2019-2020学年新教材人教A版数学必修第一册课后作业14一元二次不等式的应用 Word版含解析

课后作业(十四)
复习巩固
一、选择题
1．不等式4x ＋2
3x －1>0的解集是( )
A.⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x | x >13或x <－12 B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x | －12<x <13 C.⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x | x >13 D.⎩
⎨⎧
⎭
⎬⎫x | x <－12
[解析] 4x ＋23x －1>0⇔(4x ＋2)(3x －1)>0⇔x >13或x <－1
2，此不等式的
解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x | x >13或x <－12. [答案] A
2．不等式2－x x ＋1<1的解集是( )
A ．{x |x >1}
B ．{x |－1<x <2} C.⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x | x <－1或x >12 D.⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x | －1<x <12 [解析] 原不等式等价于
2－x x ＋1
－1<0⇔
1－2x x ＋1
<0⇔(x ＋1)·(1－
2x )<0⇔(2x －1)(x ＋1)>0，解得x <－1或
x >1
2. [答案] C
3．不等式x ＋5
(x －1)2
≥2的解集是( )
A.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪ －3≤x ≤12 B.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪
⎪⎪ －12≤x ≤3
C.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪ 12≤x <1或1<x ≤3 D.⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪
⎪⎪ －1
2≤x ≤3且x ≠1
[解析]
∵原不等式等价于⎩⎨
⎧
x ＋5≥2(x －1)2，
x ≠1，
∴⎩⎨⎧
2x 2－5x －3≤0，x ≠1，∴⎩⎪⎨⎪⎧
－12≤x ≤3，
x ≠1，
即⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
－12≤x ≤3且x ≠1. [答案] D
4．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积不小于300 m 2
的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x (单位：m)的取值范围是( )
A ．15≤x ≤30
B ．12≤x ≤25
C ．10≤x ≤30
D ．20≤x ≤30
[解析] 设矩形的另一边长为y m ，则由三角形相似知，x 40＝
40－y
40，∴y ＝40－x ，∵xy ≥300，∴x (40－x )≥300，∴x 2
－40x ＋300≤0，∴10≤x ≤30.
[答案] C
5．设集合P ＝{m |－4<m <0}，Q ＝{m |mx 2－mx －1<0，x ∈R }，则下列关系式成立的是( )
A ．P
Q
B ．Q P
C ．P ＝Q
D ．P ∩Q ＝Q
[解析] 对Q ：若mx 2－mx －1<0对x ∈R 恒成立，则：①当m ＝
0时，－1<0恒成立．②当m ≠0时，⎩⎨
⎧
m <0，Δ＝m 2＋4m <0，
解得－4<m <0.
由①②得Q ＝{m |－4<m ≤0}，故P Q . [答案] A 二、填空题
6．不等式x ＋1
x ≤3的解集为________．
[解析] x ＋1x ≤3⇔x ＋1x －3≤0⇔2x －1
x ≥0⇒x (2x －1)≥0且x ≠0，解得x <0或x ≥12.
[答案] ⎩⎨⎧
⎭
⎬⎫x | x <0或x ≥12
7．若不等式x 2－4x ＋3m <0的解集为空集，则实数m 的取值范围是________．
[解析] 由题意，知x 2－4x ＋3m ≥0对一切实数x 恒成立，所以Δ＝(－4)2
－4×3m ≤0，解得m ≥4
3.
[答案] m ≥4
3
8．若关于x 的不等式x 2－ax －a >0的解集为R ，则实数a 的取值范围是________；若关于x 的不等式x 2－ax －a ≤－3的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．
[解析] 由Δ1<0即a 2－4(－a )<0得－4<a <0；由Δ2≥0即a 2－4(3－a )≥0得a ≤－6或a ≥2.
[答案] －4<a <0 a ≤－6或a ≥2 三、解答题
9．解下列分式不等式： (1)x ＋1
2x －3≤1； (2)2x ＋11－x
<0. [解] (1)∵x ＋12x －3≤1，∴x ＋1
2x －3－1≤0，
∴－x ＋42x －3≤0，即x －4
x －32
≥0. 此不等式等价于(x －4)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －32≥0且x －3
2≠0，
解得x <3
2或x ≥4.
∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
x ⎪⎪⎪
x <32或x ≥4.
(2)由2x ＋1
1－x <0得x ＋12x －1>0，
此不等式等价于⎝ ⎛
⎭⎪⎫x ＋12(x －1)>0， 解得x <－1
2或x >1，
∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭
⎬⎫x ⎪⎪⎪
x <－1
2或x >1.
10．若不等式(a －2)x 2＋2(a －2)x －4<0的解集为R ，求实数a 的取值范围．
[解] 当a －2＝0，即a ＝2时，原不等式为－4<0， 所以a ＝2时成立．
当a －2≠0时，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a －2<0，
Δ<0.
即⎩⎨
⎧
a <2，
4(a －2)2－4(a －2)(－4)<0.
解得－2<a <2.
综上所述可知：－2<a ≤2.
综合运用
11．在R 上定义运算⊗：x ⊗y ＝x (1－y )．若不等式(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，则a 的取值范围是
________.
[解析] 根据定义得(x －a )⊗(x ＋a )＝(x －a )[1－(x ＋a )]＝－x 2＋x ＋a 2－a ，又(x －a )⊗(x ＋a )<1对任意的实数x 都成立，所以x 2－x ＋a ＋1－a 2>0对任意的实数x 都成立，所以Δ<0，即1－4(a ＋1－a 2)<0，解得－12<a <32.
[答案] －12<a <3
2
12．若集合A ＝{x |ax 2－ax ＋1<0}＝∅，则实数a 的值的集合为________．
[解析] ①当a ＝0时，满足题意；
②当a ≠0时，应满足⎩⎨
⎧
a >0，
Δ≤0，
解得0<a ≤4.
综上可知，a 值的集合为{a |0≤a ≤4}．
[答案] {a |0≤a ≤4}
13．已知关于x 的不等式ax －1
x ＋1<0的解集是
⎩⎨⎧
⎭⎬⎫x | x <－1或x >－12，则a ＝________.
[解析]
ax －1x ＋1
<0⇔(ax －1)(x ＋1)<0，根据解集的结构可知，a <0
且1a ＝－1
2，∴a ＝－2.
[答案] －2
14．已知2≤x ≤3时，不等式2x 2－9x ＋a <0恒成立，则a 的取值范围为________．
[解析] ∵当2≤x ≤3时，2x 2－9x ＋a <0恒成立，∴当2≤x ≤3时，a <－2x 2＋9x 恒成立．
令y ＝－2x 2＋9x .
∵2≤x ≤3，且对称轴方程为x ＝94， ∴y min ＝9，∴a <9. ∴a 的取值范围为a <9. [答案] a <9
15．某地区上年度电价为0.8元/kW·h ，年用电量为a kW·h ，本年度计划将电价降低到0.55元/kW·h 至0.75元/kW·h 之间，而用户期望电价为0.4元/kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比(比例系数为k )．该地区电力的成本价为
0.3元/kW·h.
(1)写出本年度电价下调后，电力部门的收益y 与实际电价x 的函数关系式；
(2)设k ＝0.2a ，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%?
注：收益＝实际用电量×(实际电价－成本价)．
[解] (1)设下调后的电价为x 元/kW·h ，依题意知，用电量增至
k x －0.4＋a ，电力部门的收益为y ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎪⎫k x －0.4＋a (x －0.3)(0.55≤x ≤0.75)． (2)依题意，有
⎩⎪⎨⎪⎧
⎝
⎛⎭⎪⎪⎫
0.2a x －0.4＋a (x －0.3)≥[a ×(0.8－0.3)](1＋20%)，
0.55≤x ≤0.75.
整理，得⎩⎪⎨⎪⎧
x 2－1.1x ＋0.3≥0，0.55≤x ≤0.75.
解此不等式，得0.60≤x ≤0.75.
∴当电价最低定为0.60元/kW·h 时，仍可保证电力部门的收益比上年度至少增长20%.。