的图象从图象上观察当关于x的方程为f（x）=m（m∈R）恰有三个互不相等的实数根时，m的取值范围是（0，），
当﹣x2+x=m时，有x1x2=m，
当2x2﹣x=m时，由于直线与抛物线的交点在y轴的左边，得到，∴x1x2x3=m（）=，m∈（0，）
令y=，
则，又在m∈（0，）上是增函数，故有h（m）＞h（0）=1
∴＜0在m∈（0，）上成立，
∴函数y=在这个区间（0，）上是一个减函数，
∴函数的值域是（f（），f（0）），即
故答案为：
二、解答题：本大题共6小题，共90分.解答应写出必要的文字说明或推理、验算过程.
15．（14分）（2014•淮南一模）向量，设
函数g（x）=•（a∈R，且a为常数）．
（1）若x为任意实数，求g（x）的最小正周期；
（2）若g（x）在上的最大值与最小值之和为7，求a的值．
【解答】解：∵=（2分）
=x+a+1
=sin2x+cos2x+a=（6分）
（1）由周期公式可得，T==π（8分）
（2）∵0≤x＜，
∴
当2x+，即x=时，y max=2+a（10分）
当2x+，即x=0时，y min=1+a
∴a+1+2+a=7，即a=2．（12分）
16．（14分）（2014春•东莞期末）已知||=2，||=，（2﹣3）•（2+）=19，
（1）求•的值；
（2）若⊥（+λ），求λ的值．
【解答】解：（1）由，（2﹣3）•（2+）=19，
可得4﹣4﹣3=19．
∵||=2，||=，∴16﹣4﹣9=19，
∴=﹣3；
（2）由⊥（+λ），
可得•（+λ）=0，
即+λ=0，
由（1）及||=2，||=，
得4﹣3λ=0，
解得λ=．
17．（14分）（2014秋•咸宁期中）已知函数f（x）=2sin（πx+）
（1）当x∈[﹣，]时，求f（x）的最值；
（2）若f（）=，求cos（﹣α）的值．
【解答】解：（1）函数f（x）=2sin（πx+）
当x∈[﹣，]时，利用函数的单调性，
f（x）max=2，
（2）由，所以有：
所以
而
所以
即
18．（16分）（2011•湖北）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20≤x≤200时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
（Ⅰ）当0≤x≤200时，求函数v（x）的表达式；
（Ⅱ）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x•v（x）可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）．
【解答】解：（Ⅰ）由题意：当0≤x≤20时，v（x）=60；当20＜x≤200时，设v（x）=ax+b
再由已知得，解得
故函数v（x）的表达式为．
（Ⅱ）依题并由（Ⅰ）可得
当0≤x＜20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为60×20=1200
当20≤x≤200时，
当且仅当x=200﹣x，即x=100时，等号成立．
所以，当x=100时，f（x）在区间（20，200]上取得最大值．
综上所述，当x=100时，f（x）在区间[0，200]上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
答：（Ⅰ）函数v（x）的表达式
（Ⅱ）当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时．
19．（16分）（2017春•高港区校级月考）在△ABC中，||=2．||=1，点D 是BC的中点．
（1）求证：=（+）；
（2）直线l过点D且垂直于BC，E为l上任意一点，求证：•（+）为常数，并求出该常数；
（3）如图2，若cosA=，F为线段AD上的任意一点，求•（+）的范围．【解答】（1）证明：延长AD到A1使得AD=DA1，连接CA1，A1B，
∵D是BC的中点，
∴四边形ACA1B是平行四边形，
∴=+，
∵=，
则=（+）；
（2）证明：∵=+，
∴•（﹣）=（+）•（﹣）
=•+•，
∵DE⊥BC，∴•=0，
∵•=（+）•（﹣）
=（2﹣2）=×（4﹣1）=，
∴•（﹣）=；
（3）解：△ABC中，||=2，||=1，cosA=，=（+），
∴||===，
同理+=2，
∴•（+）=•2=2||•||，
设||=x，则||=﹣x（0≤x≤），
∴•（+）=2x（﹣x）≤2（）2=1，
当且仅当x=时取等号，
∴•（+）∈（0，1]．
20．（16分）（2016秋•徐州期末）已知函数f（x）=x2+4x+a﹣5，g（x）=m•4x﹣1﹣2m+7．
（1）若函数f（x）在区间[﹣1，1]上存在零点，求实数a的取值范围；
（2）当a=0时，若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数m的取值范围；
（3）若y=f（x）（x∈[t，2]）的置于为区间D，是否存在常数t，使区间D的长度为6﹣4t？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
（注：区间[p，q]的长度q﹣p）
【解答】解：（1）由题意得：f（x）的对称轴是x=﹣2，
故f（x）在区间[﹣1，1]递增，
∵函数在区间[﹣1，1]存在零点，
故有，即，解得：0≤a≤8，
故所求实数a的范围是[0，8]；
（2）若对任意的x1∈[1，2]，总存在x2∈[1，2]，使f（x1）=g（x2）成立，
只需函数y=f（x）的值域是函数y=g（x）的值域的子集，
a=0时，f（x）=x2+4x﹣5，x∈[1，2]的值域是[0，7]，
下面求g（x），x∈[1，2]的值域，
令t=4x﹣1，则t∈[1，4]，y=mt﹣2m+7，
①m=0时，g（x）=7是常数，不合题意，舍去；
②m＞0时，g（x）的值域是[7﹣m，2m+7]，
要使[0，7]⊆[7﹣m，2m+7]，
只需，解得：m≥7；
③m＜0时，g（x）的值域是[2m+7，7﹣m]，
要使[0，7]⊆[2m+7，7﹣m]，
只需，解得：m≤﹣，
综上，m的范围是（﹣∞，﹣]∪[7，+∞）；
（3）由题意得，解得：t＜，
①t≤﹣6时，在区间[t，2]上，f（t）最大，f（﹣2）最小，
∴f（t）﹣f（﹣2）=t2+4t+4=6﹣4t，
即t2+8t﹣2=0，解得：t=﹣4﹣3或t=﹣4+3（舍去）；
②﹣6＜t≤﹣2时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（﹣2）最小，∴f（2）﹣f（﹣2）=16=6﹣4t，解得：t=﹣；
③﹣2＜t＜时，在区间[t，2]上，f（2）最大，f（t）最小，
∴f（2）﹣f（t）=﹣t2﹣4t+12=6﹣4t，
即t2=6，解得：t=或t=﹣，
故此时不存在常数t满足题意，
综上，存在常数t满足题意，
t=﹣4﹣3或t=﹣．
参与本试卷答题和审题的老师有：minqi5；733008；沂蒙松；caoqz；wfy814；sxs123；豫汝王世崇；whgcn；涨停；吕静；双曲线；chenzhenji；ywg2058；刘老师（排名不分先后）
菁优网
2017年4月27日。