命题藏根与解题寻根之例说

／卜题 ．
大 题 解 答 大 题 也 ， 得 首
先 找 到 题 根 ，如 从 题 根 2 A e + 蔬 一 0 出 发 ，可 迅 速 得 到砬 一
一 A 百，而 知 A 为 B C 中 点 ． 我
们 再 取 0 为 坐 标 原 点 建 ， 立 直
角坐 标 系 如 图 2 如 示． 以
OC OB 、
Y
，
一
1 的 距 离 不 大 于 1 ，求 参 数 n
和 b 满足 的条件．
命 题 人 把 “ 距 离 1 ” 当作 题 根 ， 以 下 则 是 想 方 设 法
把这个题 根藏起来 的过程 ：
第 1 步 ：把 题 根 “ 距 离 1 ” 藏 到 单 位 圆 中 ， 即 直 线 与
单 位 圆 + 。 z
题根研 究
湖北 叶 园
每 个 题 目 都 有 自 己 的 题 根 ． 命 题 时 命 ， 题 人 千 方 百 计 地 把 这 个 题 根 藏 起 来 ；解 题 时 刚 好 相 反 ， 解 题 人 则是要 千方百 计地 把这 4- 题 根 寻找到．
2 0 0 8 年 全 国 I 卷 第 1 0 题 设 计 ：原 点 到 直 线 ÷ +
段 B C 的 中点 开 始— — 题 根 ． 第 1 步 ：把 题 根 藏 到 向 量 中 ， 即 2 前 + 魂 一 0 ； 第 2 步 ；把 向 量 髓 的 位 置 一 般 化 ， 从 而 引 出 了 任
意点 0 ．
将 问 题 一 般 化 后 既 ， 可 以 设 计 大 题 也 ， 可 设 计
y 。一
1 有公共点．
第 2 步 ：把 单 位 圆 z 。 +
。
了
一
1 藏 起 来 藏 ， 到 同 角
三 角 函 数 的 平 方 关 系 式 中 ，即 ：
+ 1 C
O
S
。 a
is
n
。 口
一
．
于 是 一 道试 题 就设 计 出来 了 ：
．
踽
詈 詈 1 ( 2 。。8 年 全 国 I ) 若 直 线 +
为邻边作平行 四边形
K
． 、
J L／
P
， —
，
、 、
杪 ，
’
，
／
0
COB P
接 ， 连
AP ．
所 以 砣 一 茚 所 ， 以 A 是
图。
平行 四边 形 COB P
的 中 心 ，所 以 o 万一
A户 ．
魂 茚 P 在 矢 量 三 角 形 O P B 中 ，
+
一
-
-
o
~-
=>o
+
蔬 砣 魂 砣 一 2
萌一O ．
此 时 答 ， 案 为
A
更加一
，
目了 然 ，根 本 无 需 动 笔 !
( 作 者 单 位 ：华 中 师 范 大 学 )
人 生 最终 的 价 值在 于 觉醒 和 思 考 的 能 力 ， 而 不 只 在 于 生 存． — — 亚 里 士 多德
7
。
鲰舭 市
辛
萌 一 2
～
．
小 题 当题 目设 计 成 “ 只 要 结 果 、 不 讲 道 理 ” 的 小
题 时 ，则 应 将 题 根 尽 量 简单 化 和 特 殊 化 ． 如 例 2 ，我 们
可 以 将其 简单 特 殊 到 这 种 地 步 ： 将 0 点 重 合 于 A 点 ! 此 时 有 院 一 魂 1 ， 一 一 1 ，
i c O S a ， s n
a)
+ 1 。
c OS a
i。
s n a一
，
以点 M
在 圆 + z z
yz 一
1 上 ． 设 圆心 到 直 线
÷+ ≠一 1 的 距 离 为 IO P l — d ≤ 1 ，那 么 心
口
D
。
孛 方 算 可 得 +
≥ 1 ，故 选 D
洋 洋 数 百 字 的 数 学 试 题 ，而 能 够 收 藏 题 根 的 往 往 是一 句话或一 个 式 子． 解 题 的首 要 任务 ，就 是 把 这 个 “ 话 根 ”或 “ 式 根 ” 找 到 ． 这 种 “ 寻 根 ” 过 程 ，实 际 也 是 问 题 的化 简过 程 ．
第 】 步 ：把 点 0 置 于 原 点 ， 因 为 问 题 的 结 论 与 点
0 的具 体位置 无 关 ；
第 2 步 ： 将 直 线 A B 置 于 22 7 轴 ， 因 为 问 题 的 结 论
与直线 A B 的具 体位 置 无 关 ： 于 是 条 ， 件 2 赢 + 魂 一 0 就 成 了 题 根 ， 从 题 根 上
0 磊》 例 2
已知
0
A
、
B
、
是 平面上 的
3
个 点 ，直 线 A B
上 有一
点 c 满 ， 足 条 件 2 砬
商 +
一
0 ，则砣
一
(
) ．
A
7 魂 -
2 o ；一
；
B
X 魂 -
—
o
+2
；
詈 ÷ C
商一
商；
D
一
．
1
i
UA
十
2
了
魂
寻 根 初 看 此 题 ，貌 似 复 杂 ! 想 找 题 根 ， 先 得 把 那 些 无 关 的 东 西 去 掉 使 ， 条 件 特 殊 起 来 ：
发 现 ：点 A 是 线 段 B C 的 中 点 ；
第
3
步 ：设
B
A 、
c
、
3
点的坐标分别为
如 1
2
、
3
、
(
图 1 )．
口
A
C
0
1
2
3
图1
葫 蔬 ~ 看 图 可 知 ， 2 l
l～ f
-
f I 一
4—
1— 3 一
o
1．
答案是
A ．
追 根 事 实 上 ， 本 题 设 计 之 初 就 ， 是 从 点 A 是 线
一 1 通过
点 U 贝 h 4 ( C O S a ， s i n
) a
，
(
A
n 。 + b 。≤ 1 ；
孝 吉 c
十 ≤-；
) ． B D
口 。+ b 。≥ l ；
孝 吉 + ≥ ，
说 明 有 了以上 对 题 根 “距 离不 大于 1”的识 别 ，
以下 的解答就简单 了．
囝
镰析
点 满 足 所 ( M