四川省成都市邛崃第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析

四川省成都市邛崃第一中学高三数学理下学期期末试卷含解析
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 对实数，定义运算“”：设函数。

若函数的图象与轴恰有两个公共点，则实数的取值范围
是（）
A． B．
C． D．[-2，-1]
参考答案：
B
本题考查了数形结合的解题意识，考查了函数问题中的画图、用图的能力.难度中等。

由的定义，函数为分段函数，计算解得，所以函数为，函数图象为
又因为函数与轴恰有两个公共点，
所以函数图象上移1到2个单位或下移1到2个单位，选B.
2. 已知直线与抛物线C:相交A、B两点，F为C的焦点．若
，则k= ( )
A． B． C． D．
参考答案：D
试题分析：抛物线的准线为,设,
由抛物线的定义可知, .将代入消去并整理可得.
由韦达定理可得.
解得.,,所以解得.故D正确.考点：1抛物线的定义;2直线与抛物线的位置关系问题.
3. 使得函数的定义域为实数集的一个充分不必要条件是 ( )
≤
参考答案：
C
4. 设的三个内角的对边分别为若则的最大值为
（）
A．B．C． 3 D．4
参考答案：
A
5. 已知函数的两个零点是2和3,则函数的零点是（）
A．和 B．和 C．和 D．和
参考答案：
D
略
6. 执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的n的值为（）
A. 4
B. 5
C. 6
D. 7
参考答案：
C
【分析】
根据已知中的程序框图，模拟程序的运行过程，并逐句分析各变量值的变化情况，可得答案．【详解】输入的，
第一次循环，满足
第二次循环，满足
第三次循环，满足
第四次循环，满足
第五次循环，满足
第六次循环，不满足，退出循环，输出n=6
故选C
【点睛】本题考查的知识点是程序框图的应用，在写程序的运行结果时，我们常使用模拟循环的变法，但程序的循环体中变量比较多时，要用列举法对数据进行管理，属于基础题．
7. 函数，若，则下列不等式一定成立的是（）A． B． C． D．参考答案：
B
为偶函数，．
∴时，，单调递增，
时，，单调递减．
∴若，则，
∴，．
8. 设a, b为向量, 则“”是“a//b”的
(A) 充分不必要条件(B) 必要不充分条件
(C) 充分必要条件(D) 既不充分也不必要条件
参考答案：
A
9. 已知,分别是双曲线:()的左右两个焦点,若在双曲线上存在点使
,且满足,那么双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
参考答案：
A
10. 已知函数若，则
的范围是（）
A. B. C.
[0,5) D. [0,2)
参考答案：
C
二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分
11. 若正项递增等比数列满足，则的最小值
为
．
参考答案：
12.
在△ABC中，已知，则
= ．
参考答案：
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】如图所示，，取AB 的中点D ，连接CD ，则CD⊥AB．在Rt△ACD
中，可得cosA==，再利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：如图所示，
∵，
取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB．
在Rt△ACD中，cosA==，
∴A=30°．
∴==．
故答案为：．
13. += ．
参考答案：
【考点】三角函数的化简求值．
【专题】计算题；函数思想；方程思想；三角函数的求值．
【分析】利用二倍角公式以及同角三角函数的基本关系式，滑稽剧求解即可．【解答】解：+
=+
=+
=﹣+
=﹣+
=﹣+
=﹣
=．
【点评】本题考查两角和与差的三角函数，同角三角函数的基本关系式的应用，考查计算能力．14. 过点（1，0）且与直线x﹣y+3=0平行的直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12所截得的弦长为．
参考答案：
6
【考点】J8：直线与圆相交的性质．
【分析】先求与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程，再求圆心到直线l的距离，进而可求直线l 被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长．
【解答】解：设与直线x﹣y+3=0平行的直线l的方程为x﹣y+c=0
∵直线过点（1，0）
∴c=﹣1
∴圆心到直线l的距离为=，
∴直线l被圆（x﹣6）2+（y﹣）2=12截得的弦长为2=6
故答案为6．
【点评】本题的考点是直线和圆的方程的应用，主要考查直线方程，考查直线与圆相交时的弦长得计
算，关键是求与已知直线平行的直线方程，掌握圆中的弦长的求解方法，
15. 已知等腰梯形中//，，双曲线以为焦点，且与线段(包括端点、)有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是
．
参考答案：
双曲线过点时，，开口越大，离心率越大，故答案为．16. 定义在R 上的偶函数f (x)满足f (x＋1)＝f (1－x)．若当0≤x＜1时，f (x)＝2x，则f (log26)＝_______．
参考答案：
略
17. 在三角形ABC中，已知AB=4，AC=3 ，BC=6 ，P为BC中点，则三角形ABP的周长为_______.
参考答案：
7+
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. 已知椭圆C：（b＞0），以椭圆C的短轴为直径的圆O经过椭圆C左右两个焦点，A，B是椭圆C的长轴端点．
（1）求圆O的方程和椭圆C的离心率e；
（2）设P，Q分别是椭圆C和圆O上的动点（P，Q位于y轴两侧），且直线PQ与x轴平行，直线AP，BP分别与y轴交于点M，N，试判断MQ与NQ所在的直线是否互相垂直，若是，请证明你的结论；若不是，也请说明理由．参考答案：
【考点】直线与椭圆的位置关系．
【分析】（1）由题意可得a=2，b=c，b2+c2=a2，解方程可得b，c，进而得到圆O的方程和椭圆的离心率；
（2）设P（x0，y0）（y0≠0），Q（x Q，y0），分别代入圆和椭圆方程，运用直线方程的点斜式求得AP，BP的方程，令x=0，可得M，N的坐标，求得向量MQ，NQ的坐标，由向量垂直的条件：数量积为0，化简整理，即可得到结论．
【解答】解：（1）由椭圆方程可得a=2，
又以椭圆C的短轴为直径的圆O经过椭圆C左右两个焦点，
可得b=c且b2+c2=a2，
解得a=2，b=c=，
则圆O的方程为x2+y2=2，椭圆C的离心率e==．
（2）如图所示，设P（x0，y0）（y0≠0），Q（x Q，y0），
则即，
又A（﹣2，0），B（2，0），由AP：，得．
由BP：，得．
所以=，
，
所以，
所以QM⊥QN，即MQ与NQ所在的直线互相垂直．
【点评】本题考查椭圆的方程和性质，主要是离心率的求法，考查两直线垂直的条件，转化为两向量垂直的条件：数量积为0是解题的关键，考查直线和圆方程的运用，以及化简整理的运算能力，属于中档题．
19. 已知点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P．
（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；
（Ⅱ）若点M，N是直线l1上两个不同的点，且△PMN的内切圆方程为x2+y2=1，直线PF的斜率为k，
求的取值范围．
参考答案：
【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】（Ⅰ）点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，从而点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，由此能求出曲线C的方程．（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），直线PM的方程为（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，圆心（0，0）到直线PM的距离为1，由x0
＞1，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，同理，，由此利用韦达定理、弦长公式、直线斜率，结合已知条件能求出的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）∵点F（1，0），点A是直线l1：x=﹣1上的动点，过A作直线l2，l1⊥l2，线段AF的垂直平分线与l2交于点P，
∴点P到点F（1，0）的距离等于它到直线l1的距离，
∴点P的轨迹是以点F为焦点，直线l1：x=﹣1为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为y2=4x．
（Ⅱ）设P（x0，y0），点M（﹣1，m），点N（﹣1，n），
直线PM的方程为：y﹣m=（x+1），
化简，得（y0﹣m）x﹣（x0+1）y+（y0﹣m）+m（x0+1）=0，
∵△PMN的内切圆的方程为x2+y2=1，
∴圆心（0，0）到直线PM的距离为1，即=1，
∴=，
由题意得x0＞1，∴上式化简，得（x0﹣1）m2+2y0m﹣（x0+1）=0，
同理，有，
∴m，n是关于t的方程（x0﹣1）t2+2y t﹣（x0+1）=0的两根，
∴m+n=，mn=，
∴|MN|=|m﹣n|==，
∵，|y0|=2，
∴|MN|==2，
直线PF的斜率，则k=||=，
∴==，
∵函数y=x﹣在（1，+∞）上单调递增，
∴，
∴，
∴0＜＜．
∴的取值范围是（0，）．
【点评】本题考查点的轨迹方程的求法，考查代数式的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意抛物线定义、椭圆性质、韦达定理、弦长公式、直线斜率的合理运用．
20. （本小题满分14分）已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切。

（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设椭圆的左焦点为，右焦点为，直线过点，且垂直于椭圆的长轴，动直线垂直于，垂足为点，线段的垂直平分线交于点，求点的轨迹的方程；
（Ⅲ）过椭圆的左顶点做直线，与圆相交于两点、，若是钝角三角形，求直线的斜率的取值范围。

参考答案：
（Ⅰ）由………………2分
由直线
所以椭圆的方程是…………………4分（Ⅱ）由条件，知|MF2|=|MP|。

即动点M到定点F2的距离等于它到直线的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是。

…………8分
（Ⅲ）由（1），得圆O的方程是
设
得
则……………9分
由①…………10分
因为
所以
②……12分
由A、R、S三点不共线，知。

③
由①、②、③，得直线m的斜率k的取值范围是……14分
（注：其它解法相应给分）
21. 设等差数列的公差为d，且，已知，，设数列满足，
．
（1）求数列、的通项公式；
（2）求数列的前项和．
参考答案：
解：（1）依题意有解得或（舍去），
所以，
∵，∴，
∴．
（2）由（1）知，
所以
．
22. 已知．
（I）如果函数的单调递减区间为，求函数的解析式；
（II）在(Ⅰ)的条件下,求函数y=的图像在点处的切线方程；
（III）若不等式恒成立，求实数的取值范围．参考答案：
解:(1)由题意的解集是
即的两根分别是.
将或代入方程得.
. (4)
分
(2)由(Ⅰ)知：，，
点处的切线斜率，
函数y=的图像在点处的切线方程为：
，即. …………9分
(3) ，
即：对上恒成立
可得对上恒成立
设, 则
令,得(舍)
当时,;当时,
当时,取得最大值, =-2 .
的取值范围是.。