【教案】向量的数乘运算教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册

6.2.3向量的数乘运算
一、内容和内容解析
内容：向量的数乘运算．
内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节第三课时的内容．实数与向量的乘积仍然是一个向量，即有大小又有方向，特别是与已知向量是共线向量，进而引出共线向量定理.
理解向量数乘的定义及几何意义，掌握向量数乘的运算律，培养学生的数学抽象、直观想象的核心素养.掌握向量共线定理，会判断或证明两个向量共线，培养学生的逻辑推理的核心素养.
二、目标和目标解析
目标：
（1）借助实例，掌握平面向量数乘运算及运算规则，理解其几何意义．理解两个平面向量共线的含义.
（2）了解平面向量的线性运算的运算律和运算性质．
目标解析：
（1）学生能通过具体的一类共线向量的加法，类比数的乘法引出向量数乘的运算法则，借助有向线段表示向量数乘的几何意义．学生能够理解：数乘向量的结果是与原向量共线的向量；反之，与一个非零向量共线的向量可以写成是一个实数与这个非零向量的积，并且这个实数是唯一的.
（2）学生能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量线性运算的运算律，理解向量线性运算的一些运算性质，体会其几何意义.
三、教学问题诊断分析
1．教学问题一：物理中许多有关矢量的合成、分解、力做的功等实例可以作为向量有关运算的模型，但这个从物理背景引出向量运算的过程对学生来说仍然存在困难．特别是向量既有大小，也有方向，在向量的数乘运算中，对于方向如何参与运算，学生没有直接的经验．解决方案：与物理中的矢量对比，从大小和方向两个角度分析.
2．教学问题二：向量的运算性质的探究过程是类比实数的运算性质．类比数的运算，学生能够想到向量的线性运算可能会有一些类似的运算性质，虽然名称相同，但运算的原理、方法、运算规律都有较大的区别，学生很容易带着实数运算的思维定势来理解平面向量运算，导致学生对向量的运算偏于形式化记忆，对于平面向量的线性运算概念、算理的理解不深刻．解决方案：数形结合，借助图象加强理解.
基于上述情况，本节课的教学难点定为：运用向量共线的性质和判断方法处理有关向量共线问题．
四、教学策略分析
本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．为了让学生通过观察、归纳得到向量数乘运算的法则，应该为学生创造积极探究的平台．因此，在教学过程中通过问题串的形式引导学生分析问题，解决问题，也可以让学生从被动学习状态转到主动学习状态中来．
在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的生活经验、其他学科的相关知识，创设丰富的情境.通过这些实例使学生了解向量内容的物理背景，理解向量内容.通过与数及其运算的类比，体会研究向量的基本思路．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．
教
学环节问题或任务师生活动
设计
意图
创设
情景
引入
新知
[问题1]实数运
算,x+x+x=3x,思考
→
→
→
+ +a
a
a
能否写成
→
a
3呢?
1.创设情境，生成问题
夏季的雷雨天，我们往往先看到闪电，
后听到雷声，雷闪发生于同一点而传到我们
这儿为什么有个时间差？这说明声速与光
速的大小不同，光速是声速的88万倍．
若设光速为v1，声速为v2，将向量类比
于数，则有v1＝880 000v2.对于880 000v2，
我们规定是一个向量，其方向与v2相同，其
长度为v2长度的880 000倍．这样实数与向
量的积的运算称为向量的数乘．
2.探索交流，解决问题
教师1：提出问题1．
学生1：学生思考．可以,即3
a a a a
++=.
问题引
入：
通过设
计的问
题，让
学生开
始认识
数乘运
算及其
运算
律，和
共线向
量的定
[问题2]
→
a
3与
→
a的方向有
什么关系?
→
a
3-与
→
a的方向
呢?
[问题3]按照向量加法的三
角形法则,若→
a为非零向
量,那么
→
a
3的长度与
→
a的
长度有何关系.
[问题4]实数a,b满足
3(a+b)=3a+3b,(2+3)a=2a+3a ,若把实数a,b换成向量
→a,→
b,上式是否仍成立?
教师2：提出问题2．
学生2：
→
a
3与
→
a的方向相同,
→
a
3-与
→
a的方
向相反.
教师3：提出问题3．
学生3：
→
a
3的长度是
→
a的长度的3倍,即若
|
→
a|=λ,则|
→
a
3|=3λ.
教师4：提出问题4．
学生4：成立,向量同样满足分配律、结合律.
理.
明确概念，理解定理[问题5]阅读课本，回答以下
问题：
（1）向量的数乘运算定义；
（2）它的大小和方向如何
确定？
（3）数乘的运算律有哪
些？
教师5：提出问题5．
学生5：定义：一般地，我们规定实数λ与向
量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数
乘，记作λa.
学生6：规定：①|λa|＝|λ||a|，
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ<0
时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa
＝0.
学生7：运算律：设λ，μ为实数，则
(1)λ(μa)＝λμa；
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．
特别地，我们有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－
b)＝λa－λb.
教师6：我们把向量的加、减、数乘运算统称
向量的线性运算，对于任意向量a，b，以及
任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a
＋λμ2b.
学生类
比数的
运算律
自行猜
想出向
量数乘
运算的
运算
律，并
借助向
量数乘
运算的
定义及
其几何
意义加
以验
证．帮
助学生
积累从
【练习1】已知非零向量a、b满足a＝4b，则( ) A．|a|＝|b| B．4|a|＝|b|
C．a与b的方向相同
D．a与b的方向相反
【练习2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()
A．a－2b B．a
C．a－6b D．a－8b
[问题6] a＝λb⇒a与b共线，对吗？
[问题7]若a与b共线，一定有a＝λb吗？
[问题8]若两个非零向量
→a,→
b共线,是否一定存在
实数λ使得→
b=
→
a
λ?
教师6：完成【练习】
学生8：第一题答案：C
∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b与b的方向
相同，∴a与b的方向相同．
学生9：第二题答案D
教师6：提出问题6．
学生10：对．
教师7：提出问题7．
学生11：不一定．当b＝0，a＝0时，λ有无
数个值；当b＝0，a≠0时，λ无解；只有当
b≠0时，才有a＝λb.
教师8：提出问题8．
学生12：一定存在,且是唯一的.
教师9：向量共线定理：向量a(a≠0)与b共
线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λ
a.
运算的
定义出
发，发
现数学
运算的
一些性
质的学
习经
验．
通过探
究让学
生理解
向量共
线定
理，培
养数学
抽象的
核心素
养.
典例探究
落实巩固1.向量的线性运算
例1.计算：(1)6(3a－2b)＋
9(－2a＋b)；
(2)
1
2[(3a＋2b)－
2
3a－b]－
7
6[
1
2
a＋
3
7(b＋
7
6a)]；
(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)
－2(－2a＋c)．
2.向量共线定理及其应用
例2.已知非零向量e1，e2
不共线．
(1)如果AB
→
＝e1+e2，BC
→
＝
2e1+8e2，CD
→
＝3(e1-e2)，求
证：A、B、D三点共线；
(2)欲使ke1＋e2和e1＋ke2
共线，试确定实数k的值．
教师10：完成例1．
学生13：(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.
(2)
1
2[(3a＋2b)－
2
3a－b]－
7
6[
1
2a＋
3
7(b＋
7
6a)]＝
1
2
(3a－
2
3a＋2b－b)－
7
6(
1
2a＋
1
2a＋
3
7b)
＝
1
2(
7
3a＋b)－
7
6(a＋
3
7b)＝
7
6a＋
1
2b－
7
6a－
1
2b＝0.
(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c
＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)
＝6a＋2b.
教师11：小结：向量的数乘运算可类似于代
数多项式的运算.
教师12：完成例2．
学生14：(1)证明：因为AB
→
＝e1＋e2，BD
→
＝BC
→
＋CD
→
＝2e1＋8e2＋3e1－3e2＝5(e1＋e2)＝5AB
→
.
所以AB
→
，BD
→
共线，且有公共点B，所以A、
B、D三点共线．
（2）解：因为ke1＋e2与e1＋ke2共线，所以
存在实数λ，使ke1＋e2＝λ(e1＋ke2)，
则(k－λ)e1＝(λk－1)e2，
由于e1与e2不共线，只能有
⎩⎪
⎨
⎪⎧k－λ＝0，
λk－1＝0，
所
以k＝±1.
教师13：完成例3．
学生15：因为AB
→
∥CD
→
，|AB
→
|＝2|CD
→
|，所以AB
→
例1：
巩固向
量数乘
的概念
及运用
向量数
乘的运
算律进
行计
算，理
解其中
的算
理，发
展学生
的数学
运算素
养．
例2：
让学生
熟练运
用共线
向量定
理，体
会知识
间的联
系．
例3.如图，ABCD 是一个梯
形，AB →∥CD →且|AB →|＝2|CD →|，M ，N 分别是DC ，AB 的中
点，已知 AB →＝e 1，AD →
＝e 2，
试用e 1，e 2表示向量AC →,MN →
.
[课堂练习1]
已知a 与b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－(b －
3a )共线，则λ＝________． [课堂练习2]
如图，四边形ABCD 中，已知2AD BC =.
（1）用AB ，AD 表示DC ； （2）若2AE EB =，3
4
DP DE =，用AB ，AD 表
示AP .
＝2DC →，DC →＝12AB →
.
(1)AC →＝AD →＋DC →
＝e 2＋12
e 1.
(2)MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－12DC →－AD →＋12
AB
→＝－14e 1－e 2＋12e 1＝1
4e 1－e 2.
教师18：布置课堂练习1、2．
学生16：完成课堂练习，并核对答案．
1. 答案：－1
3
由题意知存在k ∈R ，使得a ＋λb ＝k [－(b －
3a )]，所以⎩
⎪⎨⎪⎧λ＝－k ，
1＝3k ，解得
⎩⎨⎧
k ＝13
，λ＝－1
3.
2.（1）因为DC DA AB BC =++，所以11
22
DC DA AB AD AB AD =++=-；
（2）因为14
AP AE EP AE DE =+=- ()
1
4
AE AE AD
=--， 所以31321
44434AP AE AD AB AD =
+=⋅+ 11
24AB AD =+.
课堂练习1： 让学生熟练运
用共线向量定
理，体会知识间的联系．
课堂练习2： 利用三角形法
则和平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系，然后解关于所求向量的方程．
课堂小结
升华认知[问题9]通过这节课，你学
到了什么知识？
在解决问题时，用到了哪些
数学思想？
[课后练习]
1.(2a－b)－(2a＋b)等于
()
A．a－2b B．－2b
C．0D．b－a
2.如图，已知AM是△ABC
的边BC上的中线，若AB
→
＝
a，AC
→
＝b，则AM
→
等于
教师19：提出问题9．
学生17：
学生18：学生课后进行思考，并完成课后练
习．
答案：1.B 2.C 3.D 4.－2
师生共
同回顾
总结：
引领学
生感悟
数学认
知的过
程，体
会数学
核心素
养．
课后练
习：巩
固定
理，是
对本节
知识的
一个深
( )
A.1
2
(a －b ) B.－1
2(a －b )
C.1
2(a ＋b ) D.－1
2
(a ＋b )
3.如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么EF →
＝( ) A ．12AB →＋12AD →
B ．－12AB →－12AD →
C ．－12AB →＋12A
D →
D ．12AB →－12
AD →
4.已知e 1，e 2是两个不共线的向量，a ＝2e 1－e 2，b ＝k e 1＋e 2，若a 与b 是共线向量，则实数k ＝________.
化认识，同时也为下节内
容做好铺垫．。