泰勒公式在微分学中的应用

求极限lim (1+ 1
x寅0
x
)x窑 2 e-x
分析院遇到幂指函数 f(x)g(x)袁一般都要变形为 eg(x)lnf(x)处理袁
.
则有(1+
1 x
) =e x2
x2 ln(1+
1 x
)
袁即原式= lim
x寅肄
x2 ln(1+ 1 )
e
x
ex
.当 x寅+肄 时袁
All Rights Reserved.
孜
介于 x 与 x0 之间袁公式(1.1)称为 f(x)在 x=x0 点带拉格朗日余 项的泰勒公式.
说明院
淤这种泰勒公式实质是对拉格朗日微分中值定理的推
广.
于用公式(1.1)逼近函数 f(x)时袁可以估计大致的误差范
围袁其误差是由 f(x)的 n+1 阶导数决定的.若区间[a,b]越小袁
则误差就会越小.这种泰勒公式适合处理函数 f(x)在区间上
阶导数袁那么袁对于 x沂(a,b)袁有
. All Rights Reserved.
f(x)=f(x0)+f忆(x0)(x-x0)+噎+ f(nn)(!x0)(x-x0)n+R n(x)
(1.1)
其中
R
n(x)
f(n+1)(孜) (n+1)!
(x-x0)n+1袁 称 为 拉 格 朗 日 余 项 袁 此 时
若直接用洛必达法则求极限我们会有多次求导过程袁 计算
十分复杂袁稍不注意就会出错.这道题最好的处理方式就是
用泰勒公式展开袁首先要把分母展开袁这样才能确定分子展
开到几阶.
解 在 x0=0 处袁由佩亚诺余项的泰勒公式展开得
收稿日期院2019- 10- 29 基金项目院辽宁省教育科学野十三五冶规划 2018 年度课题立项野基于创新型人才培养视域下通识教育实践课堂建设的研究与 探索冶(JG 18D B 021)曰2018 年度大连财经学院校级专项课题野充分体现数学发展规律与本质袁切实促进民办院校大学数学教学 的改革与实践冶渊2018dlcjjg08冤
说明院
淤此公式对函数 f(x)的展开要求较低袁只要求在 x=x0 点 处 n 阶可导即可袁展开的形式也比较简单.
于公式(1.2)可以把此函数局部地用线性函数代替改为
用多项式代替袁 当 x=x0 时用多项式代替这个函数所产生的 误差 是一个无穷小量袁但是此余项难以说明误差范围袁因
此不适合做定量估计袁只能是一个定性估计袁这种泰勒公式
- 10 -
数学及应用
因为 ex2=1+x2+o(x2)袁 姨3 1-x2
=1-
1 3
x2+o(x2)袁则
ex2 - 姨3 1-x2
=
4 3
x2+o(x2)
分子变形做等价无穷下代换
ln(sin2x+cosx)=ln(1+xsin2x+cosx-1)~xsin2x+cosx-1
又因为
xsin2x=x(2x+o(x))=2x2+o(x2)袁cosx=1-
1 2
x2+o(x2)
所以
xsin2x+cosx-1=
3 2
x2+o(x2)
综上所述袁有
lim ln(xsin2x+cosx)=lim xsin2x+cosx-1
x寅0 ex2 - 姨3 1-x2
x寅0 ex2 - 姨3 1-x2
=lim
x寅0
3 2
x2+o(x2) =
9
4 x2+o(x2) 8
3
例2
)2+o(x12
)袁所以
lim (1+ 1
x寅肄
x
)x2窑e-x=lim x寅肄
e =lim e x2ln(1+ 1 ) x
x2 ln(1+ 1 )-x x
ex
x寅肄
=e =e =e lim [x2 (1 - 1 +o(1 ))-x]
x寅肄
x 2x2
x2
第 36 卷第 1 期 2020 年 1 月
赤峰学院学报渊自然科学版冤 Journalof C hifeng U niversity (N aturalScience E dition)
V ol.36 N o.1 Jan. 2020
泰勒公式在微分学中的应用
杨磊
渊大连财经学院 基础部袁 辽宁 大连 116000冤
摘 要院本文通过对泰勒公式的介绍袁给出泰勒公式在微分学相关计算与证明实例中的应用方法袁借助泰勒公式解决问 题更高效便捷.
关键词院泰勒公式曰极限曰微分中值曰近似估计 中图分类号院O 172 文献标识码院A 文章编号院1673-260X 渊2020冤01-0010-03
在数学学习的过程中袁 我们可以发现很多函数都能用
适合用于求未定式的极限.
1.3 泰勒公式的推广要 要 要麦克劳林展开
函数的麦克劳林展开指泰勒公式中取 x0=0 的特殊情 况.此时公式(1.1)中的 孜 介于 0 与 x 之间袁因此记 孜=兹x(0<兹<
1)袁则有
f(x)=f(0)=f忆(0)x+
f2"(!0)+噎+
f(n)(0)xn+R n!
n(x)
的问题袁特别是在不等式的证明中应用比较方便.
1.2 带佩亚诺余项的泰勒公式
若函数 f(x)在点 x0 处存在直至 n 阶导数袁则有 f(x)=f(x0)+f忆(x0)(x-x0)+噎+ f(nn)(!x0)(x-x0)n+R n(x)
(1.2)
其中 R n(x)=o((x-x0)n)袁称为佩亚诺余项袁公式(1.2)称函数 f(x)在 x=x0 点带佩亚诺余项的泰
x2 ln(1+ 1 )
e x 寅+肄袁ex寅+肄曰当 x寅-肄 时袁e x 寅0袁ex寅0,若直
接用洛必达法则求此极限袁其中分子求导计算复杂袁所以不
提倡袁若选择用泰勒公式展开进行处理袁先将
ln(1+
1 x
)展开袁
整理后再求极限.
解
因为
ln(1+
1 x
)=
1 x
-
1 2
(1x
(1.3)
其中
R
n(x)=
f(n+1)(兹x) (n+1)!
xn+1(0<
兹
<1)袁称
公式(1.3)为麦
克
劳林
展开式.
2 泰勒公式的应用
2.1 泰勒公式在求函数极限中的应用
例 1 求极限lim ln(xsin2x+cosx) x寅0 ex2 - 姨3 1-x2
分析院当
x寅0袁此极限是
0 0
型未定式袁满足洛必达法则.
泰勒公式表示袁其误差又能满足要求袁特别是求函数的近似
值尧未定式的极限尧微分中值问题的证明和判断级数的收敛
性袁泰勒公式都有着重要作用.下面用微分学中相关计算与
证明的实例来说明泰勒公式应用的广泛性与便捷性.
1 泰勒公式介绍
1.1 带拉格朗日余项的泰勒公式
若函数 f(x)在含 x0 的某个开区间(a,b)内具有直到 n+1