山东省济宁市中国百强中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析

山东省济宁市中国百强中学2021-2022学年高三数学理模拟试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知命题：、为直线，为平面，若∥，，则∥；
命题：若＞，则＞，则下列命题为真命题的是（）
A. 或
B. 或
C. 且
D. 且
参考答案：
B
若∥，，则∥，也可能，所以命题是假命题；
若＞，当时，；当时，，所以命题也是假命题，
综上所述，或为假命题；或为真命题；且为假命题；且为假命题，故选择B。

2. 已知函数f(x)=()x－log2x，正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，且满足f（a）?f（b）?f （c）＜0，若实数d是方程f（x）=0的一个解，那么下列四个判断：①d＜a；②d＜b；③d＞c；④d＜c中一定成立的个数为（）
A．1 B．2 C．3 D．4
参考答案：
A
【考点】等差数列的通项公式．
【分析】由条件和等差数列的性质判断出a、b、c的大小关系，由题意画出的图象，通过方程的根与图象交点问题，由图象可得答案．
【解答】解：∵正实数a，b，c是公差为负数的等差数列，
∴0＜a＜b＜c，
在坐标系中画出的图象：∵f（a）?f（b）?f（c）＜0，
且实数d是方程f（x）=0的一个解，
∴由图可得，a＜d＜c一定成立，
则①d＜a不正确；②d＜b不一定；
③d＞c不正确；④d＜c正确，
∴一定成立的个数是1个，
故选A．
【点评】本题考查等差数列的性质，指数函数、对数函数的图象，以及过方程的根与图象交点问题的转化，考查转化思想、数形结合思想．
3. 设函数f′（x）=x2+3x－4，则y=f（x+1）的单调递减区间
为（）
A．（－4，1） B．（－5，
0） C．（） D．（）
参考答案：
B
4. 设函数f(x)＝x m＋ax的导函数为f′(x)＝2x＋1，则的值等于()
A. B. C. D.
参考答案：
A
5. 数列为各项都是正数的等比数列，为前项和，且，那么
（）
A．B．C．或D．或
参考答案：
A
略
6. 如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，Q分别是线段CC1，BD上的点，R是直线AD 上的点，满足PQ∥平面ABC1D1，PQ⊥RQ，且P、Q不是正方体的顶点，则|PR|的最小值是（）
A．B．C．D．
参考答案：
B
【考点】点、线、面间的距离计算．
【分析】分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系利用向量法能求出|PR|的最小值．
【解答】解：如图，分别以AB，AD，AA1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，
则B（1，0，0），D（0，1，0），B1（1，0，1），C（1，1，0），
设P（1，1，m），（0≤m≤1），=λ（0≤λ≤1），Q（x0，y0，0），
则（x0﹣1，y0，0）=λ（﹣1，1，0），∴，∴Q（1﹣λ，λ，0），
∴=（﹣λ，λ﹣1，﹣m），
连结B1C，∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，BCC1B1是正方形，AB⊥平面BCC1B1，
∴B1C⊥AB，B1C⊥BC1，
又AB∩BC1=B，∴B1C⊥平面ABC1D1，∵PQ∥平面ABC1D1，∴B1C⊥PQ，
又=（0，1，﹣1），∴=λ﹣1+m=0，∴λ=1﹣m，
∴Q（m，1﹣m，0），=（m﹣1，﹣m，﹣m），
设R（0，n，0），则=（m，1﹣m﹣n，0），
∵PQ⊥RQ，∴=m（m﹣1）﹣m（1﹣m﹣n）=0，即n=2﹣2m，
∴R（0，2﹣2m，0），=（﹣1，1﹣2m，﹣m），
||===，
∴当m=时，|PR|的最小值是．
故选：B．
7. 三棱柱的侧棱与底面垂直，且底面是边长为2的等边三角形，其正视图（如图所示）的面积为8，侧视视图的面积为__________.
A. 8
B. 4
C.
D.
参考答案：
D
8. 函数，若函数在上有3个零点，则的取值范围为( )
A. [1,8]
B.(-24,1]
C. [1,8)
D.(-24,8)参考答案：
C
略
9. 已知命题：；命题：，且的一个必要不充分条件是，则a 的取值范围是（）
A．[－3,0] B．(－∞,－3]∪[0,+∞)
C．(－3,0) D．(－∞,－3)∪(0,+∞)
参考答案：
A
x2＋2x－3>0，得x<－3或x>1，故p：－3≤x≤1；命题q：，故q：。

由q
的一个必要不充分条件是p，可知q是p的充分不必要条件，故得。

故选：A
10. 将函数的图象向左平移个单位，再向下平移1个单位，得到函数的图象，则的解析式为
A．B．
C．D．
参考答案：
B
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. （坐标系与参数方程）在极坐标中，圆的圆心到直线的距离为
.
参考答案：
12. 已知函数f（x）对于任意的x∈R，都满足f（﹣x）=f（x），且对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b
时，都有＜0．若f（m+1）＜f（2），则实数m的取值范围是．
参考答案：（﹣3，1）．
【考点】函数单调性的性质．
【分析】由题意可得函数f（x）为偶函数，在（﹣∞，0]上是减函数，故由不等式可得﹣2＜m+1＜2，由此求得m的范围．
【解答】解：由f（﹣x）=f（x），可得函数f（x）为偶函数．
再根据对任意的a，b∈（﹣∞，0]，当a≠b时，都有＜0，故函数在（﹣∞，0]上是减函数．
故由f（m+1）＜f（2），
可得﹣2＜m+1＜2，解得﹣3＜m＜1，
故答案为：（﹣3，1）．
13. 函数y=的定义域为．
参考答案：
考点：函数的定义域及其求法．
专题：函数的性质及应用．
分析：根据对数函数的性质，得到不等式组，解出即可．
解答：解：由题意得：
，
解得：x＞且x≠1，
故答案为：（，1）∪（1， +∞）．
点评：本题考查了函数的定义域问题，考查了对数函数的性质，是一道基础题．
14. 已知函数
若函数在上存在唯一的极值点．则实数的
取值范围为
．
参考答案：
， 若函数
在
上存在唯一的极值点，则方程=0在区间
上有唯一解.因为抛物线的对称轴为
，函数
在区间
单
调递减，所以
；
15.
函数的递增区间是______.
参考答案：
令
，则函数在定义域上单调递减，由得，或
，当
时，
单调递减，根据复合函数的单调性可知，此时函数
单调递增，所以函数的递增区间为。

16. 函数的图像是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式
的解集是________.
参考答案：
17. 设x ，y 满足约束条件，则平面直角坐标系对应的可行域面积为_________．
参考答案：
画出可行域如图所示，则可行域对应的面积为
，
，
，
，则
．
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
已知，函数
，
（1）若直线
与函数
相切于同一点，求实数
的值；
（2）是否存在实数，使得成立，若存在，求出实数的取值集合，不存在说明理由．
参考答案：
解（1）设切点
，
，
，
，
设
切点
，
，
………5分
（2）令，即
，令，
所以有两不等根，，不妨令，
所以在上递减，在上递增，所以成立
因为，所以
所以,且
令
，所以在上递增，在上递减
所以，又，所以代入,
所以
………12分
19. （本小题满分10分）
已知，若是单元素集，求实数的取值范围.
参考答案：
是单元素集
与有一个交点
即方程在有一个根，
解得
解得
若，方程不成立
若，则，此时方程根为或
在上有两个根，不符合题意
综上或
20. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分．
设抛物线C：的焦点为F，经过点F的直线与抛物线交于A、B两点．
(1)若，求线段中点M的轨迹方程；
(2)若直线AB的方向向量为，当焦点为时，求的面积；
(3)若M是抛物线C准线上的点，求证：直线的斜率成等差数列．
参考答案：
(1)设，，焦点，
则由题意，即……………………………………2分
所求的轨迹方程为，即…………………………4分(2)，，直线，……………………5分
由得，，
……………………………………………7分
，……………………………………………8分
……………………………………………9分
(3)显然直线的斜率都存在，分别设为．
点的坐标为．
设直线AB：，代入抛物线得，……………………11分所以，……………………………………………12分
又，，
因而，因而………14分
而，故．…………………………………16分
21. 已知椭圆的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为椭圆的左焦点，为直线上任意一点，过作的垂线交椭圆于点.
(i)证明：平分线段（其中为坐标原点）；
(ii)当最小时，求点的坐标.
参考答案：
22. （本小题满分14分）已知数列为等差数列，为其前项和，且
（）．
求，；
若，，（）是等比数列的前三项，设，求．
参考答案：
（1），；（2）.从而得到公差d，即代入到和的公式中即可得到；第二问，先利用等比中项解出k的值，而，，得到数列的第一项和公比，从而得到的通项公式，代入中，利用错位相减法求，计算过程中利用求和.
试题解析：（1）．
，又，故；
又，故，得；
等差数列的公差．.……………………3分
所以,
．.…………………………..5分
等比数列的公比为，首项为．
所以．.…………………………………….………..9分
．…………12分
．
．.………………………………………………14分
考点：等差数列等比数列的通项公式、等差数列等比数列的前n项和公式、错位相减法.。