相似形综合运用

相似形的综合运用
一．选择题
1．如图，在Rt△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG⊥CD，分别交CD，CA于点E，F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF，给出以下五个结论：①
；②∠ADF=∠CDB；③点F是GE的中点；④AF=；⑤S
=5S△BDF，其中正确结论有（）
△ABC
个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．如图，正方形ABCD中，AB=12，点E在边BC上，BE=EC，将△DCE沿DE对折至△DFE，延长EF 交边AB于点G，连接DG、BF，给出下列结论：①△DAG≌△DFG；②BG=2AG；③△EBF∽△DEG；④S△BEF=．其中正确结论的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，在平面直角坐标系中，直线l平行x轴，交y轴于点A，第一象限内的点B在l上，连结OB，动点P在直线OB上运动且满足∠APQ=90°，PQ交x轴于点C．点D是直线OB与直线CA的交点，点E是直线CP与y轴的交点，若∠ACE=∠AEC，PD=2OD，则PA：PC=（）
A．B．C．或D．以上都不对
4．如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=6，OC=4．点P从点O出发，沿x轴以每秒1个单位长的速度向点A匀速运动，当点P到达点A时停止运动，设点P运动的时间是t秒．将线段CP的中点绕点P按顺时针方向旋转90°得点D，点D随点P 的运动而运动，连接DP、DA．则
（1）点D的坐标为（t+2，t）；（2）t=3时，△DPA的面积最大为；
（3）△DPA不能成为直角三角形；（4）随着点P的运动，点D运动路线的长为2．
上述结论正确的有（）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形ABCD中，AE⊥BD交BC于E，垂足为F，BG平分∠ABD交AE于H，GP∥BD交AE 于P，下列结论：
①BF+GP=CD；
②S
△ABF 2=S
△BEF
•S△AFD；
③++=；
④．
其中结论正确的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
二．填空题
6．如图，P为反比例函数y=（x＞0）在第一象限内图象上的一点，过点P分别作x轴、y轴的垂线交一次函数y=﹣x﹣2的图象于点A、B．若AO、BO分别平分∠BAP、∠ABP，则k的值为．
7．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S
=S△FGH；④AG+DF=FG．
△ABG
其中正确的是．（把所有正确结论的序号都选上）
8．问题背景
已知在△ABC中，AB边上的动点D由A向B运动（与A，B不重合），点E与点D同时出发，由点C 沿BC的延长线方向运动（E不与C重合），连接DE交AC于点F，点H是线段AF上一点．
（1）初步尝试
如图1，若△ABC是等边三角形，DH⊥AC，且点D，E的运动速度相等．
求证：HF=AH+CF．
小五同学发现可以由以下两种思路解决此问题：
思路一：过点D作DG∥BC，交AC于点G，先证GH=AH，再证GF=CF，从而证得结论成立；
思路二：过点E作EM⊥AC，交AC的延长线于点M，先证CM=AH，再证HF=MF，从而证得结论成立．请你任选一种思路，完整地书写本小题的证明过程（如用两种方法作答，则以第一种方法评分）；（2）类比探究
如图2，若在△ABC中，∠ABC=90°，∠ADH=∠BAC=30°，且D，E的运动速度之比是：1，求的
值；
（3）延伸拓展
如图3，若在△ABC中，AB=AC，∠ADH=∠BAC=36°，记=m，且点D，E运动速度相等，试用含m 的代数式表示（直接写出结果，不必写解答过程）．
三．解答题（共5小题）
9．我们知道，三角形的内心是三条角平分线的交点，过三角形内心的一条直线与两边相交，两交点之间的线段把这个三角形分成两个图形．若有一个图形与原三角形相似，则把这条线段叫做这个三角形的“內似线”．
（1）等边三角形“內似线”的条数为；
（2）如图，△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求证：BD是△ABC的“內似线”；（3）在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，E、F分别在边AC、BC上，且EF是△ABC的“內似线”，求EF的长．
10．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，将矩形ABCD绕点C按顺时针方向旋转α角，得到矩形A'B'C'D'，B'C与AD交于点E，AD的延长线与A'D'交于点F．
（1）如图①，当α=60°时，连接DD'，求DD'和A'F的长；
（2）如图②，当矩形A'B'CD'的顶点A'落在CD的延长线上时，求EF的长；
（3）如图③，当AE=EF时，连接AC，CF，求AC•CF的值．
11．如图1，在平面直角坐标系中，直线MN分别与x轴、y轴交于点M（6，0），N（0，2），等边△ABC的顶点B与原点O重合，BC边落在x轴正半轴上，点A恰好落在线段MN上，将等边△ABC 从图l的位置沿x轴正方向以每秒l个单位长度的速度平移，边AB，AC分别与线段MN交于点E，F （如图2所示），设△ABC平移的时间为t（s）．
（1）等边△ABC的边长为；
（2）在运动过程中，当t=时，MN垂直平分AB；
（3）若在△ABC开始平移的同时．点P从△ABC的顶点B出发．以每秒2个单位长度的速度沿折线BA﹣AC运动．当点P运动到C时即停止运动．△ABC也随之停止平移．
①当点P在线段BA上运动时，若△PEF与△MNO相似．求t的值；
=S，求S与t的函数关系式，并求出S的最大值及此时点P的②当点P在线段AC上运动时，设S
△PEF
坐标．
12．如图，分别是可活动的菱形和平行四边形学具，已知平行四边形较短的边与菱形的边长相等．（1）在一次数学活动中，某小组学生将菱形的一边与平行四边形较短边重合，摆拼成如图1所示的图形，AF经过点C，连接DE交AF于点M，观察发现：点M是DE的中点．
下面是两位学生有代表性的证明思路：
思路1：不需作辅助线，直接证三角形全等；
思路2：不证三角形全等，连接BD交AF于点H．…
请参考上面的思路，证明点M是DE的中点（只需用一种方法证明）；
（2）如图2，在（1）的前提下，当∠ABE=135°时，延长AD、EF交于点N，求的值；
（3）在（2）的条件下，若=k（k为大于的常数），直接用含k的代数式表示的值．
13．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D与点B在AC同侧，∠DAC＞∠BAC，且DA=DC，过点B作BE ∥DA交DC于点E，M为AB的中点，连接MD，ME．
（1）如图1，当∠ADC=90°时，线段MD与ME的数量关系是；
（2）如图2，当∠ADC=60°时，试探究线段MD与ME的数量关系，并证明你的结论；
（3）如图3，当∠ADC=α时，求的值．。