矩阵求逆方法大全-

求逆矩阵的若干方法和举例
红杏
广西民院计信学院00数本（二）班
[摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面的
读者参考。

[关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等
引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。

但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。

为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。

定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B
方法 一. 初等变换法（加边法）
我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积
A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。

即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使
E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2）
把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成
11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3）
这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。

例 1 . 设A= ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-012411210 求1-A 。

解：由（3）式初等行变换逐步得到：
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-100012010411001210→ ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛-100012001210010411
→⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----123200124010112001→⎪⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----21123100124010112001
于是1-A = ⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛----2112
3124112
说明：此方法适用于求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，比较简便，特别是当阶数较高时，使用初等变换法的优点更明显。

同样使用初等列变换类似行变换，此略，注意在使用此方法求逆矩阵是，一般做初等行变换，避免做初等列变换。

方法 二. 伴随矩阵法
定理：矩阵A 是可逆的充分必要条件是A 非退化，而1-A =d
1
*A ，（d=A ≠0） (4)
我们用（4）式来求一个矩阵的逆矩阵。

例 2. 求矩阵A 的逆矩阵1-A ：已知A= ⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛343122321
解：d=A =9+6+24-18-12-4=2≠0 11A =2 12A =-3 13A =2
21A =6 22A =-6 23A =2 31A =-4 32A =5 33A =-2
用伴随矩阵法，得
1-A =d 1*
A =⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----11125323231 说明：虽然这个公式对任何可逆矩阵都适用，但由于计算量大，一般只用于较低阶的矩阵的求逆比如二阶三阶矩阵的逆，尤以对二阶，此方法更方便。

方法 三. 矩阵分块求逆法 在进行高阶矩阵运算时，经常将高阶矩阵按某种规则分成若干块，每一小块是一小矩阵，这样一方面对小矩阵进行运算，一方面每一小矩阵又可作为一个元素按运算规则来进行运算，求出矩阵的逆矩阵。

引出公式： 设T 的分块矩阵为：T= ⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛D C B A , 其中T 为可逆矩阵，则
1
-T = ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------+-------------111111
1111111)()()()(B CA D CA B CA D B CA D B A CA B CA D B A A , （5） 说明：关于这个公式的推倒从略。

例 3. 求下列矩阵的逆矩阵，已知 W=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛5243210040103001
解：将矩阵W 分成四块，设
A=⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛100010001, B=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛243, C=()243, D=()5,
于是 ),24()(1-=--B CA D 即
11)(---B CA D =)24
1
(-
B A 1
-=B=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛243, 1-CA =C=()243，
利用公式（5），得
1-W =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-------12432208648812361215241 方法 四. 因式分解法
若0=k A ，即（E-A ）可逆，且有1)(--A E =12-++++K A A A E ， （6）
我们通过上式（6），求出1-A 例 4.求下面矩阵的逆矩阵，已知：
A=⎪⎪⎪
⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛------10000110
00211003211043211, 解：因为存在一个K 0，使K A E )(-=0，把这里的（E-A ）替换（6）式中的“A ”，得
1-A =12)()()(--++-+-+K A E A E A E E
通过计算得 4)(A E -=4
10000110
00211003211043211⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=0，即K=4
所以 1-A =32)()()(A E A E A E E -+-+-+
=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1000001000001000001000001+⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛----00000100
00210003210043210 +
=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛---1000011000111000111010111 方法 五.多项式法
我们知道，矩阵A 可逆的充分必要条件是有一常数项不为零的多项式f(x)，满足f(A)=0，用这个知识点也可以求出逆矩阵。

例 5.已知矩阵A=⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛--3312，且A 满足多项式f(x)=0352=+-E X X ，即0352=+-E A A 试证
明A 是可逆矩阵，并求其可逆矩阵。

证：由0352=+-E A A ，可得
E E A A =+-)3
5
31(
从而可知A 为可逆矩阵，并且
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=+=-3213111001353312313
5311E
A A
方法 六. 解方程组法
在求一个矩阵的的逆矩阵时，可设出逆矩阵的待求元素，根据等式E AA =-1两端
对应元素相等，可得出相应的只含待求元素的诸多线性方程组，便可求解逆矩阵。

例 6.求A=⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛343122321的逆矩阵
解：求可逆矩阵A 的逆矩阵X ，则它满足AX=E ，设),,(321X X X X =，则
⎪
⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=0011AX ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0102AX ， ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=1003AX
利用消元解法求
⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝⎛=i i i i x x x X 321 （i=1,2,3）
解得：
⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛----==-1110253232311
X A
方法 七. 准对角矩阵的求逆方法
定义：形如 ii nn A A A A A ,00000022
11
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛= 是矩阵 n i ,2,1= 。

A 称为准对角矩阵。

其求逆的方法：可以证明：如果nn A A A ,,,2211 都可逆，则准对角矩阵也可逆，且
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎪
⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎭⎫ ⎝
⎛----11
22
1
11
1
22110
00000
00000nn nn A A A A A A
例 7. 已知 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=50
005100230
00
04
A ，求1-A 。

解：设11A =4 ⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛-=512322A 533-=A ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=332211
00000A A A A 求得：,4
11
11=-A ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛=-3125
171122
A 511
33-=-A
所以 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=----510
00173171001721750000410
000
00
133
122
1111
A A A A
方法八.恒等变形法
有些计算命题表面上与求逆矩阵无关，但实质上只有求出其逆矩阵之后，才能解决问题。

而求其逆矩阵常对所给矩阵进行恒等变形，且常变为两矩阵乘积等于单位矩阵的等式。

例 8.已知E A =6 ， 求11A ， 其中⎪
⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-
=212
3232
1A ， 解：对已知矩阵等式E A =6进行恒等变形，得 E A A A A A E A =•=•=•=116666
于是，111-=A A ，又因为A 是正交矩阵，T A A =-1，所以 ⎪
⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛-===-212
3232
1111T A A A
方法九.公式法
利用下述诸公式，能够迅速准确地求出逆矩阵。

１） 二阶矩阵求逆公式（两调一除）：若 Ａ＝⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛d c b a ， 则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-a c b d A A 11
２） 初等矩阵求逆公式： ij ij E E =-1
)1()(1k
E k E i i =-
)()(1k E k E ij ij -=-
３） 对角线及其上方元素全为１的上三角矩阵的逆矩阵
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100011101111 A 的逆矩阵为：
⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛--=-100001100000110000111 A
４） 正交矩阵的求逆公式： 若A 为正交矩阵，则T A A =-1
5）其他常用的求逆公式： 111)(---=A B AB T T A A )()(11--= A A A A 1
11)*(*)(---==
S A A A A ,,,,321 可逆 ，则11121121)(----=A A A A A A S
S 例 9. 已知：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100010001A ， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=100110111
B ，求1)(-AB 。

解：由于A 是初等矩阵，由公式得：A A =-1
而B 为元素都为1的上三角矩阵，由公式得：⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=-1001100111
B ，再由公式得：
⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛--=-01
0110101
11
010000110
0110
011
)(1
AB
到此为止，我已介绍了9种求逆矩阵的方法，除此外还有求正定矩阵的逆矩阵的三角阵法，由于其方法不是很简便，在此略。

这些方法各有所长，读者可根据实际情况进行选择。

当然，除此之外还有其它方法。

希望能和大家在今后的学习中，共同研究出更方便，更有效的矩阵求逆方法。

参考文献：
[1] 高等代数/大学数学系几何与代数教研室代数小组编。

1988.3 [2] 高等代数一题多解200例/ 献祝 编 人民。

[3] 线性代数学习指导/ 戴宗儒 编 科学技术。

[4] 线性代数解题方法技巧归纳/ 毛纲源 编 华中理工大学。

[5] 数学手册/ 《数学手册》编写组编。