2022届高三数学一轮 2.3 函数的奇偶性与周期性课时检测 理 北师大版

函数的奇偶性与周期性
一、选择题
1．设f为定义在R上的奇函数．当≥0时，f＝2＋2＋bb为常数，则f－1等于．
A．3 B．1 C．－1 D．－3
解析由f－0＝－f0，即f0＝＝－1，
f＝2＋2－1，f－1＝－f1＝－3
答案 D
2．已知定义在R上的奇函数，f满足f＋2＝－f，则f6的值为．
A．－1 B．0 C．1 D．2
解析构造法构造函数f＝in 错误!，则有f＋2＝in错误!＝－in 错误!＝－f，所以f＝in 错误!是一个满足条件的函数，所以f6＝in 3π＝0，故选B
答案 B
【点评】根据函数的性质构造出一个符合条件的具体函数，是解答抽象函数选择题的常用方法，充分体现了由抽象到具体的思维方法
3．已知函数＝f是定义在R上的任意不恒为零的函数，则下列判断：①f||为偶函数；②f ＋f－为非奇非偶函数；③f－f－为奇函数；④[f]2为偶函数．其中正确判断的个数有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
解析对于①，用－代替，得f|－|＝f||，所以①正确；对于②，用－代替，得f－＋f＝f ＋f－，所以②错误；对于③，用－代替，得f－－f＝－[f－f－]，所以③正确；易知④错误．
答案 B
4．已知f是定义在R上的周期为2的周期函数，当∈[0,1时，f＝4－1，则f－的值为A．2 B．－1 C．－错误! D．1
解析f－＝f－＋6＝f＝－1＝1
答案 D
是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间－2,1]上的图像，
则f2 011＋f2 012＝
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：由于f是定义在R上的周期为3的周期函数，所以
f2 011＋f2 012＝f670×3＋1＋f671×3－1＝f1＋f－1，而由图像可知
f1＝1，f－1＝2，
所以f2 011＋f2 012＝1＋2＝3
答案：A
6．设偶函数f对任意∈R，都有f＋3＝－错误!，且当∈[－3，－2]时，f＝4，则f＝A．10 C．－10 D．－错误!
解析] 由f＋6＝－错误!＝f知该函数为周期函数，周期为6，所以f＝f错误!＝f错误!，又f为偶函数，则f错误!＝f错误!＝－错误!＝－错误!＝错误!
答案：B
7．已知f是定义在R上的偶函数，g是定义在R上的奇函数，且g＝f－1，则f2022＋f2022的值为
A．－1 B．1
C．0 D．无法计算
解析由题意得g－＝f－－1，又因为f是定义在R上的偶函数，g是定义在R上的奇函数，所以g－＝－g，f－＝f，∴f－1＝－f＋1，∴f＝－f＋2，∴f＝f＋4，∴f的周期为4，
∴f2022＝f1，f2022＝f3＝f－1，
又∵f1＝f－1＝g0＝0，∴f2022＋f2022＝0
答案：C
二、填空题
8．若f是R上周期为5的奇函数，且满足f1＝1，f2＝2，则f3－f4＝________
解析∵f＋5＝f且f－＝－f，
∴f3＝f3－5＝f－2＝－f2＝－2，f4＝f－1＝－f1＝－1，故f3－f4＝－2－－1＝－1
答案－1
9．设奇函数f的定义域为[－5,5]，当∈[0,5]时，函数＝f的图象如图所示，则使函数值＜0的的取值集合为________．
解析由原函数是奇函数，所以＝f在[－5,5]上的图象关于坐标原点对称，由＝f在[0,5]上的图象，得它在[－5,0]上的图象，如图所示．由图象知，使函数值＜0的的取值集合为－2,0∪2,5．
答案－2,0∪2,5
10．设f是偶函数，且当>0时是单调函数，则满足f2＝f错误!的所有之和为________．解析∵f是偶函数，f2＝f错误!，
∴f|2|＝f错误!，
又∵f在0，＋∞上为单调函数，
∴|2|＝错误!，
即2＝错误!或2＝－错误!，
整理得22＋7－1＝0或22＋9＋1＝0，
设方程22＋7－1＝0的两根为1，2，方程22＋9＋1＝0的两根为3，4
则1＋2＋3＋4＝－错误!＋错误!＝－8
答案－8
11．已知函数f满足：f1＝错误!，4ff＝f＋＋f－，∈R，则f2 013＝________
解析法一当＝1，＝0时，f0＝错误!；当＝1，＝1时，f2＝－错误!；当＝2，＝1时，f3＝－错误!；当＝2，＝2时，f4＝－错误!；当＝3，＝2时，f5＝错误!；当＝3，＝3时，f6＝错误!；当＝4，＝3时，f7＝错误!；当＝4，＝4时，f8＝－错误!；…
∴f是以6为周期的函数，
∴f2 013＝f3＋335×6＝f3＝－错误!
法二∵f1＝错误!，4f·f＝f＋＋f－，
∴构造符合题意的函数f＝错误!co 错误!，
∴f2 013＝错误!co错误!＝－错误!
答案－错误!
12．设函数f是定义在R上的偶函数，且对任意的∈R恒有f＋1＝f－1，已知当∈[0,1]时f＝错误!1－，则
①2是函数f的周期；
②函数f在1,2上递减，在2,3上递增；
③函数f的最大值是1，最小值是0；
④当∈3,4时，f＝错误!－3
其中所有正确命题的序号是________．
解析由已知条件：f＋2＝f，
则＝f是以2为周期的周期函数，①正确；
当－1≤≤0时0≤－≤1，
f＝f－＝错误!1＋，函数＝f的图象
如图所示：
当3<<4时，－1<－4<0，
f＝f－4＝错误!－3，因此②④正确．③不正确．
答案①②④
三、解答题
13．对任意实数，给定区间错误!∈Z，设函数f表示实数与的给定区间内整数之差的绝对值．1当∈错误!时，求出函数f的解析式；
2当∈错误!∈Z时，写出用绝对值符号表示的f的解析式，并说明理由；
3判断函数f的奇偶性，并证明你的结论．
解析 1当∈错误!时，0为给定区间内的整数，故由定义知，f＝||，∈错误!
2当∈错误!∈Z时，为给定区间内的整数，故f＝|－|，∈错误!∈Z．
3对任意∈R，函数f都存在，且存在∈Z，满足－错误!≤≤＋错误!，f＝|－|，由－错误!≤≤＋错误!，得－－错误!≤－≤－＋错误!，此时－是区间错误!内的整数，因此f－＝|－－－|＝|－＋|＝|－|＝f，即函数f为偶函数．
14．已知函数f对任意，∈R，都有f＋＝f＋f，且＞0时，f＜0，f1＝－2
1求证f是奇函数；
2求f在[－3,3]上的最大值和最小值．
1证明令＝＝0，知f0＝0；再令＝－，
则f0＝f＋f－＝0，所以f为奇函数．
2解任取1＜2，则2－1＞0，所以f2－1＝f[2＋－1]＝f2＋f－1＝f2－f1＜0，所以f为减函数．而f3＝f2＋1＝f2＋f1＝3f1＝－6，f－3＝－f3＝6
所以f ma＝f－3＝6，f min＝f3＝－6
是－∞，＋∞上的奇函数，且f的图象关于＝1对称，当∈[0,1]时，f＝2－1，
1求证：f是周期函数；
2当∈[1,2]时，求f的解析式；
3计算f0＋f1＋f2＋…＋f2022的值．
解析 1证明函数f为奇函数，则f－＝－f，函数f的图象关于＝1对称，则f2＋＝f－＝－f，所以f4＋＝f[2＋＋2]＝－f2＋＝f，所以f是以4为周期的周期函数．
2 当∈[1,2]时，2－∈[0,1]，
又f的图象关于＝1对称，则f＝f2－＝22－－1，∈[1,2]．
3 ∵f0＝0，f1＝1，f2＝0，
f3＝f－1＝－f1＝－1
又f是以4为周期的周期函数．
∴f0＋f1＋f2＋…＋f2022
＝f2 012＋f2 013＝f0＋f1＝1
是－∞，＋∞上的奇函数，f＋2＝－f，当0≤≤1时，f＝
1求fπ的值；
2当－4≤≤4时，求f的图象与轴所围成图形的面积；
3写出－∞，＋∞内函数f的单调增或减区间．
解析 1由f＋2＝－f得，
f＋4＝f[＋2＋2]＝－f＋2＝f，
所以f是以4为周期的周期函数，
∴fπ＝f－1×4＋π＝fπ－4＝－f4－π
＝－4－π＝π－4
2由f是奇函数与f＋2＝－f，
得：f[－1＋2]＝－f－1＝f[－－1]，
即f1＋＝f1－．
故知函数＝f的图象关于直线＝1对称．
又0≤≤1时，f＝，且f的图象关于原点成中心对称，则f的图象如图所示．当－4≤≤4时，f的图象与轴围成的图形面积为S，则
S＝4S△OAB＝4×错误!＝4
3函数f的单调递增区间为[4－1,4＋1]∈Z，
单调递减区间[4＋1,4＋3]∈Z．。