【推荐】专题09 直线与圆(高考押题)-2017年高考数学(文)考纲解读与热点难点突破

1．已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R)是圆C ：x 2
＋y 2
－4x －2y ＋1＝0的对称轴．过点A (－4，
a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |＝( )
A ．2
B ．4 2
C ．6
D ．210 【答案】C
【解析】圆C 的标准方程为(x －2)2
＋(y －1)2
＝4，圆心为C (2,1)，半径为r ＝2，因此2＋
a ×1－1＝0，所以a ＝－1，从而A (－4，－1)，
|AB |＝|AC |2
－r 2
＝
－4－
2
＋－1－
2
－4＝6.
2．已知圆x 2＋y 2
＋mx －14＝0与抛物线y ＝14x 2的准线相切，则m ＝( )
A ．±2 2
B ．± 3 C. 2 D. 3 【答案】B
【解析】抛物线的准线为y ＝－1，将圆化为标准方程得⎝ ⎛⎭
⎪⎫x ＋m 22＋y 2＝
1＋m 2
4，圆心到准线的
距离为1＝
1＋m
2
4
⇒m ＝± 3. 3．若动点A ，B 分别在直线l 1：x ＋y －7＝0和l 2：x ＋y －5＝0上运动，则AB 的中点M 到原点的距离最小值为( )
A. 2 B ．2 2 C ．3 2 D ．4 2 【答案】C
4．一条光线从点(－2，－3)射出，经y 轴反射后与圆(x ＋3)2＋(y －2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A ．－53或－35
B ．－32或－2
3
C ．－54或－45
D ．－43或－34
【答案】D
5．两圆x 2＋y 2＋2ax ＋a 2－4＝0和x 2＋y 2－4by －1＋4b 2＝0恰有三条公切线，若a ∈R ，b ∈R 且ab ≠0，则1a 2＋1
b 2的最小值为( )
A ．1
B ．3 C.19 D.49 【答案】A
【解析】x 2
＋y 2
＋2ax ＋a 2
－4＝0，即(x ＋a )2
＋y 2
＝4，x 2
＋y 2
－4by －1＋4b 2
＝0，即x 2
＋(y －2b )2
＝1，依题意可得，两圆外切，则两圆心距离等于两圆的半径之和，则a 2
＋
b
2
＝1
＋2＝3，即a 2
＋4b 2
＝9，所以1a 2＋1
b 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 2＋1b 2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＋4b 29＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋a 2b 2＋4b 2
a 2≥19⎝
⎛⎭
⎪⎫
5＋2a 2b 2·4b 2a 2＝1，当且仅当a 2b 2＝4b 2
a
2即a ＝±2b 时取等号，故选A.
6．已知圆的方程为(x －1)2
＋(y －1)2
＝9，点P (2,2)是该圆内一点，过点P 的最长弦和最短弦分别为AC 和BD ，则四边形ABCD 的面积是( )
A ．3 5
B ．4 5
C ．57
D ．67 【答案】D
【解析】依题意，圆的最长弦为直径，最短弦为过点P 垂直于直径的弦，所以|AC |＝2×3＝6.因为圆心到BD 的距离为
－
2
＋－
2
＝2，所以|BD |＝232
－
2
2
＝27.
则四边形ABCD 的面积为S ＝12×|AC |×|BD |＝1
2
×6×27＝67.故选D.
7．若直线l ：ax ＋by ＋1＝0始终平分圆M ：x 2
＋y 2
＋4x ＋2y ＋1＝0的周长，则(a －2)2
＋(b －2)2
的最小值为( )
A. 5 B ．5 C ．2 5 D ．10 【答案】B
8．命题p ：4＜r ＜7，命题q ：圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2
(r ＞0)上恰好有两个点到直线4x －3y
＝2的距离等于1，则p 是q 的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件 【答案】B
【解析】因为圆心(3，－5)到直线4x －3y ＝2的距离等于5，所以圆(x －3)2
＋(y ＋5)2
＝r
2
上恰好有两个点到直线4x －3y ＝2的距离等于1时，4＜r ＜6，所以p 是q 的必要不充分条件．
9．已知直线x ＋y －k ＝0(k ＞0)与圆x 2
＋y 2
＝4交于不同的两点A ，B ，O 为坐标原点，且有|OA →＋OB →
|≥33
|AB →|，则k 的取值范围是( )
A ．(3，＋∞)
B ．2，22)
C ．2，＋∞)
D ．3，22) 【答案】B
【解析】由已知得圆心到直线的距离小于半径，即|k |
2
＜2，
由k ＞0，得0＜k ＜2 2.①
如图，又由|OA →＋OB →
|≥33|AB →|，得|OM |≥33|BM |⇒∠MBO ≥π6
，因|OB |＝2，所以|OM |≥1，
故|k |1＋1≥1⇒k ≥ 2.②
综①②得2≤k ＜2 2.学科@网
10．已知直线x ＋y －a ＝0与圆x 2＋y 2
＝2交于A ，B 两点，O 是坐标原点，向量OA →，OB →满足|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →
|，则实数a 的值为________.
【答案】± 2
【解析】由|2OA →－3OB →|＝|2OA →＋3OB →
|得 OA →
·OB →
＝0，即OA ⊥OB ，则直线x ＋y －a ＝0过圆x 2＋y 2＝2与x 轴，y 轴正半轴或负半轴的
交点，故a ＝± 2.
11．已知圆C 的圆心与抛物线y 2
＝4x 的焦点关于直线y ＝x 对称，直线4x －3y －2＝0与圆
C相交于A，B两点，且|AB|＝6，则圆C的方程为________．
【答案】x2＋(y－1)2＝10
12．已知⊙O：x2＋y2＝1，若直线y＝kx＋2上总存在点P，使得过点P的⊙O的两条切线互相垂直，则实数k的取值范围是________．
【答案】(－∞，－1]∪1，＋∞)
【解析】因为圆心为O(0,0)，半径R＝1.
设两个切点分别为A，B，
则由题意可得四边形PAOB为正方形，
故有PO＝2R＝2，
由题意知圆心O到直线y＝kx＋2的距离小于或等于PO＝2，即|2|
1＋k2
≤2，即1＋k2≥2，
解得k≥1或k≤－1.
13．设点P在直线y＝2x＋1上运动，过点P作圆(x－2)2＋y2＝1的切线，切点为A，则切线长|PA|的最小值是________．
【答案】2
【解析】圆心C(2,0)到直线2x－y＋1＝0的距离d＝5，所以|PA|＝|PC|2－1≥d2－1＝2.
14．若直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b将圆(x－1)2＋(y－2)2＝8分成长度相等的四段弧，则a2＋b2＝________.
【答案】18
【解析】由题意得直线l1：y＝x＋a和直线l2：y＝x＋b截得圆的弦所对圆周角相等，皆为
直角，因此圆心到两直线距离皆为
2
2
r＝2，即
|1－2＋a|
2
＝
|1－2＋b|
2
＝2⇒a2＋b2＝(22＋1)2
＋(－22＋1)2＝18.
15．已知圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0，点A(3,5)．
(1)求过点A的圆的切线方程；
(2)O点是坐标原点，连接OA，OC，求△AOC的面积S.
16．已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0.
(1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程；
(2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．
【解析】(1)如图所示，
17．已知半径为2，圆心在直线y ＝－x ＋2上的圆C . (1)当圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切时，求圆C 的方程；
(2)已知E (1,1)，F (1，－3)，若圆C 上存在点Q ，使|QF |2
－|QE |2
＝32，求圆心的横坐标a 的取值范围．
【解析】 (1)∵圆心在直线y ＝－x ＋2上，半径为2， ∴可设圆的方程为(x －a )2
＋y －(－a ＋2)]2
＝4，2分 其圆心坐标为(a ，－a ＋2)．
∵圆C 经过点A (2,2)，且与y 轴相切，
∴有
⎩
⎪⎨⎪⎧
－a 2
＋[2－－a ＋
2
＝4，
|a |＝2，
解得a ＝2，4分
∴圆C 的方程是(x －2)2
＋y 2
＝4.5分 (2)设Q (x ，y )，由|QF |2
－|QE |2
＝32，
得(x －1)2＋(y ＋3)2－(x －1)2＋(y －1)2
]＝32， 解得y ＝3，∴点Q 在直线y ＝3上.7分
又∵点Q 在圆C ：(x －a )2
＋y －(－a ＋2)]2
＝4上， ∴圆C 与直线y ＝3必须有公共点． ∵圆C 圆心的纵坐标为－a ＋2，半径为2， ∴圆C 与直线y ＝3有公共点的充要条件是 1≤－a ＋2≤5，即－3≤a ≤1.10分
∴圆心的横坐标a 的取值范围是－3,1].12分
18．已知△ABC 的三个顶点A (－1,0)，B (1,0)，C (3,2)，其外接圆为⊙H . (1)若直线l 过点C ，且被⊙H 截得的弦长为2，求直线l 的方程；
(2)对于线段BH 上的任意一点P ，若在以点C 为圆心的圆上都存在不同的两点M ，N ，使得点M 是线段PN 的中点，求⊙C 的半径r 的取值范围．
(2)直线BH 的方程为3x ＋y －3＝0，
设P (m ，n ) (0≤m ≤1)，N (x ，y )， 因为点M 是线段PN 的中点， 所以M ⎝
⎛⎭
⎪⎫m ＋x 2，n ＋y 2，
又M ，N 都在半径为r 的⊙C 上，
所以⎩⎪⎨⎪
⎧
x －2＋y －2＝r 2
，⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋x 2
－32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋y 2－22
＝r 2
，
即⎩
⎪⎨⎪
⎧
x －
2
＋
y －
2
＝r 2
，
x ＋m －2
＋y ＋n －2
＝4r 2
.
7分
因为该关于x ，y 的方程组有解，
即以(3,2)为圆心，r 为半径的圆与以(6－m,4－n )为圆心，
2r 为半径的圆有公共点，
所以(2r －r )2
≤(3－6＋m )2
＋(2－4＋n )2
≤(r ＋2r )2
，8分 又3m ＋n －3＝0，
所以r 2
≤10m 2
－12m ＋10≤9r 2
对∀m ∈0,1]成立． 而f (m )＝10m 2
－12m ＋10在0,1]上的值域为⎣⎢⎡⎦
⎥⎤325，10，故r 2≤325且10≤9r 2.10分
又线段BH 与圆C 无公共点，
所以(m －3)2
＋(3－3m －2)2
＞r 2
对∀m ∈0,1]成立， 即r 2
＜325
.
故⊙C 的半径r 的取值范围为⎣⎢
⎡⎭⎪⎫
103
，4105.12分学科@网
19．如图，椭圆有两顶点A (－1，0)、B (1，0)，过其焦点F (0，1)的直线l 与椭圆交于C 、
D 两点，并与x 轴交于点P .直线AC 与直线BD 交于点Q .
(1)当|CD |＝3
2
2时，求直线l 的方程；
(2)当点P 异于A 、B 两点时，求证：OP →·OQ →
为定值．
∴l 的方程为y ＝2x ＋1或y ＝－2x ＋
1.
⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x －12
＝y 22（x 1＋1）2y 21（x 2－1）2＝2－2x 222－2x 21·（x 1＋1）2
（x 2
－1）2 ＝
（1＋x 1）（1＋x 2）
（1－x 1）（1－x 2）
＝1＋
－2k k 2
＋2＋－1
k 2＋21＋2k k 2＋2＋－1k 2
＋2
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫k －1k ＋22.
又y 1y 2＝k 2
x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝2（1－k ）（1＋k ）k 2＋2
＝－2（1＋k ）2
k 2＋2·k －1k ＋1，
∴k －1k ＋1与y 1y 2异号，x ＋1x －1与k －1k ＋1同号． ∴
x ＋1x －1＝k －1
k ＋1
，解得x ＝－k . 因此Q 点坐标为(－k ，y Q )． 因此Q 点坐标为(－k ，y Q )． OP →
·OQ →
＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
－1
k ，0·(－k ，y Q )＝1.
故OP →·OQ →
为定值．
20．已知集合A ＝⎩⎨⎧⎭
⎬⎫（x ，y ）|
y －3x －2＝a ＋1，B ＝{(x ，y )|(a 2－1)x ＋(a －1)y ＝15}，求a 为何值时，A ∩B ＝∅.
21．已知数列{a n }，圆C 1：x 2＋y 2－2a n x ＋2a n ＋1y －1＝0和圆C 2：x 2＋y 2
＋2x ＋2y －2＝0，若圆
C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长．
(1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)若a 1＝－3，则当圆C 1的半径最小时，求出圆C 1的方程． 【解析】(1)证明 由已知，圆C 1的圆心坐标为(a n ，－a n ＋1)， 半径为r 1＝a 2
n ＋a 2
n ＋1＋1，
圆C 2的圆心坐标为(－1，－1)，半径为r 2＝2.
又圆C 1与圆C 2交于A ，B 两点且这两点平分圆C 2的周长， ∴|C 1C 2|2
＋r 2
2＝r 21.
∴(a n ＋1)2
＋(－a n ＋1＋1)2
＋4＝a 2
n ＋a 2
n ＋1＋1， ∴a n ＋1－a n ＝5
2
.
∴数列{a n }是等差数列．
(2)解 ∵a 1＝－3，∴a n ＝52n －11
2
.
则r1＝a2n＋a2n＋1＋1
＝1
2
（5n－11）2＋（5n－6）2＋4
＝1
2
50n2－170n＋161.
∵n∈N*，∴当n＝2时，r1可取得最小值，
此时，圆C1的方程是：x2＋y2＋x＋4y－1＝0.。