高中数学第三章函数3.2第2课时二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系

1－a2 1＋ a <x<
a1－a2}．
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②当 Δ＝0，即 a＝1 时，不等式的解集为∅.
③当 Δ<0，即 a>1 时，不等式的解集为∅.
(3)当 a<0 时，
①当 Δ>0，即－1<a<0 时，不等式的解集为{x|x<1＋ a1－a2或
1－ x>
a1－a2}．
②当 Δ＝0，即 a＝－1 时，不等式可化为(x＋1)2>0，
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①Δ>0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不同的解 x1，x2，设 x1<x2，则不等式(1)的解集为 (－∞，x1)∪(x2，＋∞) ，不等式
(2)的解集为 (x1，x2) ．
②Δ＝0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相同的解，设 x1＝x2， 此时不等式(1)的解集为 {x|x≠x1} ，不等式(2)的解集为
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3．若不等式 ax2＋bx＋2>0 的解集为x|－12<x<2，则实数 a ＝ －2 ，实数 b＝ 3 .
解析：由题意可知－12，2 是方程 ax2＋bx＋2＝0 的两个根且 a<0.
由根与系数的关系得－－1212＋×22＝＝－2a，ba， 解得 a＝－2，b＝3.
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先判断判别式的符号，求根，然后根据不等号的方向及首项 系数的符号写出解集，这是解一元二次不等式的基本方法，应当 熟练掌握.
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[变式训练 1] 求下列不等式的解集．
(1)2x2＋7x＋4>0; (2)－x2＋8x－3>0；
(3)2x2＋13x＋21<0; (4)－4x2＋18x－841≥0.
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本题是一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的灵活运 用，注意不等式的解集结构与二次项系数符号的关系，不等式的 解集的端点值即为方程的根.
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[变式训练 2] 已知不等式 ax2－bx＋2<0(a≠0)的解集为 (1,2)，求 a，b 的值．
解：方法一：由题设条件知 a>0，且 1,2 是方程 ax2－bx＋2 ＝0 的两实根．
∴不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠－1}．
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③当 Δ<0，即 a<－1 时，不等式的解集为 R.
综上所述，原不等式的解集为：
当 a≥1 时，不等式的解集为∅；
当 0<a<1 时，不等式的解集为
1－ {x|
1－a2 1＋ a <x<
a1－a2}；
当 a＝0 时，不等式的解集为{x|x>0}；
A．{x|－4≤x<－2 或 3<x≤7} B．{x|－4<x≤－2 或 3≤x<7} C．{x|x≤－2 或 x>3} D．{x|x<－2 或 x≥3}
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解析：∵M＝{x|x2－3x－28≤0}＝{x|－4≤x≤7}， N＝{x|x2－x－6>0}＝{x|x<－2 或 x>3}， ∴M∩N＝{x|－4≤x<－2 或 3<x≤7}．
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(4)原不等式可化为(2x－92)2≤0， 所以原不等式的解集为{x|x＝94}．
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类型二 一元二次不等式解法的逆向问题 [例 2] 已知不等式 ax2＋5x＋c>0 的解集为(13，12)，求 a，c 的值． [解] 因为不等式 ax2＋5x＋c>0 的解集为(13，12)， 所以 x1＝13与 x2＝12是方程 ax2＋5x＋c＝0 的两个实数根，且 a<0.
解：(1)因为 Δ＝72－4×2×4＝17>0，所以方程 2x2＋7x＋4
＝0 有两个实数根 x1＝－7－4
17，x2＝－7＋4
17 .
由二次函数 y＝2x2＋7x＋4 的图像，得原不等式的解集为
－7＋ {x|x> 4
17或
－7－ x< 4
17}．
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(2)原不等式可化为 x2－8x＋3<0. 因为 Δ＝(－8)2－4×1×3＝52>0，所以方程 x2－8x＋3＝0 有两个实数根 x1＝4－ 13，x2＝4＋ 13. 由二次函数 y＝x2－8x＋3 的图像， 得原不等式的解集为(4－ 13，4＋ 13)． (3)原不等式可化为(x＋3)(2x＋7)<0，方程(x＋3)(2x＋7)＝0 有两个实数根 x1＝－3，x2＝－72. 由二次函数 y＝2x2＋13x＋21 的图像， 得原不等式的解集为(－72，－3)．
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类型一 用图像法解一元二次不等式 [例 1] 解不等式：(1)x2－8x＋15>0；(2)－x2－2x>－3. [解] (1)由方程 x2－8x＋15＝0 的判别式 Δ＝(－8)2－4×15＝4>0， 得方程两根分别为 x1＝3，x2＝5.
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类型四
高次不等式的解法
[例 5] 解不等式：(1)(x－1)(3－x)(x＋12)<0； (2)x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)≥0.
[解] (1)原不等式化为(x－1)(x－3)(x＋12)>0，令 y＝(x－1)(x
－3)(x＋12)，则 y＝0 的根为 1,3，－12，将其分别标在数轴上，如 图所示：
由根与系数的关系，知11＋×22＝＝ba2a，，
解得ab＝＝13，.
方法二：把 x＝1,2 分别代入方程 ax2－bx＋2＝0 中，
得a4－a－b＋2b2＋＝20＝，0， 解得ab＝＝13.，
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[例 3] 若不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为(－3,4)，求不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 的解集．
∅
.
③Δ<0 时，方程 ax2＋bx＋c＝0 无解，不等式(1)的解集为 R，
不等式(2)的解集为
∅
.
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[答一答] 解一元二次不等式的一般步骤是怎样的？ 提示：第一步：把一元二次不等式化为标准形式(二次项系 数为正，右边为 0 的形式)． 第二步：求 Δ＝b2－4ac. 第三步：若 Δ≤0，根据二次函数图像直接写出解集； 若 Δ>0，求出对应方程的根，写出解集.
解析：由题设知，－13，2 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的解，且 a<0，ac＝－13×2<0，∴c>0.又方程 cx2＋bx＋a＝0 可变形成 x2(a·x12 ＋b·1x＋c)＝0，即知此方程的根与原方程的根互为倒数，所以它 的两根为－3，12.∵c>0，∴不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集为(－3， 12)．
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类型三 含参数的一元二次不等式 [例 4] 解关于 x 的不等式 ax2－2x＋a<0.
[解] (1)当 a＝0 时，不等式变为－2x<0，∴x>0；
(2)当 a>0 时，Δ＝4－4a2，
①当 Δ>0，即 0<a<1 时，
方程 ax2－2x＋a＝0 的两根为1±
1－a2 a.
∴不等式的解集为{x|1－
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[变式训练 5] 解不等式：(x＋1)(1－x)(x－2)>0.
解：原不等式等价于(x－1)·(x－2) (x＋1)<0.令 y＝(x－1)(x－2)(x＋1)．则 y＝0 的根分别为 1,2， －1，结合图(如图)可得，不等式解集为{x|x<－1，或 1<x<2}.
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当－1<a<0 时，不等式的解集为
1＋ {x|x<
a1－a2或
1－ x>
a1－a2}；
当 a＝－1 时，不等式的解集为{x|x∈R 且 x≠－1}；
当 a<－1 时，不等式的解集为 R.
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[变式训练 4] 解关于 x 的不等式：ax2－(a2＋2)x＋2a≤0. 解：(1)当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x≥0}． (2)当 a>0 时，原不等式化为(x－2a)(x－a)≤0. ①当2a<a，即 a> 2时， 原不等式的解集为{x|2a≤x≤a}； ②当2a>a，即 0<a< 2时， 原不等式的解集为{x|a≤x≤2a}； ③当 a＝ 2时，原不等式的解集为{x|x＝ 2}．
4．已知关于 x 的不等式 ax2＋2x＋c>0 的解集为(－13，12)， 求－cx2＋2x－a>0 的解集．
解：由 ax2＋2x＋c>0 的解集为x－13<x<12
，知Biblioteka a<0，－13，12为方程 ax2＋2x＋c＝0 的两个根．
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1．不等式 x(2－x)>0 的解集为( D ) A．{x|x>0} B．{x|x<2} C．{x|x>2 或 x<0} D．{x|0<x<2} 解析：原不等式化为 x(x－2)<0，故 0<x<2.
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2．已知集合 M＝{x|x2－3x－28≤0}，N＝{x|x2－x－6>0}， 则 M∩N 为( A )
作函数 y＝x2－8x＋15 的图像，如图所示． 由图可知 y＝x2－8x＋15 图像在 x 轴上方(即函数值大于零) 的点的横坐标的取值范围是 x<3 或 x>5. 故原不等式的解集为{x|x<3 或 x>5}． (2)原不等式可化为 x2＋2x－3<0. 由方程 x2＋2x－3＝0 的判别式 Δ＝22－4×(－3)＝16， 得方程两根分别为 x1＝－3，x2＝1. ∴原不等式的解集为{x|－3<x<1}．
要点整合夯基础 课堂达标练经典
典例讲练破题型 课时作业
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知识点一 二次函数、二次方程、二次不等式间的关系 [填一填]
设 y＝ax2＋bx＋c(a>0).
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知识点二 一元二次不等式的解法 [填一填]
一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式： (1)ax2＋bx＋c>0(a>0)；(2)ax2＋bx＋c<0(a>0)． 上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程 ax2＋ bx＋c＝0(a≠0)的根确定，Δ＝b2－4ac，则：
第三章
函数
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3.2 函数与方程、不等式之间的关系
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第2课时 二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系
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[课程目标] 1.理解一元二次不等式的概念；2.会解一元二次 不等式；3.了解含参数的一元二次不等式的解法．
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(3)当 a<0 时，原不等式化为(x－2a)(x－a)≥0. ①当2a<a，即－ 2<a<0 时， 原不等式的解集为{x|x≥a 或 x≤2a}； ②当2a>a，即 a<－ 2时， 原不等式的解集为{x|x≥2a或 x≤a}； ③当 a＝－ 2时，原不等式的解集为 R.
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解法一：将 x1＝13与 x2＝12分别代入方程 ax2＋5x＋c＝0，得
a9＋53＋c＝0， a4＋52＋c＝0，
解得ac＝＝－－16.，
∴a＝－6，c＝－1.
解法二：由根与系数的关系，得
13＋12＝－5a， 13×12＝ac，
解得ac＝＝－－16.， ∴a＝－6，c＝－1.
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∴不等式的解集是{x|－12<x<1 或 x>3}． (2)令 y＝x(x－1)2(x＋1)3(x＋2)，则 y＝0 的根为 0,1，－1， －2，画出示意图如下： ∴不等式的解集为{x|－2≤x≤－1 或 x≥0}．
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1本题是用数轴穿根法来解答的，解题过程简洁. 2要注意所标出的区间是否是不等式的范围，可取特殊值 作检验，以防不慎造成失误. 3有些点是否要舍掉，要仔细检验.
[解] 因为 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|－3<x<4}，所以 a<0 且－3 和 4 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，
由一元二次方程根与系数的关系可得－－33＋×44＝＝a－c，ba， 即bc＝＝－－1a2，a. 所以不等式 bx2＋2ax－c－3b<0 可化为 －ax2＋2ax＋15a<0，即 x2－2x－15<0， 故所求不等式的解集为(－3,5)．
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1.当已知某一元二次不等式的解集时，首先应注意判断其对 应的二次函数的开口方向，与 x 轴交点坐标等信息，并列出参数 所满足的等式或不等式，进而求解.
2.熟练掌握“三个二次”的关系及根与系数的关系是本类 问题的解题关键.
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[变式训练 3] 已知{x|ax2＋bx＋c>0}＝{x|－13<x<2}，则关于 x 的不等式 cx2＋bx＋a<0 的解集是(－3，12)．