八年级初二数学 平行四边形知识点及练习题附解析

一、选择题
1．如图，E 、F 、G 、H 分别是BD 、BC 、AC 、AD 的中点，且AB ＝CD ．结论：①EG ⊥FH ；②四边形EFGH 是矩形；③HF 平分∠EHG ；④EG 12=
BC ；⑤四边形EFGH 的周长等于2AB ．其中正确的个数是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．正方形ABCD ，正方形CEFG 如图放置，点B 、C 、E 在同一条直线上，点P 在BC 边上，PA ＝PF ，且∠APF ＝90°，连接AF 交CD 于点M ．有下列结论：①EC ＝BP ；②AP ＝AM ：③∠BAP ＝∠GFP ；④AB 2+CE 2＝
12
AF 2；⑤S 正方形ABCD +S 正方形CGFE ＝2S △APF ，其中正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①③④
C ．①②④⑤
D ．①③④⑤
3．已知点M 是平行四边形ABCD 内一点(不含边界)，设
12MAD MBA θθ∠=∠=，，3 MCB θ∠=，4MDC θ∠=．若
110,AMB ∠=︒ 90CMD ∠=︒，60BCD ∠=︒，则( )
A ．142310θθθθ+--=︒
B ．241330θθθθ+--=︒
C ．142330θθθθ+--=︒
D ．241340θθθθ+--=︒ 4．如图，在正方形ABCD 外侧，作等边三角形AD
E ，AC ，BE 相交于点
F ，则∠CBF 为
（ ）
A ．75°
B ．60°
C ．55°
D ．45°
5．如图，在正方形ABCD 中，E 为BC 上一点，过点E 作EF ∥CD ，交AD 于F ，交对角线BD 于G ，取DG 的中点H ，连结AH ，EH ，FH ．下列结论：①∠EFH ＝45°；
②△AHD ≌△EHF ；③∠AEF +∠HAD ＝45°； ④若BE
EC ＝2，则1113
=BEH AHE S S ．其中结论正确的是（ ）
A ．①②③
B ．①②④
C ．②③④
D ．①②③④
6．如图，在等腰Rt ABC △中，908C AC ∠==°，，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD CE =．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：
①DFE △
是等腰直角三角形； ②四边形CDFE 不可能为正方形，
③DE 长度的最小值为4； ④四边形CDFE 的面积保持不变；
⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是（ ）
A ．①②③
B ．①④⑤
C ．①③④
D ．③④⑤
7．如图，在正方形ABCD 中，
AB ＝4，E 是CD 的中点，将BCE 沿BE 翻折至BFE ，连接DF ，则DF 的长度是（ ）
A ．55
B ．255
C ．355
D ．455
8．如图，在ABC 中，AB=5，AC=12，BC=13，P 为边BC 上一动点，PE ⊥AB 于E ，PF ⊥AC 于F ，M 为EF 中点，则AM 的最小值为（ ）
A ．6013
B ．3013
C ．2413
D ．1213
9．如图，在边长为2的等边三角形ABC 中，D 为边BC 上一点，且12BD CD =
．点E ，F 分别在边,AB AC 上，且90,EDF M ︒∠=为边EF 的中点，连接CM 交DF 于点N ．若//DF AB ，则CM 的长为( )
A ．233
B ．334
C ．536
D ．3
10．如图，已知一个矩形纸片OACB ，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A （10，0），点B （0，6），点P 为BC 边上的动点，将△OBP 沿OP 折叠得到△OPD ，连接CD 、AD ．则下列结论中：①当∠BOP ＝45°时，四边形OBPD 为正方形；②当∠BOP ＝30°时，△OAD 的面积为15；③当P 在运动过程中，CD 的最小值为234﹣6；④当OD ⊥AD 时，BP ＝2．其中结论正确的有（ ）
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
二、填空题
11．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，点D 是BC 的中点，点E 、F 分别是直线AB 、AC 上的动点，∠EDF ＝90°，M 、N 分别是EF 、AC 的中点，连结AM 、MN ，若AC =6，AB =5，则AM -MN 的最大值为________．
12．如图，以Rt ABC 的斜边AB 为一边，在AB 的右侧作正方形ABED ，正方形对角线交于点O ，连接CO ，如果AC=4，CO=62，那么BC=______．
13．如图所示，菱形ABCD ，在边AB 上有一动点E ，过菱形对角线交点O 作射线EO 与CD 边交于点F ，线段EF 的垂直平分线分别交BC 、AD 边于点G 、H ，得到四边形EGFH ，点E 在运动过程中，有如下结论：
①可以得到无数个平行四边形EGFH ；
②可以得到无数个矩形EGFH ；
③可以得到无数个菱形EGFH ；
④至少得到一个正方形EGFH ．
所有正确结论的序号是__．
14．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝3，E 为BC 边上一动点，作EF ⊥AE ，且EF ＝AE ．连接DF ，AF ．当DF ⊥EF 时，△ADF 的面积为_____．
15．如图，四边形纸片ABCD 中，AB BC =, 90ABC ADC ∠=∠=︒．若该纸片的面积为10 cm 2，则对角线BD =______cm ．
16．如图，在平行四边形ABCD ，AD ＝2AB ，F 是AD 的中点，作CE ⊥AB ，垂足E 在线段AB 上，连接EF 、CF ，则下列结论：①∠BCD ＝2∠DCF ；②EF ＝CF ；③S △CDF ＝S △CEF ；④∠DFE ＝3∠AEF ，－定成立的是_________．(把所有正确结论的序号都填在横线上)
17．在锐角三角形ABC 中，AH 是边BC 的高，分别以AB ，AC 为边向外作正方形ABDE 和正方形ACFG ，连接CE ，BG 和EG ，EG 与HA 的延长线交于点M ，下列结论：①BG=CE ；②BG ⊥CE ；③AM 是△AEG 的中线；④∠EAM=∠ABC ．其中正确的是_________．
18．在ABCD 中，5AD =，BAD ∠的平分线交CD 于点E ，∠ABC 的平分线交CD 于点F ，若线段EF=2，则AB 的长为__________．
19．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 分别在x 轴、y 轴的正半轴上运动，点M 为线段AB 的中点．点D 、E 分别在x 轴、y 轴的负半轴上运动，且DE ＝AB ＝10．以DE 为边在第三象限内作正方形DGFE ，则线段MG 长度的最大值为_____．
20．如图，四边形ABCP 是边长为4的正方形，点E 在边CP 上，PE =1；作EF ∥BC ，分别
交AC 、AB 于点G 、F ，M 、N 分别是AG 、BE 的中点，则MN 的长是_________．
三、解答题
21．在四边形ABCD 中，90A B C D ∠∠∠∠====，10AB CD ==，
8BC AD ==．
()1P 为边BC 上一点，将ABP 沿直线AP 翻折至AEP 的位置(点B 落在点E 处) ①如图1，当点E 落在CD 边上时，利用尺规作图，在图1中作出满足条件的图形(不写作法，保留作图痕迹，用2B 铅笔加粗加黑).并直接写出此时DE =______；
②如图2，若点P 为BC 边的中点，连接CE ，则CE 与AP 有何位置关系？请说明理由； ()2点Q 为射线DC 上的一个动点，将ADQ 沿AQ 翻折，点D 恰好落在直线BQ 上的点
'D 处，则DQ =______； 22．在数学的学习中，有很多典型的基本图形．
（1）如图①，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，直线l 经过点A ，BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，垂足分别为D 、E ．试说明ABD CAE ≌；
（2）如图②，ABC 中，90BAC ∠=︒，AB AC =，点D 、A 、F 在同一条直线上，BD DF ⊥，3AD =，4BD =．则菱形AEFC 面积为______．
（3）如图③，分别以Rt ABC 的直角边AC 、AB 向外作正方形ACDE 和正方形ABFG ，连接EG ，AH 是ABC 的高，延长HA 交EG 于点I ，若6AB =，8AC =，求AI 的长度．
23．如图，在平行四边形ABCD 中，BAD ∠的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于F ，以EC 、CF 为邻边作平行四边形ECFG ．
（1）求证：四边形ECFG 是菱形；
（2）连结BD 、CG ，若120ABC ∠=︒，则BDG ∆是等边三角形吗？为什么？ （3）若90ABC ∠=︒，10AB =，24AD =，M 是EF 的中点，求DM 的长．
24．在矩形ABCD 中，连结AC ，点E 从点B 出发，以每秒1个单位的速度沿着B A →的路径运动，运动时间为t （秒）．以BE 为边在矩形ABCD 的内部作正方形BEHG ．
（1）如图，当ABCD 为正方形且点H 在ABC ∆的内部，连结,AH CH ，求证：AH CH =；
（2）经过点E 且把矩形ABCD 面积平分的直线有______条；
（3）当9,12AB BC ==时，若直线AH 将矩形ABCD 的面积分成1：3两部分，求t 的值．
25．如图，在矩形ABCD 中，E 是AD 的中点，将ABE ∆沿BE 折叠，点A 的对应点为点G ．
图1 图2
（1）填空：如图1，当点G 恰好在BC 边上时，四边形ABGE 的形状是________； （2）如图2，当点G 在矩形ABCD 内部时，延长BG 交DC 边于点F ．
①求证：BF AB DF =+． ②若3AD =，试探索线段DF 与FC 的数量关系．
26．如图，在边长为1的正方形ABCD 中，E 是边CD 的中点，点P 是边AD 上一点（与点A D 、不重合），射线PE 与BC 的延长线交于点Q ．
（1）求证：PDE QCE ∆≅∆；
（2）若PB PQ =，点F 是BP 的中点，连结EF AF 、，
①求证：四边形AFEP 是平行四边形；
②求PE 的长．
27．共顶点的正方形ABCD 与正方形AEFG 中，AB =13，AE =52．
（1）如图1，求证：DG =BE ；
（2）如图2，连结BF ，以BF 、BC 为一组邻边作平行四边形BCHF ．
①连结BH ，BG ，求BH BG
的值； ②当四边形BCHF 为菱形时，直接写出BH 的长．
28．直线1234,,,,l l l l 是同一平面内的一组平行线．
(1)如图1．正方形ABCD 的4个顶点都在这些平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离都是1，其中点A ，点C 分别在直线1l 和4l 上，求正方形的面积；
(2)如图2，正方形ABCD 的4个顶点分别在四条平行线上，若四条直线中相邻两条之间的距离依次为123h h h ，，．
①求证：13h h =；
②设正方形ABCD 的面积为S ，求证222211 2 2 S h h h h =++．
29．点E在正方形ABCD的边BC上，点F在AE上，连接FB，FD，∠ABF=∠AFB．
（1）如图1，求证：∠AFD=∠ADF；
（2）如图2，过点F作垂线交AB于G，交DC的延长线于H，求证：DH=2 AG；
（3）在（2）的条件下，若EF=2，CH=3，求EC的长．
∆是边长为3的等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与30．如图，ABC
∆是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，交直线点B、C重合），ADE
AC于点F，连接BE．
（1）判断四边形BCFE的形状，并说明理由；
（2）当DE AB
⊥时，求四边形BCFE的周长；
（3）四边形BCFE能否是菱形？若可为菱形，请求出BD的长，若不可能为菱形，请说明理由．
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一、选择题
1．C
解析：C
【解析】
【分析】
根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半与AB=CD可得四边形EFGH是菱形，然后根据菱形的对角线互相垂直平分，并且平分每一组对角的性质对各小题进行判断即可得答案．
【详解】
∵E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，
∴EF=1
2
CD，FG=
1
2
AB，GH=
1
2
CD，HE=
1
2
AB，
∵AB=CD，
∴EF=FG=GH=HE，
∴四边形EFGH是菱形，故②错误，
∴EG⊥FH，HF平分∠EHG；故①③正确，
∴四边形EFGH的周长= EF=FG=GH=HE =2AB，故⑤正确，
没有条件可证明EG=1
2
BC，故④错误，
∴正确的结论有：①③⑤，共3个，
故选C.
【点睛】
本题考查了三角形中位线定理与菱形的判定与菱形的性质，根据三角形的中位线定理与AB=CD判定四边形EFGH是菱形并熟练掌握菱形的性质是解答本题的关键．
2．D
解析：D
【分析】
①由同角的余角相等可证出△EPF≌△BAP，由此即可得出EF=BP，再根据正方形的性质即可得出①成立；②没有满足证明AP=AM的条件；③根据平行线的性质可得出
∠GFP=∠EPF，再由∠EPF=∠BAP即可得出③成立；④在Rt△ABP中，利用勾股定理即可得出④成立；⑤结合④即可得出⑤成立．综上即可得出结论．
【详解】
①∵∠EPF+∠APB=90°，∠APB+∠BAP=90°，
∴∠EPF=∠BAP．
在△EPF和△BAP中，有
EPF BAP
FEP PBA PA PF
∠∠
⎧
⎪
∠∠
⎨
⎪
⎩
＝
＝
＝
，
∴△EPF≌△BAP（AAS），∴EF=BP，
∵四边形CEFG为正方形，∴EC=EF=BP，即①成立；
②无法证出AP=AM；
③∵FG∥EC，
∴∠GFP=∠EPF，
又∵∠EPF=∠BAP，
∴∠BAP=∠GFP，即③成立；
④由①可知EC=BP，
在Rt△ABP中，AB2+BP2=AP2，∵PA=PF，且∠APF=90°，
∴△APF为等腰直角三角形，∴AF2=AP2+EP2=2AP2，
∴AB2+BP2=AB2+CE2=AP2=1
2
AF2，即④成立；
⑤由④可知：AB2+CE2=AP2，
∴S正方形ABCD+S正方形CGFE=2S△APF，即⑤成立．
故成立的结论有①③④⑤．
故选D．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、平行线的性质以及勾股定理，解题的关键是逐条分析五条结论是否正确．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，通过证明三角形全等以及利用勾股定理等来验证题中各结论是否成立是关键．
3．D
解析：D
【分析】
依据平行四边形的性质以及三角形内角和定理，可得θ2-θ1=10°，θ4-θ3=30°，两式相加即可得到θ2+θ4-θ1-θ3=40°．
【详解】
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD=∠BCD=60°，
∴∠BAM=60°-θ1，∠DCM=60°-θ3，
∴△ABM中，60°-θ1+θ2+110°=180°，即θ2-θ1=10°①，
△DCM中，60°-θ3+θ4+90°=180°，即θ4-θ3=30°②，
由②+①，可得（θ4-θ3）+（θ2-θ1）=40°，
2413 40
θθθθ
∴+--=︒；
故选：D.
【点睛】
本题主要考查了平行四边形的性质以及三角形内角和定理等知识；熟练掌握平行四边形的对角相等是解题的关键．
4．A
解析：A
【分析】
根据正方形的性质及等边三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC，进而得出∠CBF．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB=AD ，
又∵△ADE 是等边三角形，
∴AE=AD=DE ，∠DAE=60°，
∴AB=AE ，
∴∠ABE=∠AEB ，∠BAE=90°+60°=150°，
∴∠ABE=（180°-150°）÷2=15°，
又∵∠BAC=45°，
∴∠BFC=45°+15°=60°．
∴∠BFA=180°-60°=120°，
∴∠CBF=180°-∠BCA-∠BFC=180°-45°-60=75°，
故选：A ．
【点睛】
本题主要是考查正方形的性质和等边三角形的性质，解本题的关键是求出∠ABE=15°．
5．A
解析：A
【分析】
①根据正方形的性质证明∠ADB ＝45°，进而得△DFG 为等腰直角三角形，根据等腰三角形的三线合一性质得∠EFH ＝12∠EFD ＝45°，故①正确； ②根据矩形性质得AF ＝EB ，∠BEF ＝90°，再证明△AFH ≌△EGH 得EH ＝AH ，进而证明△EHF ≌△AHD ，故②正确；
③由△EHF ≌△AHD 得∠EHF ＝∠AHD ，怀AH ＝EH 得∠AEF +∠HEF ＝45°，进而得∠AEF +∠HAD ＝45°，故③正确；
④如图，过点H 作MN ⊥AD 于点M ，与BC 交于点N ，设EC ＝FD ＝FG ＝x ，则BE ＝AF ＝EG ＝2x ，BC ＝DC ＝AB ＝AD ＝3x ，HM ＝12x ，AM ＝52x ，HN ＝52
x ，由勾股定理得AH 2，再由三角形的面积公式得BEH AHE S S
，便可判断④的正误．
【详解】 证明：
①在正方形ABCD 中，∠ADC ＝∠C ＝90°，∠ADB ＝45°，
∵EF ∥CD ，
∴∠EFD＝90°，
∴四边形EFDC是矩形．
在Rt△FDG中，∠FDG＝45°，∴FD＝FG，
∵H是DG中点，
∴∠EFH＝1
2
∠EFD＝45°
故①正确；
②∵四边形ABEF是矩形，
∴AF＝EB，∠BEF＝90°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠EBG＝∠EGB＝45°，
∴BE＝GE，
∴AF＝EG．
在Rt△FGD中，H是DG的中点，
∴FH＝GH，FH⊥BD，
∵∠AFH＝∠AFE+∠GFH＝90°+45°＝135°，
∠EGH＝180°﹣∠EGB＝180°﹣45°＝135°，
∴∠AFH＝∠EGH，
∴△AFH≌△EGH（SAS），
∴EH＝AH，
∵EF＝AD，FH＝DH，
∴△EHF≌△AHD（SSS），
故②正确；
③∵△EHF≌△AHD，
∴∠EHF＝∠AHD，
∴∠AHE＝∠DHF＝90°，
∵AH＝EH，
∴∠AEH＝45°，
即∠AEF+∠HEF＝45°，
∵∠HEF＝∠HAD，
∴∠AEF+∠HAD＝45°，
故③正确；
④如图，过点H作MN⊥AD于点M，与BC交于点N，
设EC＝FD＝FG＝x，则BE＝AF＝EG＝2x，
∴BC＝DC＝AB＝AD＝3x，HM ＝1
2
x，AM＝
5
2
x
，HN＝
5
2
x，
∴
22
22
5113
222
AH x x x
⎛⎫⎛⎫
+=
⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
＝，
∴
2
1
10
2
113
2
BEH
AHE
BE HN
S
=
S AH
⋅
=，
故④错误；
故选：A．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质、矩形的性质、等腰三角形的性质及勾股定理，这是一道几何综合型题，关键是根据正方形的性质得到线段的等量关系，然后利用矩形、等腰三角形的性质进行求解即可．
6．B
解析：B
【分析】
①连接CF，证明△ADF≌△CEF，得到△EDF是等腰直角三角形；
②根据中点的性质和直角三角形的性质得到四边形CDFE是菱形，利用正方形的判定定理进行判断；
③当DE最小时，DF也最小，利用垂线段的性质求出DF的最小值，进行计算即可；
④根据△ADF≌△CEF，得到S四边形CEFD=S△AFC；
⑤由③的结论进行计算即可．
【详解】
①连接CF，
∵△ABC是等腰直角三角形，且F是AB边上的中点，
∴∠FCB=∠A=∠B =45°，CF=AF=FB，
∵AD=CE ，
∴△ADF ≌△CEF ，
∴EF=DF ，∠AFD=∠CFE ，
∵∠AFD+∠CFD=90°，
∴∠CFE+∠CFD=∠EFD=90°，
∴△EDF 是等腰直角三角形，①正确；
②当D 、E 分别为AC 、BC 中点，即DF 、EF 分别为Rt △AFC 和Rt △BFC 斜边上的中线，
∴CD=DF=
12AC ，FE=EC=12
BC ， ∴CD=DF=FE=EC ， 四边形CDFE 是菱形，又∠C=90°，
∴四边形CDFE 是正方形，②错误；
③由于△DEF 是等腰直角三角形，因此当DE 最小时，DF 也最小，
当DF ⊥AC 时，DE 最小，此时EF=DF=
12BC=4．
∴=
=
④∵△ADF ≌△CEF ，
∴S △CEF =S △ADF ，
∴S 四边形CEFD =S △AFC ，
∴四边形CDFE 的面积保持不变，④正确；
⑤由③可知当DE 最小时，DF 也最小，
DF 的最小值是4，则DE 的最小值为
当△CEF 面积最大时，此时△DEF 的面积最小．
此时S △CEF =S 四边形CEFD -S △DEF =S △AFC -S △DEF =16-8=8，⑤正确；
综上，正确的是：①④⑤，
故选：B ．
【点睛】
本题考查了正方形的判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握正方形的判定定理、全等三角形的判定定理和性质定理、理解点到直线的距离的概念是解题的关键． 7．D
解析：D
【分析】
由勾股定理可求BE 的长，由折叠的性质可得CE ＝EF ＝2，BE ⊥CF ，FH ＝CH ，由面积法可求
CH ＝5，由勾股定理可求EH 的长，由三角形中位线定理可求DF ＝2EH ＝5
． 【详解】
解：如图，连接CF ，交BE 于H ，
∵在正方形ABCD中，AB＝4，E是CD的中点，∴BC＝CD＝4，CE＝DE＝2，∠BCD＝90°，
∴BE2216425
BC CE
+=+=
∵将△BCE沿BE翻折至△BFE，
∴CE＝EF＝2，BE⊥CF，FH＝CH，
∵S△BCE＝1
2
×BE×CH＝
1
2
×BC×CE，
∴CH＝
5
5
，
∴22
165 4
55
CE CH
-=-=，∵CE＝DE，FH＝CH，
∴DF＝2EH＝
5
5
，
故选：D．
【点睛】
本题考查了翻折变换，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握折叠的性质是本题的关键．
8．B
解析：B
【分析】
先求证四边形AFPE是矩形，再根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，利用面积法可求得AP最短时的长，然后即可求出AM最短时的长．
【详解】
解：连接AP，在ABC中，AB＝5，AC＝12，BC＝13，
∴AB2+AC2＝BC2，
∴∠BAC＝90°，
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴四边形AFPE是矩形，
∴EF＝AP．
∵M是EF的中点，
∴AM＝1
2 AP，
根据直线外一点到直线上任一点的距离，垂线段最短，
即AP ⊥BC 时，AP 最短，同样AM 也最短，
∴S △ABC ＝1122BC AP AB AC ⋅=⋅， ∴111351222
AP ⨯=⨯⨯， ∴AP 最短时，AP ＝6013
， ∴当AM 最短时，AM ＝
12AP ＝3013． 故选：B ．
【点睛】
此题主要考查学生对勾股定理逆定理的应用、矩形的判定和性质、垂线段最短和直角三角形斜边上的中线的理解和掌握，此题涉及到动点问题，有一定难度．
9．C
解析：C
【分析】
根据等边三角形边长为2，在Rt BDE ∆中求得DE 的长，再根据CM 垂直平分DF ，在Rt CDN ∆中求得CN ，利用三角形中位线求得MN 的长，最后根据线段和可得CM 的长．
【详解】
解：等边三角形边长为2，12BD CD =， ∴23BD =，43
CD =， 等边三角形ABC 中，//DF AB ， 60FDC B ∴∠=∠=︒，
90EDF ∠=︒，
30BDE ∴∠=︒，
DE BE ∴⊥，
1123BE BD ∴==，2
222213()33DE BD BE ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， 如图，连接DM ，则Rt DEF ∆中，12
DM EF FM ==，
60FDC FCD ∠=∠=︒，
CDF ∴∆是等边三角形，
43
CD CF ∴==， CM ∴垂直平分DF ，
30DCN ∴∠=︒，
Rt CDN ∴∆中，43
DF =，32DN =，23CN =， ∵EM =FM ，DN =FN ， ∴132MN ED =， 23353CM CN MN ∴=+． 故选：C ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的综合应用，解决问题的关键是掌握等边三角形的性质、勾股定理、平行线的性质、线段垂直平分线的判定等．熟练掌握这些性质是解题的关键．
10．D
解析：D
【分析】
①由矩形的性质得到90OBC ∠=︒，根据折叠的性质得到OB OD =，
90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，推出四边形OBPD 是矩形，根据正方形的判定定理即可得到四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，得到10OA =，6OB =，根据直角三角形的性质得到132DH OD ，根据三角形的面积公式得到OAD ∆的面积为113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，于是得到OD CD OC ，即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，根据勾股定理得到CD 的最小值为2346；故③正确；
④根据已知条件推出P ，D ，A 三点共线，根据平行线的性质得到OPB
POA ，等量代换得到OPA
POA ，求得10AP OA ，根据勾股定理得到1082BP BC CP ，故④正确．
【详解】
解：①四边形OACB 是矩形，
90OBC ∴∠=︒，
将OBP ∆沿OP 折叠得到OPD ∆，
OB OD ∴=，90PDO OBP ，BOP DOP ∠=∠，
45BOP ，
45DOP BOP ，
90BOD =∴∠︒，
90BOD OBP ODP ，
∴四边形OBPD 是矩形，
OB OD =，
∴四边形OBPD 为正方形；故①正确；
②过D 作DH OA ⊥于H ，
点(10,0)A ，点(0,6)B ，
10OA ∴=，6OB =，
6OD OB
，30BOP DOP ， 30DOA ， 132DH OD ，
OAD ∴∆的面积为
113101522OA DH ，故②正确； ③连接OC ，
则OD CD OC ，
即当OD CD OC +=时，CD 取最小值，
6AC
OB ，10OA =， 2222106234OC OA AC ，
2346CD OC OD ，
即CD 的最小值为6；故③正确；
④
⊥OD AD ， 90ADO ∴∠=︒， 90ODP OBP ，
180ADP ，
P ∴，D ，A 三点共线，
//OA CB ，
OPB POA ， OPB OPD ， OPA
POA ， 10AP OA ，
6AC =，
221068CP ，
1082BP BC CP ，故④正确；
故选：D ．
【点睛】
本题考查了正方形的判定和性质，矩形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．
二、填空题
11．52
【分析】
连接DM ，直角三角形斜边中线等于斜边一半，得AM=DM ，利用两边之差小于第三边得到AM MN DN -≤，又根据三角形中位线的性质即可求解．
【详解】
连接DM ，如下图所示，
∵90BAC EDF ∠=∠=︒
又∵M 为EF 中点
∴AM=DM=12
EF ∴AM MN DM MN DN -=-≤（当D 、M 、N 共线时，等号成立）
∵D 、N 分别为BC 、AC 的中点，即DN 是△ABC 的中位线
∴DN=12AB=52
∴AM MN -的最大值为
52 故答案为
52． 【点睛】
本题考查了直角三角形斜边中线的性质，三角形的三边关系，关键是确定AM MN -的取值范围．
12．8
【分析】
通过作辅助线使得△CAO ≌△GBO ，证明△COG 为等腰直角三角形，利用勾股定理求出CG 后，即可求出BC 的长．
【详解】
如图，延长CB 到点G ，使BG=AC ．
∵根据题意，四边形ABED 为正方形，
∴∠4=∠5=45°，∠EBA=90°，
∴∠1+∠2=90°
又∵三角形BCA 为直角三角形，AB 为斜边，
∴∠2+∠3=90°
∴∠1＝∠3
∴∠1+∠5=∠3+∠4，故∠CAO ＝∠GBO ，
在△CAO 和△GBO 中，
CA GB CAO GBO AO BO =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
故△CAO ≌△GBO ，
∴CO ＝GO=627=∠6，
∵∠7+∠8=90°，
∴∠6+∠8=90°，
∴三角形COG 为等腰直角三角形，
∴()()22
22=
6262CO GO ++， ∵CG=CB+BG ，
∴CB=CG－BG=12－4=8，
故答案为8．
【点睛】
本题主要考查正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据题意建立正确的辅助线以及掌握正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解答本题的关键．
13．①③④
【分析】
由“AAS”可证△AOE≌△COF，△AHO≌△CGO，可得OE=OF，HO=GO，可证四边形EGFH 是平行四边形，由EF⊥GH，可得四边形EGFH是菱形，可判断①③正确，若四边形ABCD 是正方形，由“ASA”可证△BOG≌△COF，可得OG=OF，可证四边形EGFH是正方形，可判断④正确，即可求解．
【详解】
解：如图，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AO＝CO，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠BAO＝∠DCO，∠AEO＝∠CFO，
∴△AOE≌△COF（AAS），
∴OE＝OF，
∵线段EF的垂直平分线分别交BC、AD边于点G、H，
∴GH过点O，GH⊥EF，
∵AD∥BC，
∴∠DAO＝∠BCO，∠AHO＝∠CGO，
∴△AHO≌△CGO（AAS），
∴HO＝GO，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∵EF⊥GH，
∴四边形EGFH是菱形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴随着点E的移动可以得到无数个平行四边形EGFH，
随着点E的移动可以得到无数个菱形EGFH，
故①③正确；
若四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，∠GBO＝∠FCO＝45°，OB＝OC；
∵EF⊥GH，
∴∠GOF＝90°；
∠BOG+∠BOF＝∠COF+∠BOF＝90°，
∴∠BOG＝∠COF；
在△BOG和△COF中，
∵
BOG COF BO CO
GBO FCO ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
，
∴△BOG≌△COF（ASA）；
∴OG＝OF，
同理可得：EO＝OH，
∴GH＝EF；
∴四边形EGFH是正方形，
∵点E是AB上的一个动点，
∴至少得到一个正方形EGFH，故④正确，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是关键．
14．3﹣
3
2 2
【分析】
作辅助线，构建全等三角形和矩形，利用面积法可得AE的长，根据勾股定理可得BE的长，设AE＝x，证明△ABE≌△EQF（AAS），得FQ＝BE＝2，最后根据三角形面积公式可得结论．
【详解】
解：如图，过D作DH⊥AE于H，过E作EM⊥AD于M，连接DE，
∵EF⊥AE，DF⊥EF，
∴∠DHE＝∠HEF＝∠DFE＝90°，
∴四边形DHEF是矩形，
∴DH＝EF＝AE，
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠B ＝∠BAD ＝90°，
∵∠AME ＝90°，
∴四边形ABEM 是矩形，
∴EM ＝AB ＝2，
设AE ＝x ，
则S △ADE ＝
11AD EM AE DH 22
⋅=⋅， ∴3×2＝x 2，
∴x ，
∵x ＞0，
∴x ，
即AE ，
由勾股定理得：BE ，
过F 作PQ ∥CD ，交AD 的延长线于P ，交BC 的延长线于Q ，
∴∠Q ＝∠ECD ＝∠B ＝90°，∠P ＝∠ADC ＝90°，
∵∠BAE ＋∠AEB ＝∠AEF ＝∠AEB ＋∠FEQ ＝90°，
∴∠FEQ ＝∠BAE ，
∵AE ＝EF ，∠B ＝∠Q ＝90°，
∴△ABE ≌△EQF （AAS ），
∴FQ ＝BE ，
∴PF ＝2，
∴S △ADF ＝
1AD PF 2⋅＝13(22⨯⨯＝3﹣2
． 【点睛】
此题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，有难度，正确作辅助线构建全等三角形是关键，并用方程的思想解决问题．
15．【分析】
作BE ⊥AD 于E ，BF ⊥CD 于F ，则四边形BEDF 是矩形，证明△ABE ≌△CBF （AAS ），得出BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，则四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正
方形BEDF 的面积，求出，即可求得BD 的长．
【详解】
解：作BE ⊥AD 交DA 延长线于E ，BF ⊥CD 于F ，如图所示：
则∠BEA=∠BFC=90°，
∵∠ADC=90°，
∴四边形BEDF 是矩形，
∴∠EBF=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠EBF=∠ABC=90°，
∴∠ABE=∠CBF ，
在△ABE 和△CBF 中，
BEA BFC ABE CBF AB CB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△ABE ≌△CBF （AAS ），
∴BE=BF ，△ABE 的面积=△CBF 的面积，
∴四边形BEDF 是正方形，四边形ABCD 的面积=正方形BEDF 的面积，
∴BE=DE ，BE 2=10 cm 2，
∴10(cm)，
∴25．
故答案为：5
【点睛】
本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识；熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键．
16．①②④
【分析】
①根据平行四边形的性质和等腰三角形的性质即可判断；
②延长EF ，交CD 延长线于点M ，首先根据平行四边形的性质证明AEF
DFM ≅△△，得出,FE MF AEF
M =∠=∠，进而得出90ECD AEC ∠=∠=︒，从而利用直角三角形斜边中线的性质即可判断；
③由FE MF =，得出EFC CFM S
S =，从而可判断正误； ④设FEC x ∠= ，利用三角形内角和定理分别表示出∠DFE 和∠AEF ，从而判断正误．
【详解】
①∵点F 是AD 的中点，
∴AF FD = ．
∵在平行四边形ABCD 中，AD ＝2AB ，
//,AD BC AF FD CD ∴==，
,DFC FCB DFC DCF ∴∠=∠∠=∠ ，
FCB DCF ∴∠=∠，
∴∠BCD ＝2∠DCF ，故①正确；
②延长EF ，交CD 延长线于点M ，
∵四边形ABCD 是平行四边形，
//AB CD ∴，
A MDF ∴∠=∠，
∵点F 是AD 的中点，
∴AF FD = ．
在AEF 和DFM 中，A FDM AF DF
AFE DFM ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
()AEF DFM ASA ∴≅△△
,FE MF AEF M ∴=∠=∠．
CE AB ⊥ ，
90AEC ∴∠=︒，
90ECD AEC ∴∠=∠=︒，
12
CF EM EF ∴==，故②正确； ③∵FE MF =，
∴EFC CFM S S = ．
CFM CDF MDF S S S =+△△△
CDF EFC S S ∴<△△，故③错误；
④设FEC x ∠= ，则FCE x ∠=，
90DCF DFC x ∴∠=∠=︒- ，
1802EFC x ∴∠=︒-，
9018022703EFD x x x ∴∠=︒-+︒-=︒- ．
90AEF x ∠=︒- ，
3DFE AEF ∴∠=∠，故④正确；
综上所述，正确的有①②④，
故答案为：①②④．
【点睛】
本题主要考查平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，三角形内角和定理，掌握这些性质和定理是解题的关键．
17．①②③④
【分析】
根据正方形的性质和SAS可证明△ABG≌△AEC，然后根据全等三角形的性质即可判断①；设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，根据全等三角形对应角相等可得
∠ACE＝∠AGB，然后根据三角形的内角和定理可得∠CNG＝∠CAG＝90°，于是可判断②；过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，根据余角的性质即可判断④；利用AAS即可证明△ABH≌△EAP，可得EP＝AH，同理可证GQ＝AH，从而得到EP ＝GQ，再利用AAS可证明△EPM≌△GQM，可得EM＝GM，从而可判断③，于是可得答案．
【详解】
解：在正方形ABDE和ACFG中，AB＝AE，AC＝AG，∠BAE＝∠CAG＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAG+∠BAC，
即∠CAE＝∠BAG，
∴△ABG≌△AEC（SAS），
∴BG＝CE，故①正确；
设BG、CE相交于点N，AC、BG相交于点K，如图1，
∵△ABG≌△AEC，
∴∠ACE＝∠AGB，
∵∠AKG＝∠NKC，
∴∠CNG＝∠CAG＝90°，
∴BG⊥CE，故②正确；
过点E作EP⊥HA的延长线于P，过点G作GQ⊥AM于Q，如图2，
∵AH ⊥BC ，
∴∠ABH +∠BAH ＝90°，
∵∠BAE ＝90°，
∴∠EAP +∠BAH ＝90°，
∴∠ABH ＝∠EAP ，即∠EAM ＝∠ABC ，故④正确；
∵∠AHB =∠P =90°，AB =AE ，
∴△ABH ≌△EAP （AAS ），
∴EP ＝AH ，
同理可得GQ ＝AH ，
∴EP ＝GQ ，
∵在△EPM 和△GQM 中，
90P MQG EMP GMQ EP GQ ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EPM ≌△GQM （AAS ），
∴EM ＝GM ，
∴AM 是△AEG 的中线，故③正确．
综上所述，①②③④结论都正确．
故答案为：①②③④．
【点睛】
本题考查了正方形的性质、三角形的内角和定理以及全等三角形的判定和性质，作辅助线构造出全等三角形是难点，熟练掌握全等三角形的判定和性质是关键．
18．8或12
【分析】
根据平行四边形的性质得到BC=AD=5，∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，根据角平分线的性质得到DE=AD=5，CF=BC=5，即可求出答案.
【详解】
在ABCD 中，AB ∥CD ，BC=AD=5，
∴∠BAE=∠DEA ，∠ABF=∠BFC ，
∵BAD ∠的平分线交CD 于点E ，
∴∠BAE=∠DAE ，
∴∠DAE=∠DEA，
∴DE=AD=5，
同理：CF=BC=5，
∴AB=CD=DE+CF-EF=5+5-2=8或AB=DE+CF+EF=5+5+2=12，
故答案为：8或12.
【点睛】
此题考查平行四边形的性质，角平分线的性质，等腰三角形的等角对等边的判定，解题中注意分类思想的运用，避免漏解.
19．10+55
【分析】
取DE的中点N，连结ON、NG、OM．根据勾股定理可得55
NG=．在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），M、O、N、G四点共线，此时等号成立（如图2）．可得线段MG的最大值．
【详解】
如图1，取DE的中点N，连结ON、NG、OM．
∵∠AOB＝90°，
∴OM＝1
2
AB＝5．
同理ON＝5．
∵正方形DGFE，N为DE中点，DE＝10，
∴2222
10555
NG DN DG
++
＝＝＝．
在点M与G之间总有MG≤MO+ON+NG（如图1），
如图2，由于∠DNG 的大小为定值，只要∠DON＝12∠DNG，且M 、N 关于点O 中心对称时，M 、O 、N 、G 四点共线，此时等号成立，
∴线段MG 取最大值10+55．
故答案为：10+55．
【点睛】
此题考查了直角三角形的性质，勾股定理，四点共线的最值问题，得出M 、O 、N 、G 四点共线，则线段MG 长度的最大是解题关键．
20．5
【分析】
先判断四边形BCEF 的形状，再连接FM FC 、，利用正方形的性质得出AFG 是等腰直角三角形，再利用直角三角形的性质得出12
MN FC =
即可． 【详解】
∵四边形ABCP 是边长为4的正方形，//EF BC ，
∴四边形BCEF 是矩形，
∵1PE =，
∴3CE =，
连接FM FC 、，如图所示：
∵四边形ABCP 是正方形，
∴=45BAC ∠ ，AFG 是等腰直角三角形，
∵M 是AG 的中点，即有AM MG = ，
∴FM AG ⊥，FMC 是直角三角形，
又∵N 是FC 中点，12MN FC =，
∵225FC BF BC =+=
∴ 2.5MN =，
故答案为：2.5 ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，等腰三角形和直角三角形的性质，解题的关键在于合理作出辅助线，通过直角三角形的性质转化求解．
三、解答题
21．（1）①6；②结论：//P EC A ；（2）为4和16．
【分析】
()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求.理由勾股定理可得DE ．
②如图2中，结论：EC//PA.只要证明PA BE ⊥，EC BE ⊥即可解决问题． ()2分两种情形分别求解即可解决问题．
【详解】
解：()1①如图1中，以A 为圆心AB 为半径画弧交CD 于E ，作EAB ∠的平分线交BC 于点P ，点P 即为所求．
在Rt ADE 中，90D ∠=，10AE AB ==，8AD =，
22221086DE AE AD ∴=-=-=，
故答案为6．
②如图2中，结论：//P EC A ．
理由：由翻折不变性可知：AE AB =，PE PB =，
PA ∴垂直平分线段BE ，
即PA BE ⊥，
PB PC PE ==，
90BEC ∠∴=，
EC BE ∴⊥，
//EC PA ∴．
()2①如图31-中，当点Q 在线段CD 上时，设DQ QD'x ==．
在Rt AD'B 中，AD'AD 8==，AB 10=，AD'B 90∠=， 22BD'AB AD'6∴=-=， 在Rt BQC 中，
222CQ BC BQ +=， 222(10x)8(x 6)∴-+=+，
x 4∴=，
DQ 4∴=．
②如图32-中，当点Q 在线段DC 的延长线上时，
DQ //AB ，
DQA QAB ∠∠∴=，
DQA AQB ∠∠=，
QAB AQB ∠∠∴=，
AB BQ 10∴==，
在Rt BCQ 中，CQ BQ 6==，
DQ DC CQ 16∴=+=，
综上所述，满足条件的DQ 的值为4或16．
故答案为4和16．
【点睛】
本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题．
22．（1）见解析；（2）24；（3）5AI =．
【分析】
（1）证∠BDA ＝∠CEA ＝90°，∠CAE ＝∠ABD ，由AAS 证明△ABD ≌△CAE 即可； （2）连接CE ，交AF 于O ，由菱形的性质得∠COA ＝∠ADB ＝90°，同（1）得
△ABD ≌△CAO （AAS ），得OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，由三角形面积公式求出S △AOC ＝6，即可得出答案；
（3）过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，同（1）得△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），得EM ＝AH ＝GN ，证△EMI ≌△GNI （AAS ），得EI ＝GI ，证∠EAG ＝90°，由勾股定理求出EG ＝10，再由直角三角形的性质即可得出答案．
【详解】
（1）证明：∵BD ⊥直线l ，CE ⊥直线l ，
∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°，
∵∠BAC ＝90°，
∴∠BAD +∠CAE ＝90°
∵∠BAD +∠ABD ＝90°，
∴∠CAE ＝∠ABD
在△ABD 和△CAE 中，
ABD CAE BDA CEA AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABD ≌△CAE （AAS ）；
（2）解：连接CE ，交AF 于O ，如图②所示：
∵四边形AEFC 是菱形，
∴CE ⊥AF ，
∴∠COA ＝∠ADB ＝90°，
同（1）得：△ABD ≌△CAO （AAS ），
∴OC ＝AD ＝3，OA ＝BD ＝4，
∴S △AOC ＝12OA •OC ＝12
×4×3＝6， ∴S 菱形AEFC ＝4S △AOC ＝4×6＝24，
故答案为：24；
（3）解：过E 作EM ⊥HI 的延长线于M ，过点G 作GN ⊥HI 于N ，如图③所示： ∴∠EMI ＝∠GNI ＝90°，
∵四边形ACDE 和四边形ABFG 都是正方形，
∴∠CAE ＝∠BAG ＝90°，AC ＝AE ＝8，AB ＝AG ＝6，
同（1）得：△ACH ≌△EAM （AAS ），△ABH ≌△GAN （AAS ），
∴EM ＝AH ＝GN ，
在△EMI 和△GNI 中，
EIM GIH EMI GNI EM GN ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴△EMI ≌△GNI （AAS ），
∴EI ＝GI ，
∴I 是EG 的中点，
∵∠CAE ＝∠BAG ＝∠BAC ＝90°，
∴∠EAG ＝90°，
在Rt △EAG 中， EG ＝22AE
AG +
＝2286+＝10，
∵I 是EG 的中点， ∴AI ＝12EG ＝12
×10＝5．
【点睛】
本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、菱形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理、三角形面积等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
23．（1）详见解析；（2）是，详见解析；（3）132。