2.3.4-平面向量共线的坐标表示-课件(人教A版必修4)

a－3b＝(10，－4)，
∵ka＋b 与 a－3b 平行，
∴(k－3)×(－4)－10(2k＋2)＝0，
解得 k＝－13.
此时 ka＋b＝－13－3，－23＋2
＝－130，43＝－13(a－3b)，
∴当 k＝－13时,ka＋b 与 a－3b 平行,并且反向．
2021/2/4
11
【名师点评】 对于根据向量共线的条件求值的问 题，一般有两种处理思路，一是利用共线向量定理a ＝λb(b≠0)，列方程组求解，二是利用向量共线的坐 标表达式x1y2－x2y1＝0直接求解．
2021/2/4
32
方法感悟
方法技巧 1.用向量的坐标判定两向量的共线，当坐标 不为0时，看其坐标是否成比例． 2.三点共线问题的实质是向量共线问题．两 个向量共线只需满足方向相同或相反，两个 向量共线与两个向量平行是一致的．Βιβλιοθήκη 2021/2/433
失误防范
1.对于
a∥b
与x1＝y1并不是等价关系． x2 y2
而C→M＝x，y－45， C→B＝4－0，3－54＝4，74.
2021/2/4
21
∵C，M，B 三点共线，∴C→M与C→B共线．
∴74x－4y－54＝0，
即 7x－16y＝－20. ②8 分 由①②得 x＝172，y＝2.
∴点 M 的坐标为172，2.10 分
名师微博 关键抓住三点共线
2021/2/4
2.向量共线、平行与几何中的共线、平行是不
同的概念．
2021/2/4
34
小结:
1,向量平行(共线)等价条件的两种形式:
(1)a//b(b≠0)⇔a =λb;
( 2 ) a// b ( a=( x 1, y 1) , b=( x 2, y 2) , b≠ 0 ) ⇔ x 1 y2-x2y 1=0
2,中点坐标公式;
1. 已 知 a ＝ ( － 2 ， 1 － cos θ ) ， b ＝
1＋cosθ，－14，且 a∥b，则锐角 θ 等于
()
A．45°
B．30°
C．60°
D．15°
2021/2/4
27
解析：选 A.由 a∥b 得(－2)×－14－(1－cos
θ)(1＋cosθ)＝0
即12＝1－cos2θ＝sin2θ，∴sinθ＝±
2021/2/4
15
而A→B、B→C共线， ∴1×m－1×(－2)＝0， ∴m＝－2， 故当 m＝－2 时，A、B、C 三点共线．
【名师点评】 利用向量平行证明三点共线 需分两步完成：(1)证明向量平行；(2)证明 两个向量有公共点．
2021/2/4
16
变式训练 2.设 A(x，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)， 当 x 为何值时，A→B与C→D共线且方向相同，此 时，A，B，C，D 能否在同一条直线上？ 解：A→B＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)，
2021/2/4
12
互动探究
1.保持本例条件不变，是否存在实数k，使a ＋kb与3a－b平行？ 解：∵a＝(1，2)，b＝(－3，2)， ∴a＋kb＝(1，2)＋k(－3，2) ＝(1－3k，2＋2k)． 3a－b＝(3，6)－(－3，2)＝(6，4)， 又∵a＋kb∥3a－b， ∴(1－3k)×4－(2＋2k)×6＝0.
2021/2/4
6
做一做
已知 a＝(1，2)，b＝(x，4)，若 a∥b，则 x 等 于( )
A．－12
1 B.2
C．－2
D．2
解析：选D.∵a∥b，∴4－2x＝0，∴x＝2.
2021/2/4
7
想一想
已知 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，若 a∥b，是否
有x1＝y1成立？ x2 y2
提示：由于x1＝y1的意义与 x2 y2
延长线上，且M→A＝2A→N，求点 N 的轨迹方程． 解：如图所示，设M(x0，y0)，N(x，y)，
2021/2/4
31
由M→A＝2A→N，得 (1－x0，1－y0)＝2(x－1，y－1)．
∴x0＝－2x＋3， y0＝－2y＋3
代入方程(x－3)2＋(y－3)2＝4，整理得 x2＋y2 ＝1. ∴所求的轨迹方程为 x2＋y2＝1.
(2)若点 P(2，y)满足P→B＝λB→D(λ∈R)，求 y
与 λ 的值． 解：(1)设点 B 的坐标为(x1，y1)． ∵A→B＝(4，3)，A(－1，－2)，
2021/2/4
24
∴(x1＋1，y1＋2)＝(4，3)．
∴xy11＋＋21＝＝34，∴yx11＝＝13.，∴B(3，1)．
同理可得 D(－4，－3)． 设线段 BD 的中点 M 的坐标为(x2，y2) 则 x2＝3－2 4＝－12，y2＝1－2 3＝－1，
2， 2
又∵θ 为锐角，∴sinθ＝ 22，θ＝45°，故
选 A.
2021/2/4
28
2.平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两
点 A(3，1)，B(－1，3)，若点 C 满足O→C＝αO→A
＋βO→B，其中 α、β∈R，且 α＋β＝1，则点
C 的轨迹形状是________． 解析：∵α＋β＝1，
2021/2/4
18
向量共线的应用
例3 (本题满分 10 分)在△AOB 中，已知点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)，O→C＝14O→A，O→D ＝12O→B，AD 与 BC 交于点 M，求点 M 的坐标． 【解】 ∵点 O(0，0)，A(0，5)，B(4，3)， ∴O→A＝(0，5)，O→B＝(4，3)．
∴M－12，－1.
2021/2/4
25
(2)由P→B＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)， B→D＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)． 又P→B＝λB→D，∴(1，1－y)＝λ(－7，－4)，
即1＝－7λ， ∴ λ＝－17， 1－y＝－4λ. y＝37.
2021/2/4
26
备选例题
22
【名师点评】 求解直线或线段的交点问 题，常规方法为写出直线或线段对应的直线 方程，建立方程组求解，而利用向量方法借 助共线向量定理可减少运算量，且思路简单 明快．
2021/2/4
23
变式训练 3.已知向量A→B＝(4，3)，A→D＝(－3，－1)，点
A(－1，－2)． (1)求线段 BD 的中点 M 的坐标；
4. AB=(xB – xA, yB - yA)
5. a =(x1 , y1)=(x2 , y2)=b
x1=x2, y1=y2
2021/2/4
2
问题: 如果向量a ，b 共线（其中 b ≠ 0 ），那么
a ，b 满足什么关系？
a b
思考: 设 a =(x1，y1),b =(x2，y2)，若向量 a ，b 共线（其中 b ≠ 0 ），这两个向量的坐标会不会
3,三点共线定理
2021/2/4
35
祝同学们学业有成 一帆风顺
2021/2/4
36
再见
2021/2/4
37
谢谢
B→C＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)，
C→D＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x)．
2021/2/4
17
由A→B与C→D共线，∴x2＝1×4，∴x＝±2.
又A→B与C→D方向相同，∴x＝2.
此时，A→B＝(2，1)，B→C＝(－3，2)， 而 2×2≠－3×1， ∴A→B与B→C不共线， ∴A，B，C 三点不在同一条直线上． ∴A，B，C，D 不在同一条直线上．
坐标； （2）当的P是线段P1P2的一个三分点时，
求点p的坐标
牢记：中点坐标公式
2021/2/4
9
典题例证技法归纳
题型探究 向量共线的判断
例1 已知a＝(1，2)，b＝(－3，2)，当k为 何值时，ka＋b与a－3b平行？平行时，它们 是同向还是反向？
2021/2/4
10
【解】 由已知得，ka＋b＝(k－3，2k＋2)，
∴β＝1－α. ∴O→C＝αO→A＋(1－α)O→B.
2021/2/4
29
∴O→C－O→B＝α(O→A－O→B)．
∴B→C＝αB→A.
∴A、B、C 三点共线． ∴点 C 的轨迹形状是直线 AB.
答案：直线AB
2021/2/4
30
3.已知圆 C：(x－3)2＋(y－3)2＝4 及点 A(1，1)， M 为圆 C 上的任意一点，点 N 在线段 MA 的
2021/2/4
19
∵O→C＝(xc，yc)＝14O→A＝0，54， ∴点 C 的坐标为0，54. 同理可得点 D 的坐标为2，32.3 分
设点 M 的坐标为(x，y)， 则A→M＝(x，y－5)，
而A→D＝2，－72.
2021/2/4
20
∴A，M，D 三点共线， ∴A→M与A→D共线．
∴－72x－2(y－5)＝0. 即 7x＋4y＝20. ①6 分
x1y2－x2y1＝0
的意
义不同，前者不允许 x2 和 y2 为零，而后者允
许，所以当向量 a、b 之一为零向量或向量 a、
b 与坐标轴平行时，该方法便行不通了．
2021/2/4
8
练一练 设点P是线段P1P2上的一点，P1 、P2的坐
标分别是（x1,y1），（x2,y2） （1）当点P是线段P1P2的中点时，求点P的
满足什么关系呢？
向量共线的坐标表示:
a/b /(b0 ) x 1y2x2y10
2021/2/4
3
2．3.4 平面向量共线的坐标表示
2021/2/4
4
预习目标
学习导航
重点难点 重点：用坐标表示两向量共线的条件． 难点：根据向量坐标判断向量共线．
2021/2/4
5
新知初探思维启动
两个共线向量的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，则 a∥b⇔a＝λb⇔_____x_1_y2_－__x_2_y_1＝__0______．
∴存在实数 λ，使得A→B＝λB→C.
即 i－2j＝λ(i＋mj)，
2021/2/4
14
于是λλ＝m＝1，－2，∴m＝－2，
即 m＝－2 时，A、B、C 三点共线． 法二：依题意知 i＝(1，0)，j＝(0，1)， 而A→B＝(1，0)－2(0，1)＝(1，－2)， B→C＝(1，0)＋m(0，1)＝(1，m)，
2.3.4-平面向量共线的坐 标表示-课件(人教A版必
修4)
复习回顾:
1. 取特殊基底: i , j a = xi+yj = (x, y)
2. O为坐标原点, 则OA=(xA, yA) 3. a=(x1, y1), b=(x2, y2), 则
a+b = (x1+ x2, y1 + y2) a -b = (x1 - x2, y1 - y2) λa = (λ x1, λ y1, )
解得 k＝－13.
2021/2/4 即存在实数 k＝－13时，a＋kb 与 3a－b 平行．
13
三点共线问题
例2 如果向量A→B＝i－2j，B→C＝i＋mj，其中 i、j 分别是 x 轴、y 轴正方向上的单位向量， 试确定实数 m 的值使 A、B、C 三点共线．
【解】 法一：A、B、C 三点共线， 即A→B、B→C共线，