新人教版高中数学必修第二册第二单元《复数》检测题(有答案解析)(3)

一、选择题
1．已知12,z z C ∈，121z z ==，12z z +=12z z -=（ ）
A ．0
B ．1
C
D ．2 2．当
z =
时，100501z z ++=（ ） A ．1 B ．-1
C ．i
D ．i - 3．能使得复数()32z a ai
a R =-+∈位于第三象限的是（ ） A ．212a i -+为纯虚数 B ．12ai +模长为3
C ．3ai +与32i +互为共轭复数
D ．0a >
4．下列各式的运算结果为纯虚数的是 A ．(1+i)2
B ．i 2(1-i)
C ．i(1+i)2
D ．i(1+i) 5．若复数(1a i z i i +=
-是虚数单位）为纯虚数，则实数a 的值为（ ） A ．-2 B ．-1 C ．1 D ．2
6．“1x >”是“复数2(1)()z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的（ ） A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
7．已知复数122z =-
-，则z z +=（ ）
A ．122i --
B ．122-+
C ．122i +
D ．122- 8．已知z 是纯虚数，
21z i ＋－是实数，那么z 等于 ( )． A ．2i
B ．i
C ．－i
D ．－2i 9．“复数3i i
a z -=在复平面内对应的点在第三象限”是“0a ≥”的 A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
10．已知复数1z ﹑2z 满足()120z z r r -=>，复数,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，且i j r ωω-≥对任意1i j n ≤<≤成立，则正整数n 的最大值为（ ）
A ．6
B ．8
C ．10
D ．12 11．设313i z i +=
-，则232020z z z z ++++=（ ） A ．1 B ．0 C ．1i -- D ．1i +
12．若(),a bi a b i +∈R 与()21i +互为共轭复数，则+a b 的值为（ ） A ．2 B ．2- C ．3- D ．3
二、填空题
13．设复数z 满足341z i --=，则z 的最大值是_______.
14．设为虚数单位，(12)|34|i z i -=+，则复数z 的虚部为________.
15．化简：2020201921i z i i ⎛⎫=+= ⎪ ⎪+⎝⎭________.
16．已知复数z 满足等式|1|1z i --=（i 为虚数单位），则|3|z -的最大值为________.
17．已知复数()2a i z a R i
+=∈+是纯虚数，则a 的值为__________. 18．在复平面内，复数(3)2a a z i =-+表示的点在直线y x =上，则z =_______． 19．若实数,m n 满足20212(4)(2)i mi n i ⋅+=+，且z m ni =+，则||z =_____． 20．已知i 为虚数单位，则
（1）(23i)(32i)-+-+=________________；
（2）(4i)(23i)+--+=________________；
（3）已知复数13i z b =-，22i z a =-+，其中a ，b R ∈，若复数12z z z =+，且复数z 对应的点在第三象限，则+a b 的取值范围为________________；
（4）在复平面内，复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，若复数21z z z =-，则复数z 对应的点在第________________象限．
三、解答题
21．当实数m 取什么值时，复数224(6)Z m m m i =-+--分别满足下列条件？ （1）复数Z 实数；
（2）复数Z 纯虚数；
（3）复平面内，复数Z 对应的点位于直线y x =-上.
22．已知i 为虚数单位，关于x 的方程()()2
690x i x ai a R -+++=∈有实数根b . （1）求实数a ，b 的值；
（2）若复数z 满足20z a bi z ---=，求z 为何值时，z 有最小值，并求出z 的最小值.
23．已知复数12z i =-+,1255z z i =-+（其中为虚数单位）
（1）求复数2z ；
（2）若复数()()
()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦所对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围．
24．已知复数z 使得2z i R +∈，
2z R i
∈-，其中i 是虚数单位. （1）求复数z 的共轭复数z ； （2）若复数()2
z mi +在复平面上对应的点在第四象限，求实数m 的取值范围. 25．计算下列各题： (1)55(1)(1)11i i i i +-+-+；(2)201920191111i i i i +-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭；
；(4) 23201920202320192020i i i i i +++++. 26．关于x 的方程()2236110x m x m --++=的两根的模之和为2，求实数m 的值.
【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除
一、选择题
1．B
解析：B
【分析】 利用复数加法、减法和模的运算化简已知条件，由此求得12z z -.
【详解】
设12,z a bi z c di =+=+，则()()12z z a c b d i +=+++，()()12z z a c b d i -=-+-. 依题意得：2222
1,1a b c d +=+=，
12z z +=⇒()()22
3a c b d +++=⇒()222223a b c d ac bd +++++=⇒()21ac bd +=.
所以12z z -=
=1==.
故选：B
【点睛】
本小题主要考查复数运算，属于中档题. 2．D
解析：D
【分析】
根据100501z z ++的结构特点，先由
z =，得到()2212
-==-i z i ，再代入100501z z ++求解.
因为
z = 所以()221,2
-==-i z i 所以()()()25
50250100,1=-=-=-=-=-z i i z i i ， 所100501++=-z z i ，
故选：D
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算，还考查了周期性的应用，运算求解的能力，属于基础题. 3．A
解析：A
【分析】
分析四个选项中的参数a ，判断是否能满足复数()32z a ai
a R =-+∈是第三象限的点.
【详解】 322z a ai a ai =-+=--
由题意可知，若复数在第三象限，
需满足200a a -<⎧⎨-<⎩
，解得：02a <<， A.212z a i =-+是纯虚数，则12a =
，满足条件；
B.123z ai =+==，解得：a =a =
C. 3ai +与32i +互为共轭复数,则2a =-，不满足条件；
D.0a >不能满足复数z 在第三象限，不满足条件.
故选：A
【点睛】
本题考查复数的运算和几何意义，主要考查基本概念和计算，属于基础题型.
4．A
解析：A
【分析】
利用复数的四则运算，再由纯虚数的定义，即可求解.
【详解】
由题意，对于A 中，复数2(1)2i i +=为纯虚数，所以正确；
对于B 中，复数2
(1)1i i i ⋅-=-+不是纯虚数，所以不正确；
对于C 中，复数2(1)2i i ⋅+=-不是纯虚数，所以不正确；
对于D 中，复数(1)1i i i ⋅+=-+不是纯虚数，所以不正确，故选A.
本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题．首先对于复数的四则运算，要切实掌握其四则运算技巧和常规思路． 其次要熟悉复数相关基本概念是解答此类问题的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
5．C
解析：C
【分析】 利用复数代数形式的除法运算化简复数1a i z i
+=
-,再根据实部为0且虚部不为0求解即可. 【详解】 ()()()()i 1i i 11i 1i 1i 1i 22
a a a a z +++-+===+-+-为纯虚数， 1010a a +≠⎧∴⎨-=⎩
，即1a =，故选C. 【点睛】
本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念，是基础题. 复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.
6．C
解析：C
【分析】
根据充分必要条件的定义结合复数与复平面内点的对应关系，从而得到答案．
【详解】
若复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限，则20,10x x x ⎧->⎨->⎩ 解得1x >，故“1x >”是“复数()()2
1z x x x i x R =-+-∈在复平面内对应的点在第一象限”的充要条件.
故选C.
【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查了复数的与复平面内点的对应关系，是一道基础题． 7．C
解析：C
【解析】
分析：首先根据题中所给的复数z ，可以求得其共轭复数，并且可以求出复数的模，代入
求得1322z z i +=+，从而求得结果. 详解：根据132z i =--，可得132z i =-+，且13144z =+=，所以有1313122z z i i +=-++=+，故选C. 点睛：该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的共轭复数、复数的模、以及复数的加法运算，属于基础题目.
8．D
解析：D
【分析】
根据复数的运算，化简得到
21[(2)(2)]12z b b i i +=-++-，再由复数为实数，即可求解. 【详解】 设z ＝b i (b ∈R ，且b ≠0)， 则
＝＝＝ [(2－b )＋(2＋b )i]． ∵∈R ， ∴2＋b ＝0，解得b ＝－2，
∴z ＝－2i.
故选D.
【点睛】
本题主要考查了复数的基本运算和复数的基本概念的应用，其中熟记复数的四则运算法则和复数的基本分类是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.
9．A
解析：A
【详解】
因为33ai z a i i
-=
=--，所以由题设可得00a a -<⇒>，因此0a >是0a ≥的充分不必要条件，故应选答案A ． 10．C
解析：C
【分析】
用向量,OA OB 表示12,z z ，根据题意，可得OA OB BA r -==，因为1i z r ω-=或者2i z r ω-=，根据其几何意义可得i ω的终点的轨迹，且满足条件的终点个数即为n ，数形结合，即可得答案.
【详解】
用向量,OA OB 表示12,z z ， 因为()120z z r r -=>，所以OA OB BA r -==，
又,*(1)i i n n N ω≤≤∈满足1i z r ω-=或者2i z r ω-=，
则i ω可表示以O 为起点，终点在以A 为圆心，半径为r 的圆上的向量，或终点在以B 为圆心，半径为r 的圆上的向量，则终点可能的个数即为n ， 因为i j r ωω-≥，所以在同一个圆上的两个点，形成的最小圆心角为60︒，
如图所示，则最多有10个可能的终点，即n =10.
故选：C
【点睛】
解题的关键是根据所给条件的几何意义，得到i ω的终点轨迹，根据条件，数形结合，即可得答案，考查分析理解，数形结合的能力，属中档题.
11．B
解析：B
【分析】
利用复数代数形式的乘除运算化简z ，再由等比数列的前n 项和公式及虚数单位i 的运算性质求解．
【详解】
3(3)(13)1013(13)(13)10
i i i i z i i i i +++====--+， 20202020232020(1)(1)(11)0111z z i i i z z z z
z i i
---∴+++⋯+====---． 故选：B ．
【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查虚数单位i 的运算性质，训练了等比数列前n 项和的求法，是基础题．
12．A
解析：A
【分析】
把两个复数都化为(,)a bi a b R +∈形式，然后由共轭复数定义求得,a b ，从而得结论．
【详解】 因为()2i a bi a bi b ai i i
++==-，()212i i +=，又1a bi +与()21i -互为共轭复数，所以0b =，2a =.则2a b +=.
故选：A ．
二、填空题
13．6【解析】分析：先找到复数z 对应的点的轨迹再求的最大值详解：设复数则所以复数对应的点的轨迹为（34）为圆心半径为1的圆所以的最大值是故答案为6点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题意在考查学生对这 解析：6
【解析】
分析：先找到复数z 对应的点的轨迹，再求z 的最大值.
详解：设复数(,)z x yi x y R =+∈，则22
341,(3)(4)1x yi i x y +--=∴-+-=， 所以复数对应的点的轨迹为（3,4）为圆心半径为1的圆，
所以z 1516=+=.故答案为6
点睛：（1）本题主要考查复数中的轨迹问题，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和数形结合的思想方法.(2)z a bi r ++=表示以点(a,b)为圆心r 为半径的圆,不要死记硬背，直接化成直角坐标，就一目了然. 14．2【分析】首先将题中所给的式子进行化简求得从而得到其虚部的值【详解】根据可得所以所以复数的虚部为故答案为：2【点睛】该题考查的是有关复数的问题涉及到的知识点有复数的除法运算复数的模复数的虚部属于简单 解析：2
【分析】
首先将题中所给的式子进行化简，求得12z i =+，从而得到其虚部的值.
【详解】
根据(12)|34|i z i -=+，可得(12)5i z -==， 所以2255(12)12121(2)
i z i i +===+-+-， 所以复数z 的虚部为2，
故答案为：2.
【点睛】
该题考查的是有关复数的问题，涉及到的知识点有复数的除法运算，复数的模，复数的虚部，属于简单题目.
15．【分析】利用的幂的性质化简即可得答案【详解】所以原式故答案为：
【点睛】本题考查复数的计算合理利用常见结论可使计算简便如等等 解析：1i --
【分析】
利用i 的幂的性质化简即可得答案.
【详解】
2019201633i i i i i =⋅==-， ()
1010202010102101010082222i 2i 2i i i i 11i 2i 1i ⎡⎤⎛⎫-⎛⎫====⋅==-⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭+⎢⎥⎝⎭⎣⎦
，
所以原式=1i --.
故答案为：1i --.
【点睛】 本题考查复数的计算.合理利用常见结论可使计算简便，如4i 1n =，41i i n +=，42i 1n +=-，43i i n +=-，()21i 2i +=，()21i 2i -=-，1
i i
=-等等. 16．【分析】根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离然后再利用点与圆的位置关系求解【详解】解：根据复数的几何意义得表示以为圆心1为半径的圆表示复数所对应的点到点的距离点到 解析：51+
【分析】
根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆，|3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，然后再利用点与圆的位置关系求解.
【详解】
解：根据复数的几何意义得|1|1z i --=表示以()1,1C 为圆心，1为半径的圆， |3|z -表示复数z 所对应的点P 到点()3,0Q 的距离，
点Q 到圆心C 的距离为5CQ =
所以|3|z -的最大值为51CQ r +=.
51.
【点睛】
本题主要考查复数的几何意义，还考查了数形结合的思想方法，属于基础题.
17．【分析】先利用复数的乘除法运算化简复数为再根据复数是纯虚数令实部为零虚部不为零求解【详解】因为复数又因为复数是纯虚数所以解得所以的值为故答案为：【点睛】本题主要考查复数的运算和概念还考查了运算求解的 解析：12
- 【分析】 先利用复数的乘除法运算化简复数为()()1121255z a a i =
++-，再根据复数z 是纯虚数，令实部为零，虚部不为零求解.
【详解】 因为复数()()()()()()21121222255
a i i a i z a a i i i i +-+===++-++-， 又因为复数z 是纯虚数， 所以()()11210,2055
a a +=-≠， 解得12
a =-， 所以a 的值为12-
. 故答案为：12
-
【点睛】 本题主要考查复数的运算和概念，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
18．【分析】根据复数几何意义列方程解方程得再根据共轭复数概念得结果
【详解】解：由题意可得解得∴∴故答案为：【点睛】本题考查复数几何意义以及共轭复数概念考查基本分析求解能力属基础题
解析：66i -
【分析】
根据复数几何意义列方程，解方程得9a =，再根据共轭复数概念得结果.
【详解】
解：由题意可得3a =-，解得9a =，∴66z i =+，∴66z i =-．
故答案为：66i -
【点睛】
本题考查复数几何意义以及共轭复数概念，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．【分析】先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算再利用复数
相等求出最后由复数的模的计算公式求出【详解】因为所以已知等式可变形为即解得【点睛】本题主要考查复数代数形式的四则运算法则复数相等的概念
【分析】
先通过复数代数形式的四则运算法则对等式进行运算，再利用复数相等求出,m n ，最后由复数的模的计算公式求出z ．
【详解】
因为2021i i =，所以已知等式可变形为2
(4)44i mi n ni +=+-，
即2444m i n ni -+=+-，2444m n n ⎧-=-⎨=⎩ 解得31m n =⎧⎨=⎩ ，3i z =+
z ∴=．
【点睛】
本题主要考查复数代数形式的四则运算法则，复数相等的概念以及复数的模的计算公式的应用．
20．四【分析】(1)利用复数的加法法则计算即可；(2)利用复数的减法法则计算即可；(3)由题意可得则且据此可得的取值范围(4)由题意可得结合可得据此确定其所在的象限即可【详解】（1）（2）（3）因为所以
解析：1i --62i -(,5)-∞四
【分析】
(1)利用复数的加法法则计算()()2332i i -+-+即可；
(2)利用复数的减法法则计算()()423i i +--+即可；
(3)由题意可得12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，则2b <且3a <，据此可得+a b 的取值范围.
(4)由题意可得122i z =-+，21z i =-，结合21z z z =-可得33z i =-，据此确定其所在的象限即可.
【详解】
（1）()()(23)(32)23321i i i i i -+-+=-+-+=--．
（2）()()(4)(23)42362i i i i i +--+=++-=-．
（3）因为13i z b =-，22i z a =-+，所以12(2)(3)i z z b a z =+=-+-，
又复数z 对应的点在第三象限，所以2030b a -<⎧⎨-<⎩
，所以2b <且3a <， 所以5a b +<，故+a b 的取值范围为(,5)-∞．
（4）因为复数1z 对应的点为(2,2)-，复数2z 对应的点为(1,1)-，所以122i z =-+，
21z i =-，
又复数21z z z =-，所以1i (22i)33i z =---+=-，所以复数z 对应的点为(3,3)-，在第四象限
【点睛】
本题主要考查复数的加法、减法运算，复数所在象限的判定等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
三、解答题
21．（1）2m =-或3m =；（2）2m =；（3）2m =-或52
m =
. 【分析】
（1）由虚部为0，求解m 值；
（2）由实部为0且虚部不为0，列式求解m 值；
（3）由实部与虚部的和为0，列式求解m 值．
【详解】
解：由题可知，复数224(6)Z m m m i =-+--，
（1）当Z 为实数时，则虚部为0，
由260m m --=，解得：2m =-或3m =；
（2）当Z 纯虚数时，实部为0且虚部不为0， 由224060
m m m ⎧-=⎨--≠⎩，解得：2m =； （3）当Z 对应的点位于直线y x =-上时，则0x y +=，
即：实部与虚部的和为0，
由224(6)0m m m -+--=，解得：2m =-或52m =
． 【点睛】
本题考查复数的基本概念，以及复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题．
22．（1）3a b ==；（2）min z =
【分析】
（1）方程()()2690x i x ai a R -+++=∈有实数根b ，可得()()2690b b b i a -++-=，根据复数相等列出式子解出a ，b 的值即可；
（2）设i z x y =+（x ，y R ∈），由332z i z --=，得
()()()2
222334x y x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦，化简方程，根据表达式的几何意义，方程表示一个圆，再结合图形，可得z ，再求出z ，进而求出最小值即可.
【详解】
（1）b 是方程()()26i 90x x ai a R -+++=∈的实数根， ()()2690b b a b i ∴-++-=，2690b b a b
⎧-+=∴⎨=⎩，解得3a b ==. （2）设i z x y =+（x ，y R ∈
），由332z i z --=，得()()()2222334x y
x y -+-+=+⎡⎤⎣⎦， 即()()221122x y ++-=，它表示复数z 对应的点Z 到点()1,1-的距离为22，
构成的图形是以()11,1O -为圆心，22为半径的圆，如图所示.
当点Z 在1OO 所在的直线上时，z 有最大值或最小值，12OO =，半径22r =， ∴当1z i =-时，z 有最小值，且min 2z =.
【点睛】
本题考查复数相等的概念，考查复数及其共轭复数，考查复数的模，考查复数的几何意义，考查数形结合思想，属于中档题.
23．（1）23z i =-；（2）11m -<<
【解析】
试题分析：（1）根据复数的四则运算即可求得；（2）将23Z i =-代入得
()()23123Z m m m i =--+--，由复数的概念和几何意义得()210230
m m m ⎧-->⎨--<⎩，解得11m -<<.
试题
（1）1255z z i =-+，21555532i i z i z i
-+-+===--+ （2）()()()2323231z z m m m i ⎡⎤=---+-⎣⎦()
()2231i m m m i ⎡⎤=--+-⎣⎦ ()()
2123m m m i =--+--
由于3z 所对应的点在第四象限，，所以实数m 的取值范围是
24．（1）42i +；（2）()2,2-.
【分析】
(1)根据2z i R +∈、2z R i
∈-，结合复数的加法、除法运算即可求出z ，进而由共轭复数的概念求得z ；(2) 复数()2z mi +在复平面上对应的点在第四象限，即对应复数的实部、
虚部都小于0，解不等式即可求得m 的范围
【详解】
（1）设(),z x yi x y R =+∈，则()22z i x y i +=++
∵2z i R +∈
∴2y =- 又
22242255
z x i x x i R i i -+-==+∈--， ∴4x = 综上，有42z i =- ∴42z i =+
（2）∵m 为实数，且()()()
()2224212482z mi m i m m m i +=+-=+-+-⎡⎤⎣⎦ ∴由题意得()21240820m m m ⎧+->⎪⎨-<⎪⎩
，解得22m -<< 故，实数m 的取值范围是()2,2-
【点睛】
本题考查了复数，利用复数的四则运算及共轭复数的概念求复数，另外依据复数所处的象限求参数范围
25．(1)0；(2)2i -；(3)
516
；(4)10101010i - 【分析】
根据复数的乘除运算法则及乘方运算，即可计算出(1)(2)的值；利用复数模的运算性质可求出(3)的值；利用分组求和及i 的运算性质可求出(4)的值.
【详解】 (1) 55662323
22
(1)(1)(1)(1)[(1)][(1)]11(1)(1)(1)(1)11i i i i i i i i i i i i i i +-+-+-+=+=+-+-++--- 33
33(2)(2)44022
i i i i -=+=-=. (2)因为21(1)21(1)(1)2i i i i i i i ++===--+，21(1)21(1)(1)2
i i i i i i i ---===-++-， 所以20192019201945043201920319111(22221)i i i i i i i i i i ⨯+-=--==+-⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪-+=⎝⎭=-⎝⎭.
==
5454845252516⨯====⨯. (4) 23201920202320192020i i i i i +++++
(234)(5678)(2017201820192020)i i i i i i =--++--+++--+
(22)(22)(22)+i i i =-+-+-
505(22)i =⨯- 10101010i =-.
【点睛】
本题主要考查复数的乘除运算，乘方运算，复数的模的运算性质及i 的运算性质，属于中档题.
26．56-或76
【分析】 若设方程的两个根为1x ，2x ，则由一元二次方程根与系数的关系得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩
，
由题意可得，12122x x x x =+=+=，代入可求得m 的值，然后考虑两个根不是实数时，根据复数的运算可求.
【详解】
设方程的两根为1x ，2x ，则韦达定理可得12212613103m x x m x x -⎧+=⎪⎪⎨+⎪=>⎪⎩
， ①0∆≥
，即312m -≤
或312
m +≥时，此时由120x x >，可得1x ，2x 同号， 12122x x x x ∴+=+=，解得56m =-或7m 6=；
②∆<0
m <<时，1x ，2x 为一对共轭虚根，12x x =， 由122x x +=，可得121x x ==，从而有21211x x x ⋅==
，解得m =
综上，实数m 的值为56-或76. 【点睛】
此题考查了一元二次方程的根与系数关系的简单应用，复数的运算，属于中档题.。