新教材高中数学第2章一元二次函数方程和不等式2 2第2课时基本不等式的实际应用巩固练习含解析新人教A

第2课时 基本不等式的实际应用
课后训练巩固提升
1.当x<0时,y=12
x +4x 的最大值为( ) B.-8 C.-8√3 D.-16
x<0,∴-x>0,
∴y=-[(-12
x )+(-4x )]≤-2√(-12
x )·(-4x )=-8√3.
2.函数y=√x
x+1
的最大值为( )
A.2
5
B.1
2
C.√22
D.1
x=0时,y=0;当x>0时,x+1≥2√x >0,则y ≤√x
2√x
=1
2,当且仅当x=1时,等号成立.
故函数y=√x
x+1的最大值为12
.
3.当a>0时,关于代数式2a
a 2+1,下列说法正确的是( ) A.有最大值无最小值
B.有最小值无最大值 D.无最小值也无最大值
a>0,
∴a 2+1=
2
a+1a
≤
2√a ·
1
a
=1,当且仅当a=1
a
,即a=1时,取等号,故a>0,代数式2a
a 2+1
有最大值1,没有最小
值.
4.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车并将其投入营运,据市场分析,每辆客车营运的总利润y (单位:万元)与营运年数x 的函数关系为y=-(x-6)2+11(x ∈N *),则营运的年平均利润最大时,每辆客车的营运年数为( ) A.3 B.4 C.5 D.6
,y
x =-(x +25
x
)+12≤-2√x ×25
x
+12,当且仅当x=25
x 时,等号成立,即x=5时,营运的年平均利润最大.
5.若对x>0,y>0,有(x+2y )(2
x +1
y )≥m 恒成立,则m 的取值范围是( )
A.m ≤8
B.m>8
C.m<0
D.m ≤4
(x+2y )(2
x +1
y )=2+4y
x +x
y +2≥4+2√4y x ·x
y =8,∴m ≤8.
6.若函数y=x+1
x -2
(x>2)在x=a 处取最小值,则a= .
y=x+
1
x -2
=x-2+
1
x -2
+2.
∵x>2,∴x-2>0.
∴y=x-2+1
x -2+2≥2√(x -2)·1
x -2+2=4,
当且仅当x-2=
1x -2,即x=3时,“=”成立.
又y 在x=a 处取最小值,∴a=3.
7.已知a>0,b>0,1
a
+2
b =2,则a+2b 的最小值为 .
a>0,b>0,1a
+2
b
=2,
∴a+2b=12(a+2b )(1a +2b )=125+2b a +
2a b
≥12(5+4)=92,当且仅当2b a =
2a
b
,且1a +2b =2,即a=b=3
2时,取等号,∴a+2b 的最小值为9
2.
8.在4×□+9×□=60的两个□中,分别填入两个自然数,使它们的倒数和最小,应分别填上
x ,y ,即4x+9y=60, 1
x
+1
y =(1
x +1
y )(4x+9y 60
)=160(13+
4x y
+
9y
x
)≥160×(13+12)=5
12, 当且仅当
4x y
=
9y x
,且4x+9y=60,即x=6,且y=4时,等号成立,故应分别填上6,4.
4 9.(1)求函数y=
1
4x -5+4x (x >5
4
)的最小值;
(2)求函数y=x (a-2x )(x>0,a 为大于2x 的常数)的最大值; (3)已知x>0,y>0,且1
x +9
y =1,求x+y 的最小值.
∵x>5
4,4x-5>0,
∴y=14x -5+4x=1
4x -5+(4x-5)+5≥7,
当且仅当4x-5=1
4x -5,即x=3
2时,取等号.
∴y 的最小值为7.
(2)∵x>0,a>2x ,
∴y=x (a-2x )=1
2·2x ·(a-2x )≤1
2·[
2x+(a -2x )2
]2
=
a 28
,
当且仅当x=a
4时取等号,∴y的最大值为a
2
8
.
(3)方法一:∵1
x +9
y
=1,
∴x+y=(x+y)(1
x +9
y
)=10+y
x
+9x
y
.
∵x>0,y>0,∴y
x +9x
y
≥2√y
x
·9x
y
=6.
当且仅当y
x =9x
y
,即y=3x时,取等号.
又1
x +9
y
=1,∴x=4,y=12.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
方法二:由1
x +9
y
=1,得x=y
y-9
.
∵x>0,y>0,∴y>9.
x+y=y
y-9+y=y+y-9+9
y-9
=y+9
y-9
+1=(y-9)+9
y-9
+10.
∵y>9,∴y-9>0,
∴y-9+9
y-9+10≥2√(y-9)·9
y-9
+10=16,
当且仅当y-9=9
y-9
,即y=12时,取等号.
又1
x +9
y
=1,∴x=4.
∴当x=4,y=12时,x+y取最小值16.
10.某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD,公园由形状为长方形
A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成.已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米,人行道的宽分别为4米和10米(如图所示).
(1)若设休闲区的长和宽的比|A1B1|
|B1C1|
=x(x>1),求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式; (2)要使公园所占面积最小,休闲区A1B1C1D1的长和宽该如何设计?
设休闲区的宽为a米,则长为ax米,由a2x=4000,得a=√10
√x
.
则S=(a+8)(ax+20)=a2x+(8x+20)a+160=4000+(8x+20)·√10
√x
+160
=80√10(2√x
√x
)+4160(x>1).
(2)80√10(2√x √
x
)+4160≥80√10×2√2√x √x
+4160
=1600+4160=5760. 当且仅当2√x =
√x
,即x=2.5时,等号成立,此时a=40,ax=100.
所以要使公园所占面积最小,休闲区A 1B 1C 1D 1应设计为长100米,宽40米.
1.若a>0,b>0,且a+b=4,则下列不等式恒成立的是() A.1
ab ≤1
4
B.1
a +1
b ≤1
C.√ab ≥2
D.a 2+b 2≥8
=a+b ≥2√ab (当且仅当a=b 时,等号成立),即√ab ≤2,ab ≤4,故1
ab ≥1
4,选项A,C 不成立; 1
a
+1
b =a+b ab
=4
ab ≥1,选项B 不成立;
22(a+b )2-2ab=16-2ab ≥8,选项D 成立.
2.已知x ,y>0,x+y=1,若4xy<t 恒成立,则实数t 的取值范围是( ) A.t>1 B.t<1 C.t<2 D.t>2
,得4xy ≤4·(
x+y 2
)2=1,当且仅当x=y=1
2时,等号成立,所以4xy 的最大值为1,
则t>1.
因此实数t 的取值范围是t>1.
3.若正数x ,y 满足x+3y=5xy ,则3x+4y 的最小值是( ) A.24
5
B.28
5
C.5
D.6
x+3y=5xy 可得
1
5y
+
35x
=1,所以3x+4y=(3x+4y )(
1
5y
+
35x
)=95+45+3x 5y +12y 5x
≥
13
5
+2√3x 5y ·12y
5x
=
135
+
12
5
=5,当且仅当x=1,y=1
2时,取等号. 故3x+4y 的最小值是5.
4.已知正数x ,y 满足x 2+2xy-3=0,则2x+y 的最小值是( ) A.1 B.3 C.6 D.12
x 2+2xy-3=0,∴y=
3-x 22x
,
∴2x+y=2x+3-x 22x =
3x 2+32x
=
3x 2
+3
2x ≥2√3x
2·3
2x =3.
当且仅当3x
2=3
2x ,即x=1时,取等号.
5.函数y=
x 2+2x+2x+1
(x>-1)的图象的最低点坐标是 .
,y=(x+1)2+1x+1
=(x+1)+
1
x+1
≥2,当不等式取等号时,x=0,y=2,即函数图象的最低点坐
标为(0,2).
6.设a>1,b>0,若a+b=2,则2a -1+1
b 的最小值为 .
a>1,b>0,且a+b=2,得a-1+b=1,a-1>0,b>0, 则2
a -1+1
b =(2
a -1+1
b )〖(a-1)+b 〗=3+2b
a -1+a -1b
≥3+2√2b a -1·
a -1b
=3+2√2,
当且仅当
2b a -1
=
a -1b
,且a+b=2,即a=3-√2,b=√2-1时取得最小值3+2√2.
+2√2
7.已知正常数a ,b 和正变数x ,y 满足a+b=10,a
x +b
y =1,x+y 的最小值是18,求a ,b 的值.
x+y=(x+y )(a
x +b
y )=a+b+bx
y
+
ay x
≥a+b+2√ab =(√a +√b )2,∴(√a +√b )2=18.
又a+b=10,∴a=2,b=8或a=8,b=2.
8.某企业准备投入适当的广告费对产品进行促销,在一年内预计销售量Q (单位:万件)与广告费x (单位:万元)之间的函数关系为Q=
3x+1x+1
(x ≥0).已知生产此产品的年固定投入为3万元,每生产1
万件此产品仍需再投入32万元.若每件产品的销售价为“年平均每件产品的生产成本的150%”与“年平均每件产品所占广告费的50%”之和.
(1)试将年利润W (单位:万元)表示为年广告费x (单位:万元)的函数; (2)当年广告费投入多少万元时,企业年利润最大?最大利润为多少?
由题意可得,产品的生产成本为(32Q+3)万元,每件销售价为32Q+3Q
×150%+x
Q
×50%,
所以年销售收入为 (
32Q+3Q
×150%+x Q ×50%)·Q=32(32Q+3)+1
2x.
所以年利润
W=3
2(32Q+3)+1
2x-(32Q+3)-x=1
2(32Q+3-x )=-x 2+98x+352(x+1)(x ≥0).
(2)令x+1=t (t ≥1),则W=-(t -1)2+98(t -1)+35
2t =50-(t
2
+
32t
).
因为t ≥1,所以t
2+
32t
≥2√t 2
·32t
=8,即W ≤42,当且仅当t
2
=
32t
,即t=8时,W 有最大值42,此时x=7.
故当年广告费为7万元时,企业年利润最大,最大值为42万元.。