用最小二乘法求解线性模型及对模型的分析_1

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 用最小二乘法求解线性模型及对模型的分析
用最小二乘法求解线性模型及对模型的分析用最小二乘法求
解线性模型及对模型的分析作者:邓春亮试用计算机完成
下面统计分析：
（1）应用最小二乘法求经验回归方程； i 为纵坐标，作残差图，分析 Gauss-Markou 假设对本例的适用性； i 为横坐标，残差 e（2）以拟合值 y （3）考虑因变量的变换 U Y, 再对新变量 U 和 X 重复（1）和（2）的统计分析; （4）将Box-Cox 变换应用到本例，计算变换参数的值，并做讨论。

说明：
第一题的数据和结果文件见附件 1，下面第二题的数据文件和
结果文件见附件2，必要时可参看。

12 解：
（1）在 SPSS 窗口中录入数据，首先进行异常值检测，探
查对回归估计有异常大影响的数据。

先利用 SPSS 画出体重与身高的散点图 1 图１－1 从图 1 可以看出没有明显不一致的点。

也可以通过 SPSS 软件计算 COOK 统计量，看下表表
１－1 2 从上面数据看残差值和中心化的杠杆率 centerhii 的值没有异常大的，数据, 这里(hii= centerhii+1/n) ， COOK 统
计量 Di 值也没有异常大的数据，一般来说，残差值和杠杆率越大，
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COOK 统计量就越大，残差值和杠杆率越小， COOK 统计量就越小。

可见这些数据是比较一致的。

接下来对这些数据求解经验回归方程。

然后利用最小二乘法，在 SPSS 中 Analyze 菜单下依次选择 Regress: 2-Stage Least Square, 选择因变量和自变量执行可输出结果如下表：
表１－2 3 这里可以看出所求经验回归方程的常数项(Constant) 为-26. 615154，身高 X 的系数为0. 395087。

故经验回归方程为：
yi=-26. 615154+0. 395087xi （2）通过 SPSS, 可得拟合值与残差如下表 i 为纵标，得残差图 i 为横坐标，残差 e 以拟合值 y 4 图１－2 2 从图中可以看出，残差图没有明显的不一致的征兆，则可以认为 Gauss-Markou 假设e N 0, I 对本例基本上是合理的。

（3）作变换 U Y, 这时用同样的方法可求得经验回归方程为：
ui=-0. 314471+0. 040641xi 12 5 i 为纵坐标，作残差图得 i 为横坐标，残差 e 以拟合值 y 6 图 3 2 从图 3 看，此时的残差图也没有明显的不一致的趋势，认为Gauss-Markou 假设e N0, I 对本例基本上是合理的。

（4）将因变量 Y 进行 Box-Cox 变换， Y Y 1, lnY,
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y1 , y 2 , , y n 变换后原来的因变量 Y y1, y2, , yn 变为 Y 计算不同值对应的残差平方和 RSS , z，7 zi yi,
1 n n yi i 1 1 n n lnyy
i i, i 1 这里分别取i, i 1, 2, 7 值为-1. 5， -1， -0. 5， 0， 0. 5，1， 1. 5，计算分别计算zi ，然后计算对应的残差平方和RSS , z ，这里 n=30, 计算得到 z 如表所示，这里 Zi 表示 zi1。

i 通过 SPSS 软件运行得到的方差分析表，可知道相应的残差平方和，具体数据如下表所示：
8 通过表 6 的简单比较可以看出当0. 5 时，残差平方和 RSS , z 达到最小，因此我们可以近似地认为 0.
5 就是变换参数的最优选择. 2、研究儿童的体重 Y 与身高 X1 和胸围 X2 之间的关系是具有一定现实意义的，因为这种关系使我们能够用简单的方法从 X1 和 X2 的值去估计一个儿童的体重，下表是一组观测数据: 表２－１试用计算机完成下面的统计分析：
（1）先假设 Y 与 X1 和 X2 有如下线性关系：
Y 1X1 2X2 e，做最小二乘分析，并做相应的残
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差图。

9 试计算 Box-Cox 变换参数的值. （2）对（1）
中计算出的变换参数值，做相应的 Box-Cox 变换，并对变换后
的因变量做对 X1 和 X2 的最小二乘回归，并做残差图。

解：
（1）先计算中心化杠杆率 centerhii 和 COOK 统计量 Di
的值从表中 2-1 的计算结果可以看出，第 19 个观测的杠
杆率最高为 0. 33436. 。

因此，第 19个样本点最有可能对模型拟合造成较大的影响。

然后求解经验回归方程，从运行结果的方差分析表 2-2（ANOVA(b) ）可以看出 F 统计量的 P-值（Sig. ）为 0. 000，这
表明模型在总体中是显著的。

表 2-2 ANOVA(b) 10 表 2-3 从回归系数计算分析表
2-3（Coefficients(a) ），可知道回归方程的常数项为-36. 133，
自变量身高和胸围相对应的未标准化的回归系数（Unstandardized Coefficients）分别为 0. 299、 0. 362，因而回归方程为 yi 36. 133 0. 299x1i 0. 362x2i 且从表中可知 3 个系数的 t 统
计量的 P 值均为 0. 000，这表明模型在总体中是显著的。

i 为纵坐标，作残差图：
i 为横坐标，残差 e 以拟合值 y 图 2-1 残差图 11 从图 2-1 可以看出，残差图从左至右逐渐散开呈漏斗状，这是误
差方差不相等的征兆。

---------------------------------------------------------------最新资料推荐------------------------------------------------------ 考虑将因变量 Y 进行 Box-Cox 变换，跟第一题的（4）问同样。

这里同样分别取i, i 1, 2, 7 值为-1. 5， -1， -0. 5，0， 0. 5， 1， 1. 5，计算分别计算 zi ，然后计算
对应的残差平方和 RSS , z ，这里 n=30, 计
算得到 z i 如表 1-5 所示，然后计算对应自变量 X1 和 X2 的残差平方和 RSS , z 。

得 Z1 , Z2 Z7 方差分析表如下 12 13 从上面的方差分析表中可以得到i, i 1, 2, , 7 对应的残差平
方和RSS i, z 表2-4 i 34. 747 达到最小，而0. 5 对应的从这个表中可的简单比较可
以看出当0 时，残差平方和 RSS , z 残差平方和次
之为 34. 857，且从的方差分析表可知它们对应的 P 值都为 0. 000，都具有显著性。

现在再看0 和0. 5 时, 对应因变量 Z4 和 Z5 对应的回归系数分析表。

从上面两个表可知，因变量为 Z4，即0 时的回归系
数常数项（Constant）值为14. 092，对应的回归方程为 zi 14. 092 0. 290x1i 0. 367x2i，但其常数项对应的 P 值（Sig）
为 0. 016，还是比较大的，当取0. 005 时，则方程常数
项就不具有显著性了；因变量为 Z5，即0. 5 时的回归系数常
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数项（Constant）值为-22. 235，对应的回归方程为 zi 22. 235
0. 294x1i 0. 364x2i，其所有系数的 P 值都是 0. 000，这个值
是很小的，都具有显著性。

这说明0. 5 时，因变量 Z5 对自变量 X1 和 X2 进行模
拟得到的方程显著性更好一些。

因此 0. 5 才是变换参数的 14 最优选择. （3）当
0. 5 时， Y 对应的 Box-Cox 变换即为 Z5，如上面可知这时因变
量 Z5 对应的回归方程为 i 如下表 i 和残差 ezi 22. 235
0. 294x1i 0. 364x2i，这时因变量 Z5 对应的拟合值 z 表 2-5
i 为纵坐标，作残差图如图 2-2：
这时从图 2-2 可以看出通过 Box-Cox 变换后的残差 i为横坐
标，残差 e 以拟合值 z 图比没有变换时的残差图集中程度好多
了，散开的趋势弱了很多。

15 图2-2 16 %jK1sT9A!iJ+qR8zZ
gH-pP6xYeF(nO4vWdElM3uU bC%jK1sT9A!i
J+qR8zZgH-pP6xYeF(nO4vWd ElM3u UbC%jK 1sT9A!
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