2017年9月1日 解三角形的综合问题-试题君之每日一题君2017-2018学年高二数学 含解析 精品

9月1日 解三角形的综合问题
高考频度：★★★★☆ 难易程度：★★★★☆
典例在线
在ABC △中，()(sin sin )()sin .a c A C a b B -+=- （1）求C ；
（2）若ABC △的外接圆半径为2，试求该三角形面积的最大值．
【参考答案】（1）60︒；（2）
【试题解析】（1）由()(sin sin )()sin ,a c A C a b B -+=- 得()()()a c a c a b b -+=-，
所以2
2
2
a c a
b b -=-，所以222
,a b c ab +-=所以2221cos .22
a b c C ab +-==
因为0180,C <<所以60C =．
【名师点睛】在解三角形时，常用正弦定理或余弦定理“化边为角”或“化角为边”，从而发现三角形中各元素之间的关系．在实际应用中，也常建立数学模型将实际问题转化为数学问题来解决．因此要理解并领悟转化与化归的数学思想，以便应用到要解决的问题中去．
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1．（2017浙江）已知△ABC ，AB =AC =4，BC =2． 点D 为AB 延长线上一点，BD =2，连结CD ，则△BDC 的面积是_____________，cos∠BDC =_____________．
2．△ΑΒC 的内角Α,Β,C 所对的边分别为
a ，
b ，
c ．向量()a =m 与
(cos ,sin )ΑΒ=n 平行．
（1）求Α；
（2）若a =
2b =，求△ΑΒC 的面积．
3．在△ABC 中，内角,,A B C 所对的边长分别为,,a b c ，且满足22
(cos )2
a c
b A b a -=-．
（1）求角B 的大小；
（2）若BD 为AC 边上的中线，1cos ,7A BD =
=
，求△ABC 的面积．
1510
2．【答案】（1）
3π；（2
【解析】（1）因为//m n ，所以sin cos 0a B A -=，
由正弦定理，得sin sin cos 0A B B A -
=，
又sin 0≠B ，从而tan A = 由于0<<πA ，所以3
π
=
A ． （2）方法1：由余弦定理，得2222cos a b c bc A =+-，
由2a b ，
=3
π
=Α，得2742c c =+-，即2230c c --=， 因为0c >，所以3c =， 故△ΑΒC
的面积为
1sin 2bc A =
． 方法2
2
sin sin 3
=Β
，从而sin B =
又由a b >，知A B >
，所以cos B ． 故(
)sin sin sin()sin cos
cos sin 3
33C A B B B B π
ππ=+=+=+=
所以△ΑΒC
的面积为
1sin 22
ab C =
． 3．【答案】（1）
3
π；（2
）
（2）方法1：在△ABD 中，由余弦定理得 则22
1291447
b c bc =+- ①．
由已知得sin 7A =
，sin sin()sin cos cos sin 14
C A B A B A B =+=+=， 在△ABC 中，由正弦定理，得
sin sin c b C B =，故5
7
c b = ②． 由①②解得75
b c =⎧⎨=⎩
方法2：延长BD 到E ，使DE BD =，连接AE ， 在△ABE 中， 由余弦定理得2222cos BE AB AE AB AE BAE =+-⋅⋅⋅∠， 由,,DE BD AD DC == 得四边形ABCE 是平行四边形． ∴AE BC =，∴22129c a a c =++⋅ ③．
sin sin()14C A B =+=，
由正弦定理得
sin 5
sin c ACB a ∠==∠ ④．
由③④解得5,8c a ==。