奋斗中学八年级数学上册第十四章《整式的乘法与因式分解》提高卷(含解析)

一、选择题
1．对于①2(2)(1)2x x x x +-=+-，②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形，表述正确的是（ ）
A ．都是因式分解
B ．都是乘法运算
C ．①是因式分解，②是乘法运算
D ．①是乘法运算，②是因式分解D
解析：D
【分析】
根据因式分解的定义（把一个多项式化成几个整式积的形式，叫因式分解，也叫分解因式判断即可．将多项式×多项式变得多项式，是乘法运算．
【详解】
解：①2(2)(1)2x x x x +-=+-，从左到右的变形是整式的乘法；②4(14)x xy x y -=-，从左到右的变形是因式分解；
所以①是乘法运算，②因式分解．
故选：D ．
【点睛】
此题考查了因式分解与乘法运算的定义的认识，解题的关键是掌握因式分解及乘法运算的定义．
2．已知代数式2366x x -+的值为9，则代数式226x x -+的值为（ ） A ．18
B ．12
C ．9
D ．7D
解析：D
【分析】
将x 2﹣2x 当成一个整体，在第一个代数式中可求得x 2﹣2x ＝1，将其代入后面的代数式即能求得结果．
【详解】
解：∵3x 2﹣6x +6＝9，即3（x 2﹣2x ）＝3，
∴x 2﹣2x ＝1，
∴x 2﹣2x +6＝1+6＝7．
故选：D ．
【点睛】
本题考查了代数式求值，解题的关键是将x 2﹣2x 当成一个整体来对待．
3．若3a b +=-，10ab =-，则-a b 的值是（ ）
A ．0或7
B ．0或13-
C ．7-或7
D ．13-或13C 解析：C
【分析】
根据完全平方公式得出( a-b )2=( a + b )2-4ab ，进而求出( a-b )2的值，再求出 a-b 的值即可
【详解】
( a-b )2=( a + b )2-4ab
∴ ()22(3) 4(10)a b =--⨯--
∴()2 49a b -=
∴7a b -=±
故答案选：C
【点睛】
考查完全平方公式的应用，掌握完全平方公式的特点和相应的变形，是正确解答的关键. 4．将11n n x x +--因式分解，结果正确的是（ ）
A ．()121n x
x -- B ．()11n x x -- C ．()1n x x x -- D ．()()111n x x x -+- D
解析：D
【分析】
先提公因式x n-1，再用平方差公式进行分解即可.
【详解】
x n+1−x n-1=x n-1(x 2-1)=x n−1(x+1)(x−1)，
故选：D
【点睛】
此题考查了提公因式法和公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解答本题的关键. 5．在下列的计算中正确的是（ ）
A ．23a ab a b ⋅=；
B ．()()2224a a a +-=+；
C ．235x y xy +=；
D ．()2
2369x x x -=++ A 解析：A
【分析】
根据单项式的乘法，平方差公式，完全平方公式，对各选项计算后利用排除法求解．
【详解】
A 、a 2•ab ＝a 3b ，正确；
B 、应为（a ＋2）（a−2）＝a 2−4，故本选项错误；
C 、2x 与3y 不是同类项不能合并；
D 、应为（x−3）2＝x 2−6x ＋9，故本选项错误．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查平方差公式，单项式的乘法法则，完全平方公式，熟练掌握运算法则和公式是解题的关键，合并同类项时，不是同类项的不能合并．
6．下列分解因式正确的是（ ）
A ．xy ﹣2y 2＝x （y ﹣2x ）
B ．m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）
C ．4x 2﹣24x +36＝（2x ﹣6）2
D ．4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ）D 解析：D
【分析】
根据因式分解的方法：提公因式法、平方差公式、完全平方公式计算判断．
【详解】
A 、xy ﹣2y 2＝y （x ﹣2y ），故该项错误；
B 、m 3n ﹣mn ＝mn （m 2﹣1）=mn （m+1）（m-1），故该项错误；
C 、4x 2﹣24x +36＝4（x ﹣3）2，故该项错误；
D 、4x 2﹣9y 2＝（2x ﹣3y ）（2x +3y ），故该项正确；
故选：D ．
【点睛】
此题考查因式分解的解法，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
7．如图，对一个正方形进行了分割，通过面积相等可以证明下列哪个式子（ ）
A ．22()()x y x y x y -=-+
B ．222()2x y x xy y +=++
C ．222()2x y x xy y -=-+
D ．22()()4x y x y xy +=-+ B
解析：B
【分析】 观察图形的面积，从整体看怎么表示，再从分部分来看怎么表示，两者相等，即可得答案．
【详解】
解：图中大正方形的边长为：x y +，其面积可以表示为：2
()x y + 分部分来看：左下角正方形面积为2x ，右上角正方形面积为2
y ，
其余两个长方形的面积均为xy ，
各部分面积相加得：222x xy y ++， 222()2x y x xy y ∴+=++
故选：B ．
【点睛】
本题考查了乘法公式的几何背景，明确几何图形面积的表达方式，熟练掌握相关乘法公式，是解题的关键．
8．如图是一所楼房的平面图，下列式子中不能表示它的面积的是（ ）
A．x2+3x+6 B．（x+3）（x+2）﹣2x
C．x（x+3）+6 D．x（x+2）+x2D
解析：D
【分析】
根据S楼房的面积＝S矩形ABCD+S矩形DEFC+S矩形CFHG代入数值求出图形面积，再根据计算各整式判断即可．
【详解】
S楼房的面积＝S矩形ABCD+S矩形DEFC+S矩形CFHG
＝AD•AB+DC•DE+CF•FH．
∵AB＝DC＝AD＝x，DE＝CF＝3，FH＝2，
∴S楼房的面积＝x2+3x+6．
∵（x+3）（x+2）﹣2x= x2+3x+6，x（x+3）+6= x2+3x+6，x（x+2）+x2=2 x2+2x，
故选：D．
．
【点睛】
此题考查列整式求图形面积，整式的混合运算，掌握整式的运算法则是解题的关键．9．下列计算正确的是（）
A．a3+a3=a6B．a3·a=a4C．a3÷a2=a3D．(2a2)3 =6a5B
解析：B
【分析】
直接利用合并同类项法则、同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．
【详解】
A、333
+=，故此选项错误；
a a a
2
B、34
=，故此选项正确；
a a a
·
C、32
÷=，故此选项错误；
a a a
D 、236(2)8a a =，故此选项错误；
故选：B ．
【点睛】
本题主要考查了同底数幂的乘除运算以及幂的乘方运算、积的乘方运算、合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键．
10．若y 2+4y 0，则xy 的值为（ ）
A ．﹣6
B ．﹣2
C ．2
D ．6A
解析：A
【分析】
根据2440y y ++=，即（y +2）20，根据任何数的偶次方以及二次根式都是非负数，两个非负数的和是0，则每个非负数都等于0，据此即可求解．
【详解】
解：∵2440y y ++=
∴（y +2）20
∴y +2＝0且x +y ﹣1＝0
解得：y ＝﹣2，x ＝3
∴xy ＝﹣6．
故选：A ．
【点睛】
本题主要考查了非负数的性质，两个非负数的和是0，则两个非负数都等于0． 二、填空题
11．因式分解()()2
6x mx x p x q +-=++，其中m 、p 、q 都为整数，则m 的最大值是______．5【分析】根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系按多项式乘以多项式法则把式子变形然后根据pq 的关系判断即可【详解】解：∵(x ＋p)(x ＋q)=x2＋（p+q ）x+pq=x2＋mx-6∴p+q=mpq=
解析：5
【分析】
根据整式的乘法和因式分解的逆运算关系，按多项式乘以多项式法则把式子变形，然后根据p 、q 的关系判断即可．
【详解】
解：∵(x ＋p)(x ＋q)= x 2＋（p+q ）x+pq= x 2＋mx-6
∴p+q=m ，pq=-6，
∴pq=1×（-6）=（-1）×6=（-2）×3=2×（-3）=-6，
∴m=-5或5或1或-1，
∴m 的最大值为5，
故答案为：5．
【点睛】
此题主要考查了整式乘法和因式分解的逆运算的关系，关键是根据整式的乘法还原因式分解的关系式，注意分类讨论的作用．
12．若x 2+4x-4=0，则3（x-2）2-6(x+1)(x-1)的值为_________．6【分析】原式利用完全平方公式平方差公式化简去括号整理后将已知等式代入计算即可求出值【详解】解：∵x2+4x-4=0即x2+4x=4∴原式=3（x2-4x+4）-6（x2-1）=3x2-12x+12 解析：6
【分析】
原式利用完全平方公式，平方差公式化简，去括号整理后，将已知等式代入计算即可求出值．
【详解】
解：∵x 2+4x-4=0，即x 2+4x=4，
∴原式=3（x 2-4x+4）-6（x 2-1）=3x 2-12x+12-6x 2+6=-3x 2-12x+18=-3（x 2+4x ）+18=-12+18=6． 故答案为：6．
【点睛】
本题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
13．2007200820092
()(1.5)(1)3⨯÷-＝_____．-15【分析】首先把分解成再根据积的乘方的性质的逆用解答即可【详解】解：原式＝＝＝﹣15故答案为-15【点睛】本题考查有理数的乘方运算逆用积的乘方法则是解题关键
解析：-1.5
【分析】
首先把20081.5分解成20071.5 1.5⨯，再根据积的乘方的性质的逆用解答即可．
【详解】 解：原式＝()200720072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯÷- ⎪⎝⎭
＝()20072 1.5 1.513⎛⎫⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭
＝﹣1.5，
故答案为-1.5 ．
【点睛】 本题考查有理数的乘方运算，逆用积的乘方法则是解题关键．
14．因式分解269x y xy y -+-=______．-y （x-3）2【分析】提公因式-y 再利用完全平方公式进行因式分解即可；【详解】解：-x2y+6xy-9y=-y （x2-6x+9）=-y （x-3）2故答案为：-y （x-3）2；【点睛】本题考查了因式
解析：-y （x-3）2
【分析】
提公因式-y ，再利用完全平方公式进行因式分解即可；
【详解】
解：-x 2y+6xy-9y
=-y （x 2-6x+9）
=-y （x-3）2，
故答案为：-y （x-3）2；
【点睛】
本题考查了因式分解的方法，掌握提公因式法、公式法是正确解答的关键．
15．若()()21x a x -+的积中不含x 的一次项，则a 的值为______．2【分析】先运用多项式的乘法法则计算再合并同类项因积中不含x 的一次项所以让一次项的系数等于0得a 的等式再求解【详解】解：（2x-a ）（x+1）=2x2+（2-a ）x-a ∵积中不含x 的一次项∴2-a=
解析：2
【分析】
先运用多项式的乘法法则计算，再合并同类项，因积中不含x 的一次项，所以让一次项的系数等于0，得a 的等式，再求解．
【详解】
解：（2x-a ）（x+1）=2x 2+（2-a ）x-a ，
∵积中不含x 的一次项，
∴2-a=0，
∴a=2，
故答案为：2．
【点睛】
本题考查了多项式乘多项式法则，注意当要求多项式中不含有哪一项时，应让这一项的系数为0．
16．的整数部分是a ．小数部分是b ，则2a b -=______．6-16【分析】先估算确定ab 的值进而即可求解【详解】∵＜＜∴3＜＜4又∵a 是的整数部分b 是的小数部分∴a ＝3b ＝−3∴3-(−3)2=3-(10-6+9)=3-10+6-9=6-16故答案是：6-
解析：-16
【分析】
，确定a ，b 的值，进而即可求解．
【详解】 ∵
∴3
＜4，
又∵a b 的小数部分，
∴a ＝3，b
−3，
∴
2a b -=−3)2-16．
故答案是：-16．
【点睛】
本题考查无理数的估算、完全平方公式，确定a 、b 的值是解决问题的关键．
17．若已知x +y ＝﹣3，xy ＝4，则3x +3y ﹣4xy 的值为_____．﹣25【分析】将3x+3y ﹣4xy 变形为3（x+y ）﹣4xy 再整体代入求值即可【详解】解：∵x+y ＝﹣3xy ＝4∴3x+3y ﹣4xy ＝3（x+y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25故 解析：﹣25
【分析】
将3x +3y ﹣4xy 变形为3（x +y ）﹣4xy ，再整体代入求值即可．
【详解】
解：∵x +y ＝﹣3，xy ＝4，
∴3x +3y ﹣4xy ＝3（x +y ）﹣4xy ＝3×（﹣3）﹣4×4＝﹣9﹣16＝﹣25，
故答案为：﹣25．
【点睛】
此题考查已知式子的值求代数式的值，将代数式变形为已知式子的形式是解题的关键． 18．若210x x --=，则3225x x -+的值为________．【分析】首先将已知条件变形为再把要求的式子变形然后整体代入即可求解【详解】解：∵即∴故答案为：4【点睛】此题主要考查了代数式求值把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键
解析：【分析】
首先将已知条件210x x --=变形为21x x -=，21x x -=，再把要求的式子变形，然后整体代入即可求解．
【详解】
解：∵210x x --=，即21x x -=，21x x -=，
∴()
323222514x x x x x -+=---+ ()()2214x x x x =---+
4x x =-+
4=．
故答案为：4．
【点睛】
此题主要考查了代数式求值，把所给代数式进行恰当变形是解答此题的关键．
19．若6x y +=，3xy =-，则2222x y xy +＝_____．【分析】先将原式因式分解得再整体代入即可求出结果【详解】解：∵∴原式故答案是：【点睛】本题考查因式分解解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值
解析：36-
【分析】
先将原式因式分解得()2xy x y +，再整体代入即可求出结果．
【详解】
解：()22
222x y xy xy x y +=+， ∵6x y +=，3xy =-，
∴原式()23636=⨯-⨯=-．
故答案是：36-．
【点睛】
本题考查因式分解，解题的关键是熟练运用因式分解和整体代入的思想求值．
20．如图：一块直径为+a b 的圆形钢板，从中挖去直径分别为a 与b 的两个半圆，则剩下的钢板面积为______．
【分析】先求出圆形钢板的面积再减去两个小半圆的面积
即可【详解】解：圆形钢板的面积为：直径为a 的半圆面积为：直径为b 的半圆面积为：剩下钢板的面积为：=故答案为：【点睛】本题考查了圆的面积利用面积的差求
解析：
()2248a b ab π++
【分析】 先求出圆形钢板的面积，再减去两个小半圆的面积即可．
【详解】 解：圆形钢板的面积为：2(
)2a b π+， 直径为a 的半圆面积为：
21()22a π⨯， 直径为b 的半圆面积为：
21()22b π⨯， 剩下钢板的面积为：22211()()()22222
a b a b πππ+-⨯-⨯， =()2248a b ab π
++，
故答案为：
()2248a b ab π++．
【点睛】 本题考查了圆的面积，利用面积的差求出剩余钢板的面积，注意：圆的面积等于半径的平方乘以π．
三、解答题
21．下面是小华同学分解因式229()4()a x y b y x -+-的过程，请认真阅读，并回答下列问题．
解：原式22
9()4()a x y b x y =-+-① 22()(94)x y a b =-+②
2()(32)x y a b =-+③
任务一：以上解答过程从第 步开始出现错误．
任务二：请你写出正确的解答过程．
解析：①；见解析
【分析】
根据提公因式法和平方差公式进行因式分解．
【详解】
解：在小华同学的解答中，对原式进行变形，从第①步开始出现错误， 故答案为：①
正确过程如下：
229()4()a x y b y x -+-
229()4()a x y b x y =---
22()(94)x y a b =--
()(32)(32)x y a b a b =-+-．
【点睛】
本题考查综合提公因式和公式法进行因式分解，掌握提公因式技巧和平方差公式的公式结构正确计算是解题关键．
22．如图1是一个长为4a 、宽为b 的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）．
（1）观察图1、图2，请你写出()2a b +、()2a b -、ab 之间的等量关系； （2）根据（1）中的结论，若5x y -=，114xy =
，试求x y +的值； （3）拓展应用：若()()222019202134m m -+-=，求()()20192021m m --的值．
解析：（1）()()224a b a b ab +--=；（2）6x y +=±；（3）-15．
【分析】
（1）由长方形的面积公式解得图1的面积，图2中白色部分面积为大正方形面积与小正方形面积的差，又由图1与图2中的空白面积相等，据此列式解题；
（2）由（1）中结论可得()()224x y x y xy +--=，将5x y -=，114
xy =
整体代入，结合平方根性质解题；
（3）将()2019m -与()2021m -视为一个整体，结合（1）中公式，及平方的性质解题即可．
【详解】
解：（1）由图可知，图1的面积为4ab ，图2中白色部分的面积为()()
()()2222a b b a a b a b +--=+-- ∵图1的面积和图2中白色部分的面积相等 ∴()()224a b a b ab +--=
（2）根据（1）中的结论，可知()()224x y x y xy +--=
∵5x y -=，114xy =
∴()2211544x y +-=⨯
∴()2
36x y += ∴6x y +=±
（3）∵()()201920212m m -+-=-
∴()()2
201920214m m -+-=⎡⎤⎣⎦ ∴()()()()22
201922019202120214m m m m -+--+-= ∵()()22
2019202134m m -+-= ∴()()22019202143430m m --=-=-
∴()()2019202115m m --=-．
【点睛】
本题考查完全平方公式在几何图形中的应用，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解
23．因式分解：（1）222x - （2）32244x x y xy -+
解析：（1）2(1)(1)x x +-；（2）2(2)-x x y ．
【分析】
（1）首先提公因式2，再利用平方差公式进行分解即可；
（2）首先提公因式x ，再利用完全平方公式进行分解即可．
【详解】
（1）原式()
221x =- 2(1)(1)x x =+-．
（2）原式()2244x x xy y =-+
2(2)x x y =-．
【点睛】
此题主要考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解． 24．先化简，再求值：()()()2
222(2)x y y x x y x y x --++---，其中1,22
x y =-=． 解析：232+x xy ，54
-
. 【分析】
利用平方差公式，和的完全平方公式，单项式乘以多项式法则化简，合并同类项后，代入求值即可.
【详解】
原式2222244 42x y x xy y xy x =-+++-+ 232x xy =+， 当1,22
x y =-=时， 原式2115322224⎛⎫⎛⎫=⨯-+⨯-⨯=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
. 【点睛】
本题考查了运用乘法公式进行化简，熟练运用公式，正确合并同类项是解题的关键. 25．分解因式
（1）22363ax axy ay -+
（2）()()22162x x x ---
解析：（1）3a （x-y ）2；（2）()()()2+44x x x --
（1）先提取公因式3a ，然后由完全平方公式进行因式分解；
（2）直接提取公因式（x-2），进而利用平方差公式分解因式即可．
【详解】
解：（1）原式=3a （x 2-2xy+y 2）
=3a （x-y ）2；
（2）()()22162x x x ---
()()2=216x x --
()()()=2+44x x x --
【点睛】
本题考查了分解因式．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．在实数范围内进行因式分解的式子的结果一般要分到出现无理数为止．
26．计算：
（1）()222--（2）()()2215105x y xy xy -÷-
（3）()()()2321x x x -+--
解析：（13；（2）32x y -+；（3）7x -
【分析】
（1）同时计算乘方、绝对值、算术平方根及开立方，再计算加减法；
（2）用多项式除以单项式法则计算；
（3）先根据多项式乘以多项式及完全平方公式计算，再合并同类项即可．
【详解】
（1）解：原式4232=--
3=；
（2）解：原式32x y =-+
（3）解：原式2223621x x x x x =+---+-
7x =-．
【点睛】
此题考查实数的混合运算及整式的混合运算，掌握实数的乘方、绝对值、算术平方根及开立方、加减法运算，整式的多项式乘以多项式及完全平方公式、多项式除以单项式法则是解题的关键．
27．观察下列关于自然数的等式：
（1）217295⨯+⨯= ①
（2）2282106⨯+⨯= ②
（3）2392117⨯+⨯= ③
……
根据上述规律解决下列问题：
（1）完成第四个等式__________．
（2）写出你猜想的第n 个等式（用含n 的式子表示），并验证其正确性．
解析：（1）4×10+2×12=82；（2）n （n+6）+2（n+8）=（n+4）2，验证见解析·
【分析】
（1）由①②③三个等式得出规律，即可得出结果；
（2）由规律得出答案，再验证即可．
【详解】
解：（1）根据题意得：第四个等式为：4×10+2×12=82；
（2）猜想的第n 个等式为：n （n+6）+2（n+8）=（n+4）2，
验证：左边=n （n+6）+2（n+8）=n 2+6n+2n+16=n 2+8n+42=（n+4）2=右边，
∴n （n+6）+2（n+8）=（n+4）2．
【点睛】
本题主要考查了数字的变化规律、完全平方公式、归纳推理等知识；根据题意得出规律是解决问题的关键．
28．化简：2(3)3(2)m n m m n +-+．
解析：226m n +
【分析】
先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则去括号，再合并同类项即可．
【详解】
解：2
(3)3(2)m n m m n +-+ 2229636m mn n m mn =++--
226m n =+．
【点睛】
此题考查整式的混合运算，掌握完全平方公式及单项式乘以多项式法则，去括号法则，合并同类项法则是解题的关键．。