对数函数

1 o 1 x o x
定义域
(0,+∞)
R ( 1 , 0 ) 即 x = 1 时，y = 0
值域 定点
单调性
在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数
在( 0 , + ∞ )上是减函数
函数值 符号
当 x＞1 时，y＞0 当 0＜x ＜1 时， y＜0
当 x＞1 时，y＜0 当 0＜x＜1 时，y＞0
例1. 比较下列各组数中两个值的大小： (1) log23.4 , log28.5; (2) log0.31.8 , log0.32.7 ; (3) loga5.1 , loga5.9 (a > 0, a ≠1) .
log23>log34
总结:
题型三
真数不同，底数不同
解决方法：
中间量法
y 例4.如图 ：曲线C1 ， C2 ，
C3 ， C4 分别为函数 y=logax， y=logbx， y=logcx， y=logdx，的图 像，试问a，b ，c，d的 大小关系如何？
c1 c2 x
o 1 c4
c3
总结: 结论：
在同一坐标系中作出函数y=2x 和 y=log2x的图像
①观察两个图像之间的关系
②观察函数y=log2x的图像的特征
y
5
y=2x
y=x ● ●
4
3 2 ● ● 1●
●
●
y=log2x
-1 O -1
● ● ● 1 2
3
4
5
6
7 x
-2
a 1
依据 对数函数y= ㏒ax 和指数函数y=ax的图象
关于直线y=x对称．
题型一
解决方法：
利用对数函数的单调性
例2. 比较log2 5与log7 5的大小。
法一:
log2 5 1, log7 5 1
中间量法
log2 5 log7 5
法二:
y
log2 5 log7 5
0
1
y log2 x
log2 5 log7 5
l og2 5 l og7 5
y= ㏒ax
o
y=ax
y=x
x y=a
y=x
o
0 a 1
依据 对数函数y= ㏒ax 和指数函数 y= ax 的图
象关于直线y=x对称．
y= ㏒ ax
y
c1 c2
o 1
c3 c4
x

2、对数函数的图象与性质：
函数 底数
y
y = log a x ( a＞0 且 a≠1 ) a＞1
y
0＜a＜1
图象
2 2 (1) 0 a 1时 ，a 当 0 a 3 3 2 (2) a 1时 ，loga 0 , 不 等 式 成 立 a 1 当 3 2 综 合(1)(2) 数a的 取 值 范 围 是 a 或a 1 实 0 3
0 a 1 a 1 2 或 2 3a 1 0 3a 1
4 C. , 3
4 1 3 B. 3 , , , 3 10 5
1 3 3, , 10 5
y
C1
C2
0 1
4 3 1 D. , 3, , 3 5 10
x
C4
C3
2 a 例5 已 知l oga 1, 求 实 数 的 取 值 范 围 。 3 2 解 法 一: l oga l ogaa 3
2 2 解 法 二: l oga - 1 0 即l oga 0 3 3a
2 解 之 得 ： a 或a 1 0 3
例6. 求下列函数的定义域:
(1) y = logax2 ;
(2) y = loga(4-x) ;
(3) y = loga(9-x2) .
解：(1) 由x2 > 0， 得 x ≠ 0 . 故函数的定义域为 (-∞, 0)∪(0, +∞);
(2) 由4 -x > 0， 得 x < 4 . 故函数的定义域为 (-∞, 4);
3 2 log 2 3 log2 3
33
2 3
中间量法
3 即 l og2 3 2
3 l og3 5 l og2 3 2
练习. 比较log23和log34两个值的大小。
3 提示: l og2 3 l og2 2 2 l og 2 4 l og3 4 2 43
1 log 5 2 1 log 5 7
y log7 x
x
图象法
法三:
x5
倒数法则
又 0 log5 2 log5 7

1 log5 2

1 log5 7
log2 5 log7 5
练习. 比较下列各组数中两个值的大小：
(1) log53 , log63 (2) log0.50.7 , log0.60.7
a
loga N
N
二、新 课
1. 对数函数的定义：
函数y=logax（a>0,a≠1）叫做对数函数。
注意： 1 、对数函数的定义与指数函数类似， 都是形式定义，注意辨别．如:
x (1) y l og5 5
(2) y log2 (x 2)
2、 对数函数对底数的限制： a 0, 且a 1
log am
n N log a N m
n
其他重要公式2:
log c N log a N log c a
其他重要公式3:
(a, c (0,1) (1,), N 0)
1 log a b a, b (0,1) (1,) log b a
其他重要公式4: 对数恒等式：
(3) 由9 –x2 > 0， 得-3 < x < 3 .
故函数的定义域为 (-3 , 3).
说明：此题主要利用对数函数的定义域(0,+∞), 注意定义域书写格式。
例7. 已 知 函 数 log2 (2x2 - kx 3) f(x)
(1) 若 函 数 的 定 义 域 为 ， 求 实 数 的 范 围 。 f(x) R k （） 若 函 数 的 值 域 为 ， 求 实 数 的 范 围 。 2 f(x) R k
(1) log53 > log63
．
(2) log0.50.7 < log0.60.7
总结:
题型二
真数相同，底数不同
解决方法：
中间量法、图象法、倒数法则
3 例3. 比 较 , log3 5 , log2 3的 大 小 。 2
解 : l og3 5 l og3 3 27 2
3 又 l og 2 3 2 33
一、复习：
积、商、幂的对数运算法则： 如果 a > 0，a 1，M > 0， N > 0 有：
loga (MN) loga M loga N (1) M loga loga M loga N ( 2) N n loga M nlog M (n R) ( 3) a
其他重要公式1:
题型四
对数函数底数大小规律
图像在第一象限内的部分，自左向右，底数依次增大
练习：
如图所示曲线是对数函数y log a x的图象， 4 3 1 已知a取值 3， ， ， ，则相应于C1 , C2 , C3 , C4 3 5 10 的a值依次为 （ D ）
4 3 1 A. 3 , , , 3 5 10
当 0<a<1 时, y=logax 在(0，+∞)上是减函数,
于是 loga5.1 > loga5.9 ;
练习: 比较下列各题中两个值的大小:
(1) log0.10.5 ＞ log0.10.6 (2) log1.50.6 ＞ log1.50.4
(3) loga0.8
总结:
loga0.3
底数相同，真数不同
解：(1) 对数函数 y = log2x在(0，+∞)上是增函数， 于是 log23.4 < log28.5 ; (2) 对数函数 y = log0.3x在(0，+∞)上是减函数， 于是 log0.31.8 > log0.32.7 ; (3) 当 a > 1 时, y=logax 在(0，+∞)上是增函数， 于是 loga5.1 < loga5.9 ;
2
数形结合
思考题：
已 知 方 程 3 - x的 根 为 1 , 2 x
x
方 程log2 x 3 - x的 根 为 2 , 求x1 x 2 x
(1) - 2 6 k 2 6
(2) k -2 6 , 或k 2 6
求函数 log2 (-x2 2x 8)的单调递增区间。 f(x) 例8.
利用复合函数的单调性
练习： 已知函数 loga (2 - ax)在［， y 01 ］上是减函数，
求实数 的范围。 a
1 l 例9. 已 知 不 等 式oga x x ,当x (0, )时 恒 成 立 2 求实数 的范围。 a