最新中考数学总复习第七章尺规作图及图形变换 数学思维 分类讨论思想
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x
于 A,B 两点(xA>xB),动点 P 在 x 轴上移动,过点 P 作 y 轴的平行线, 交直线 y＝2x 于点 M,交函数 y＝2的图象于点 N,若 PM>PN,点 P
x
的坐标为(a,0),则实数 a 的取值范围是 a>1或a＜－1 .
点拨:易得A(1,2),B(－1,－2),当点P位于点A的右侧或点B的左
x
(2)把 y＝0 代入 y＝－x+3 得 x＝3,∴B(3,0).
∵C(4,－1),∴BC＝ (4－3)2 + 12＝ 2. 当 BC＝BD 时,D(3－ 2,0)或 D(3+ 2,0);
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数学
当 BC＝DC 时,如图,过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H, ∵CH⊥BD,∴BH＝HD＝4－3＝1, ∴OD＝OH+HD＝4+1＝5,∴D(5,0). 综上所述,点 D 的坐标为(3+ 2,0)或(3- 2,0)或(5,0).
a＝ 3
4 b＝－
15 4
,
∴抛物线的解析式为 y＝ 3 x2- 15x+3.
44
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数学
(2)如图.
∵A(1,0),B(4,0),C(0,3),
∴OB＝4,AB＝3,BC＝5,
直线 BC:y＝－3 x+3,
4
由二次函数,可得对称轴为直线 x＝ 5 , 2
∴P 5 , 9 ,∴由勾股定理,可得 BP＝ 15.
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数学
点拨:相似的分类讨论重点也是对应关系,但是一般我们都要 先确定两点:①相似的三角形形状是否有特点(如是否是等腰 三角形、是否是直角三角形、是否有135°);②每类讨论分 支中可能会多解,也可能无解.
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数学
解:(1)把 A(1,0),B(4,0)代入 y＝ax2+bx+3,得
a+b+3＝0 ,解得 16a+4b+3＝0
侧时,PM>PN,进而求得实数a的取值范围.
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数学
5.(无图题)若关于x的函数y＝(a+2)x2－(2a－1)x+a－2的图象
与坐标轴有2个交点,则a的值为
－2 或 2 或17
4
.
点拨:可分三种情况:①函数为一次函数时,图象与坐标轴有2 个交点;②函数为二次函数时,图象与x轴有1个交点,与y轴有1 个交点;③函数为二次函数时,图象与x轴有2个交点,图象经过 原点.
并Байду номын сангаас反比例函数的解析式;
(2)直线y＝－x+3与x轴相交于点B,在x轴上存在点D,使得
△BCD是以BC为腰的等腰三角形,求点D的坐标.
点拨:等腰三角形存在性问题一般采用“两圆一中垂线”确定
满足的点有多少个.
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数学
解:(1)把 A(－1,4)代入 y＝k ,得 k＝xy＝-4,
x
∴反比例函数的解析式为 y＝- 4.
100°,20°或90°,30°. 点拨:条件所给的三角形三角中,哪两个角是3倍关系,谁是谁 的3倍,都是需要讨论的对象.
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数学
【作图时分类讨论】
8.(无图题)已知四边形 ABCD 是矩形,点 E 是矩形 ABCD 的边上
的点,且 EA＝EC.若 AB＝6,AC＝2 10,则 DE 的长是
8 或 2 34 33
28
8
答案图
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数学
15
①当△BPQ∽△BCA 时,有BQ ＝ BP ,∴ BQ ＝ 8 ,解得 BQ＝ 9,
BA BC
3
5
8
∴OQ＝OB－BQ＝4－9 ＝ 23 ,∴Q 23 ,0 .
88
8
15
②当△BQP∽△BCA 时,有BQ ＝ BP ,∴ BQ ＝ 8 ,解得 BQ＝ 25 ,
BC BA
5
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数学
6.(无图题)已知抛物线y＝x2+2x－3与x轴交于A,B两点(点A在
点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的 抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).若B,C是线段 AD的三等分点,则m的值为 2或8 .
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数学
点拨:易求点A(－3,0),B(1,0),若平移中C在AB之间且B,C是线 段AD的三等分点,则AC＝CB,此时C(－1,0),m＝2;若平移中C
2.已知一个三角形的三边的长都是方程x2－8x+12＝0的根,则
此三角形的周长为 6或14或18 . 点拨:一元二次方程的解有2个,但是三角形有三边,对应关系 不止一种.
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数学
【函数问题分类讨论】
3.如图是函数y＝|x2－2x－3|的大致图象,若方程|x2－2x－3|＝
m(m为实数)有2个不相等的实数根,则m的取值范围是 m＝0或m>4 .
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数学
点拨:从图象可以看出当y＝0时,y＝|x2－2x－3|的x值对应2个
不相等的实数根;从图象也可以看出y值取其抛物线顶点处的 纵坐标值时,对应的x值有3个,当y值比抛物线顶点处的纵坐标 值大时,对于整个函数图象上对应的x值有2个不相等的实数 根.
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数学
4.(无图题)在平面直角坐标系中,直线 y＝2x 与函数 y＝2的图象交
第二部分 空间与图形
第七章 尺规作图及图形变换
数学思维 分类讨论思想
数学
类型一:代数中的分类讨论思想 【绝对值的处理时分类讨论】
1.若 (2－x)2＝3,则 x＝ －1或5 .
点拨:二次根式的此类化简,要注意中间步骤,即 (2－x)2＝|2－x|,
再对绝对值进行分类讨论.
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数学
【方程问题分类讨论】
在B点右侧且B,C是线段AD的三等分点,则AB＝BC,此时 C(5,0),m＝8.
返回
数学
类型二:几何中的分类讨论思想 【问题的描述不清时分类讨论】 7.三角形中,如果有一个内角是另外一个内角的3倍,我们把这 个三角形叫做“三倍角三角形”.在一个“三倍角三角形”中有 一个内角为60°,则另外两个角的度数分别为
3
8
∴OQ＝OB-BQ＝4- 25 ＝ 7 ,∴Q 7 ,0 .
88
8
综上所述,点 Q 的坐标为 23 ,0 或 7 ,0 .
8
8
返回
.
点拨:在矩形边上满足EA＝EC的点E不止一处,作图的方法是 利用EA＝EC正确选择需要作的图.
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数学
【等腰三角形存在性问题的分类讨论】 9.如图,直线 y＝－x+3 与双曲线 y＝k(k＜0)的图象相交于点 A 和
x
点 C,点 A 的坐标为(－1, a),点 C 的坐标为(b,－1).
(1)填空:a的值为 4 ,b的值为 4 ,
答案图
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数学
【圆问题的分类讨论】 10.如图,PA,PB是☉O的切线,切点为A,B,∠P＝58°,C是☉O上 异于A,B的点,则∠ACB的度数为 61°或119.°
点拨:圆的分类讨论问题有很多,主要是圆既具有对称性,又具 有描述的不定性,常见如:点与圆的位置关系不确定、弦与弦 位置的不确定性、对应圆周角的不确定性、圆切线的多解等.
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数学
【全等三角形的分类讨论】 11.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12 cm,BC＝6 cm, PQ＝AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,则当 AP＝ 6 cm或12 cm 时,△ABC和△APQ全等.
点拨:全等的分类讨论重点是对应关系.
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数学
【相似三角形的分类讨论】 12.(无图题)抛物线y＝ax2－bx－3经过A(1,0),B(4,0)两点,与y 轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式; (2)若直线BC与该抛物线的对称轴交于点P,且点Q是线段OB 上一动点,当△BPQ与△BAC相似时,求点Q的坐标.
于 A,B 两点(xA>xB),动点 P 在 x 轴上移动,过点 P 作 y 轴的平行线, 交直线 y＝2x 于点 M,交函数 y＝2的图象于点 N,若 PM>PN,点 P
x
的坐标为(a,0),则实数 a 的取值范围是 a>1或a＜－1 .
点拨:易得A(1,2),B(－1,－2),当点P位于点A的右侧或点B的左
x
(2)把 y＝0 代入 y＝－x+3 得 x＝3,∴B(3,0).
∵C(4,－1),∴BC＝ (4－3)2 + 12＝ 2. 当 BC＝BD 时,D(3－ 2,0)或 D(3+ 2,0);
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当 BC＝DC 时,如图,过点 C 作 CH⊥x 轴于点 H, ∵CH⊥BD,∴BH＝HD＝4－3＝1, ∴OD＝OH+HD＝4+1＝5,∴D(5,0). 综上所述,点 D 的坐标为(3+ 2,0)或(3- 2,0)或(5,0).
a＝ 3
4 b＝－
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,
∴抛物线的解析式为 y＝ 3 x2- 15x+3.
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(2)如图.
∵A(1,0),B(4,0),C(0,3),
∴OB＝4,AB＝3,BC＝5,
直线 BC:y＝－3 x+3,
4
由二次函数,可得对称轴为直线 x＝ 5 , 2
∴P 5 , 9 ,∴由勾股定理,可得 BP＝ 15.
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点拨:相似的分类讨论重点也是对应关系,但是一般我们都要 先确定两点:①相似的三角形形状是否有特点(如是否是等腰 三角形、是否是直角三角形、是否有135°);②每类讨论分 支中可能会多解,也可能无解.
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解:(1)把 A(1,0),B(4,0)代入 y＝ax2+bx+3,得
a+b+3＝0 ,解得 16a+4b+3＝0
侧时,PM>PN,进而求得实数a的取值范围.
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5.(无图题)若关于x的函数y＝(a+2)x2－(2a－1)x+a－2的图象
与坐标轴有2个交点,则a的值为
－2 或 2 或17
4
.
点拨:可分三种情况:①函数为一次函数时,图象与坐标轴有2 个交点;②函数为二次函数时,图象与x轴有1个交点,与y轴有1 个交点;③函数为二次函数时,图象与x轴有2个交点,图象经过 原点.
并Байду номын сангаас反比例函数的解析式;
(2)直线y＝－x+3与x轴相交于点B,在x轴上存在点D,使得
△BCD是以BC为腰的等腰三角形,求点D的坐标.
点拨:等腰三角形存在性问题一般采用“两圆一中垂线”确定
满足的点有多少个.
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解:(1)把 A(－1,4)代入 y＝k ,得 k＝xy＝-4,
x
∴反比例函数的解析式为 y＝- 4.
100°,20°或90°,30°. 点拨:条件所给的三角形三角中,哪两个角是3倍关系,谁是谁 的3倍,都是需要讨论的对象.
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【作图时分类讨论】
8.(无图题)已知四边形 ABCD 是矩形,点 E 是矩形 ABCD 的边上
的点,且 EA＝EC.若 AB＝6,AC＝2 10,则 DE 的长是
8 或 2 34 33
28
8
答案图
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15
①当△BPQ∽△BCA 时,有BQ ＝ BP ,∴ BQ ＝ 8 ,解得 BQ＝ 9,
BA BC
3
5
8
∴OQ＝OB－BQ＝4－9 ＝ 23 ,∴Q 23 ,0 .
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15
②当△BQP∽△BCA 时,有BQ ＝ BP ,∴ BQ ＝ 8 ,解得 BQ＝ 25 ,
BC BA
5
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6.(无图题)已知抛物线y＝x2+2x－3与x轴交于A,B两点(点A在
点B的左侧),将这条抛物线向右平移m(m>0)个单位,平移后的 抛物线与x轴交于C,D两点(点C在点D的左侧).若B,C是线段 AD的三等分点,则m的值为 2或8 .
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点拨:易求点A(－3,0),B(1,0),若平移中C在AB之间且B,C是线 段AD的三等分点,则AC＝CB,此时C(－1,0),m＝2;若平移中C
2.已知一个三角形的三边的长都是方程x2－8x+12＝0的根,则
此三角形的周长为 6或14或18 . 点拨:一元二次方程的解有2个,但是三角形有三边,对应关系 不止一种.
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【函数问题分类讨论】
3.如图是函数y＝|x2－2x－3|的大致图象,若方程|x2－2x－3|＝
m(m为实数)有2个不相等的实数根,则m的取值范围是 m＝0或m>4 .
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点拨:从图象可以看出当y＝0时,y＝|x2－2x－3|的x值对应2个
不相等的实数根;从图象也可以看出y值取其抛物线顶点处的 纵坐标值时,对应的x值有3个,当y值比抛物线顶点处的纵坐标 值大时,对于整个函数图象上对应的x值有2个不相等的实数 根.
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4.(无图题)在平面直角坐标系中,直线 y＝2x 与函数 y＝2的图象交
第二部分 空间与图形
第七章 尺规作图及图形变换
数学思维 分类讨论思想
数学
类型一:代数中的分类讨论思想 【绝对值的处理时分类讨论】
1.若 (2－x)2＝3,则 x＝ －1或5 .
点拨:二次根式的此类化简,要注意中间步骤,即 (2－x)2＝|2－x|,
再对绝对值进行分类讨论.
返回
数学
【方程问题分类讨论】
在B点右侧且B,C是线段AD的三等分点,则AB＝BC,此时 C(5,0),m＝8.
返回
数学
类型二:几何中的分类讨论思想 【问题的描述不清时分类讨论】 7.三角形中,如果有一个内角是另外一个内角的3倍,我们把这 个三角形叫做“三倍角三角形”.在一个“三倍角三角形”中有 一个内角为60°,则另外两个角的度数分别为
3
8
∴OQ＝OB-BQ＝4- 25 ＝ 7 ,∴Q 7 ,0 .
88
8
综上所述,点 Q 的坐标为 23 ,0 或 7 ,0 .
8
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点拨:在矩形边上满足EA＝EC的点E不止一处,作图的方法是 利用EA＝EC正确选择需要作的图.
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数学
【等腰三角形存在性问题的分类讨论】 9.如图,直线 y＝－x+3 与双曲线 y＝k(k＜0)的图象相交于点 A 和
x
点 C,点 A 的坐标为(－1, a),点 C 的坐标为(b,－1).
(1)填空:a的值为 4 ,b的值为 4 ,
答案图
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【圆问题的分类讨论】 10.如图,PA,PB是☉O的切线,切点为A,B,∠P＝58°,C是☉O上 异于A,B的点,则∠ACB的度数为 61°或119.°
点拨:圆的分类讨论问题有很多,主要是圆既具有对称性,又具 有描述的不定性,常见如:点与圆的位置关系不确定、弦与弦 位置的不确定性、对应圆周角的不确定性、圆切线的多解等.
返回
数学
【全等三角形的分类讨论】 11.如图,在Rt△ABC中,∠C＝90°,AC＝12 cm,BC＝6 cm, PQ＝AB,P,Q两点分别在线段AC和AC的垂线AX上移动,则当 AP＝ 6 cm或12 cm 时,△ABC和△APQ全等.
点拨:全等的分类讨论重点是对应关系.
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数学
【相似三角形的分类讨论】 12.(无图题)抛物线y＝ax2－bx－3经过A(1,0),B(4,0)两点,与y 轴交于点C. (1)求该抛物线的解析式; (2)若直线BC与该抛物线的对称轴交于点P,且点Q是线段OB 上一动点,当△BPQ与△BAC相似时,求点Q的坐标.