高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程4.1.1圆的标准方程优化练习新人教A版必修82

4.1.1 圆的标准方程
[课时作业]
[A 组 基础巩固]
1．点P (m,5)与圆x 2＋y 2＝24的位置关系是( )
A ．在圆外
B ．在圆内
C ．在圆上
D ．不确定 解析：∵m 2＋25＞24，∴P (m,5)在圆x 2＋y 2＝24的外部．
答案：A
2．圆的一条直径的两个端点是(2,0)、(2，－2)，则此圆的方程是( )
A ．(x －2)2＋(y －1)2＝1
B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1
C ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝9
D ．(x ＋2)2＋(y ＋1)2＝1 解析：∵所求圆的圆心为(2，－1)，
半径r ＝－2＋
＋22
＝1， ∴圆的方程为(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
答案：B
3．圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心到直线y ＝33
x 的距离是( ) A.12 B.32
C ．1 D. 3 解析：d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪331＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫332＝12. 答案：A
4．过点C (－1,1)和点D (1,3)，且圆心在x 轴上的圆的方程是( )
A ．x 2＋(y －2)2＝10
B ．x 2＋(y ＋2)2＝10
C ．(x ＋2)2＋y 2＝10
D ．(x －2)2＋y 2＝10 解析：设圆的方程为(x －a )2＋y 2＝r 2，由题意得
a ＋2＋12＝a －2＋32，解得a ＝2，所以r ＝
＋2＋12＝10.故所求圆的方程为(x －2)2＋y 2＝10.
答案：D 5．圆心在y 轴上，半径是5，且过点(3,4)的圆的标准方程是( )
A ．x 2＋y 2
＝25
B ．x 2＋(y ＋8)2＝25
C ．x 2＋y 2＝25或x 2＋(y －8)2＝25
D ．x 2＋y 2＝25或x 2＋(y ＋8)2＝25
解析：设圆心的坐标为C (0，b )，所以由圆过点A (3,4)，得－2＋b －2＝5，解得b ＝0或b ＝8，因此圆的方程为x 2＋y 2＝25或x 2＋(y －8)2＝25.
答案：C
6．圆心为直线x －y ＋2＝0与直线2x ＋y －8＝0的交点，且过原点的圆的标准方程是______________．
解析：由⎩⎪⎨⎪⎧
x －y ＋2＝0，2x ＋y －8＝0，可得x ＝2，y ＝4， 即圆心为(2,4)，从而r ＝－2＋－2＝25， 故圆的标准方程为(x －2)2
＋(y －4)2＝20. 答案：(x －2)2＋(y －4)2
＝20 7．若圆C 与圆M ：(x ＋2)2＋(y －1)2＝1关于原点对称，则圆C 的标准方程是_______．
解析：圆(x ＋2)2＋(y －1)2＝1的圆心为M (－2,1)，半径r ＝1，则点M 关于原点的对称点为C (2，－1)，圆C 的半径也为1，则圆C 的标准方程是(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.
答案：(x －2)2＋(y ＋1)2
＝1
8．如果实数x ，y 满足等式(x －2)2＋y 2＝3，那么x 2＋y 2的最大值是________． 解析：∵x 2＋y 2表示圆(x －2)2＋y 2＝3上的点到原点的距离，
∴ x 2＋y 2的最大值为：2＋3，
∴x 2＋y 2的最大值为：7＋4 3.
答案：7＋4 3
9.如图，已知两点P 1(4,9)和P 2(6,3)．
(1)求以P
1P 2为直径的圆的方程；
(2)试判断点M (6,9)、N (3,3)、Q (5,3)是在圆上，在圆内，还是在圆外？
解析：(1)设圆心C (a ，b )，半径r ，则由C 为P 1P 2的中点得a ＝4＋62
＝5，b ＝9＋32
＝6. 又由两点间的距离公式得 r ＝|CP 1|＝ －2＋－2＝10， ∴所求圆的方程为(x －5)2＋(y －6)2＝10.
(2)由(1)知，圆心C (5,6)，则分别计算点到圆心的距离：
|CM |＝ －2＋－2＝10；
|CN |＝ －2＋－2＝13 ＞10； |CQ |＝ －2＋－2
＝3＜10. 因此，点M 在圆上，点N 在圆外，点Q 在圆内．
10．已知某圆圆心在x 轴上，半径长为5，且截y 轴所得线段长为8，求该圆的标准方程． 解析：如图所示，由题设|AC |＝r ＝5，|AB |＝8，
∴|AO |＝4.在Rt △AOC 中，
|OC |＝ |AC |2－|AO |2
＝ 52－42＝3.
设点C 坐标为(a,0)，
则|OC |＝|a |＝3，∴a ＝±3.
∴所求圆的方程为(x ＋3)2＋y 2＝25，或(x －3)2＋y 2＝25.
[B 组 能力提升]
1．圆(x －1)2＋(y －1)2＝1上的点到直线x －y ＝2的距离的最大值是( )
A ．2
B ．1＋ 2
C ．2＋22
D ．1＋2 2 解析：由题意知，已知圆的圆心是(1,1)，圆心到直线x －y ＝2的距离加上半径就是圆上的点到直线的最大距离，
即d max ＝r ＋|1－1－2|1＋1
＝1＋ 2. 答案：B
2．已知圆C 的方程为(x －1)2＋y 2
＝4，直线l 经过点 (2，3)和圆C 的圆心，则直线l 的倾斜角等于( )
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150° 解析：由圆C 方程可知，圆C 的圆心为(1,0)，又直线l 过点(2，3)，
故k l ＝3－02－1
＝ 3. 所以直线l 的倾斜角等于60°.
答案：B
3．已知A (－1,4)，B (5，－4)，则以AB 为直径的圆的标准方程是______________． 解析：|AB |＝
＋2＋－4－2＝10，则r ＝5，AB 的中点坐标为⎝ ⎛⎭
⎪⎫－1＋52，4－42，即(2,0)．
故所求圆的标准方程为(x －2)2＋y 2＝25. 答案：(x －2)2＋y 2＝25
4．已知点A (8，－6)与圆C ：x 2＋y 2＝25，P 是圆C 上任意一点，则|AP |的最小值是________． 解析：由于82＋(－6)2＝100＞25，故点A 在圆外，从而|AP |的最小值为82＋－2－5
＝10－5＝5.
答案：5
5．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＝3a ＋1，y ＝4a }，集合B ＝{(x ，y )|(x －2)2＋y 2＜25a 2}，且A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围．
解析：集合A 表示点M (3a ＋1,4a )，
集合B 表示圆N ：(x －2)2＋y 2＝25a 2的内部部分． A ∩B ≠∅表示点M (3a ＋1,4a )在圆N 内部，
∴(3a ＋1－2)2＋(4a )2＜25a 2
，
解得a ＞16
， ∴a 的取值范围是a ＞16
. 6．已知圆C 的圆心坐标为C (x 0，x 0)，且过定点P (4,2)．
(1)求圆C 的方程(用含x 0的方程表示)；
(2)当x 0为何值时，圆C 的面积最小？并求出此时圆C 的标准方程．
解析：(1)由题意，设圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝r 2(r ≠0)．
因为圆C 过定点P (4,2)，
所以(4－x 0)2＋(2－x 0)2＝r 2(r ≠0)．
所以r 2＝2x 20－12x 0＋20.
所以圆C 的方程为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20.
(2)因为(x －x 0)2＋(y －x 0)2＝2x 20－12x 0＋20＝2(x 0－3)2＋2，
所以当x 0＝3时，圆C 的半径最小，即面积最小．
此时圆C 的标准方程为(x －3)2＋(y －3)2＝2.。