云南省玉溪第一中学高三下学期第一次月考文数试题

第Ⅰ卷 （选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集}5,4,3,2,1{=U ,集合}23{<-∈=x Z x A ，则集合=A C U （ ） A ．{1, 2, 3, 4} B ．{2, 3, 4} C ．{1,5} D ．{5} 【答案】C 【解析】
试题分析：}23{<-∈=x Z x A {}2,3,4=，{}1,5U C A ∴=. 考点：集合的交集、补集运算.
2．欧拉公式cos sin ix
e x i x =+（i 为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数
函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，i
e 2-表示的复数在复平面中位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【答案】C
考点：复数的几何意义．
3. “直线12:-+=k kx y l 在坐标轴上截距相等”是“1-=k ”的（ ）条件． A ．充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C ．充分必要条件 D. 既不充分也不必要
条件 【答案】B 【解析】
试题分析：当“1-=k ”时，此时直线l 的方程为：3y x =--，所以其在,x y 轴上的截距分别为3,3--，即直线l 满足在坐标轴上截距相等，所以“直线12:-+=k kx y l 在坐标轴上截距相等” 是“1-=k ”的必要条件；反过来，当“直线12:-+=k kx y l 在坐标轴上截距相等”时，2121k k k --=-
，所以1k =-或1
2
k =，不能推出1-=k ，所以“直线12:-+=k kx y l 在坐标轴上截距相等”是“1-=k ”的不充分条件，综上所述，“直线
12:-+=k kx y l 在坐标轴上截距相等”是“1-=k ”的必要不充分条件，故应选A ．
考点：1、充分条件；2、必要条件．
【方法点睛】充分不必要条件、必要不充分条件、既不充分也不必要条件的判断的一般方法： ①充分不必要条件：如果p q ⇒，且p q ⇐/，则说p 是q 的充分不必要条件； ②必要不充分条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐，则说p 是q 的必要不充分条件； ③既不充分也不必要条件：如果p q ⇒/，且p q ⇐/，则说p 是q 的既不充分也不必要条件. 4．在等差数列{n a }中，62
1
129+=
a a ，则数列{n a }的前11项和11S 等于（ ） A ．24 B ．48 C ．66 D ．132 【答案】D
考点：等差数列的前n 项和．
5．将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）
【答案】D 【解析】
试题分析：所得几何体的轮廓线中，除长方体原有的棱外，有两条是原长方体的面对角线，
它们在侧视图中落在矩形的两条边上，另一条是原长方体的对角线，在侧视图中的矩形的自左下而右上的一条对角线，因在左侧不可见，故而用虚线，所由上分析知，应选D. 考点：三视图.
6. 已知α
αααα2
222cos sin 22
cos sin ,2tan ++-=则等于（ ） A ．
913 B ．911 C ．7
6 D ．
7
4
【答案】
A
考点：同角的基本关系.
7．已知向量a ,b 满足1=a
,=b
,2+=
a b 则b 与-a b 的夹角为( )
A ．30︒
B ．60︒
C ．120︒
D ．150︒ 【答案】D 【解析】 试题分析：
270a b a b +=∴⋅=，又()
()2
2
3,2a b b a b b a b a b
-⋅=⋅-=--=
-=
，
所以(
)3
cos ,,150223
b a
b
b a b b a b b a b
⋅-<->=
=
=-∴<->=︒⋅-.
考点：平面向量的数量积. 8. ()2ln x
f x x x
=-
，则函数()y f x =的大致图像为（ ）
【答案】A 【解析】
考点：函数的图像.
【思路点睛】本题借助于对数函数和含有绝对值的函数，考查通过对函数的定义域、值域、单调性的研究，利用函数的性质研究出图象的变化规律及图象的位置，先求出其定义域，得到{|}0x x ≠，根据函数的奇偶性排除B 、C 两项，再证明当0x >时，函数图象恒在x 轴上方，排除D 选项，从而可得正确的选项是A ．
9．已知)172(log 2
2+-=x x y 的值域为),[+∞m ,当正数b a ,满足
m b
a b a =+++21
32时,则b a 47+的最小值为（ ）
A ．
4
9
B ．5
C ．4225+
D ．9
【答案】A 【解析】
试题分析：设()2
2
217116t x x x =-+=-+函数()
2
2log 617y x x =-+，则函数
[)2log 16y t t =∈+∞，，，∵2log y t =，在[)16t ∈+∞，上单调递增，∴当16t =时，最小
值
为
2l
o g
164=，所以4
m =，
21
432a b a b
+=++，
()()12174232432a b a b a b a b a b ⎛⎫+=
⋅++++⎡⎤ ⎪⎣
⎦++⎝⎭ ()()
()23231119
5554423444a b a b a b a b ⎛++⎛⎫ =⋅++≥⋅+=⋅+= ⎪ ++⎝⎭⎝，当且仅当
()()
222332a b a b a b a b
++=++时取等号，故选A.
考点：1.复合函数的值域；2.基本不等式.
10. 已知圆22
210C x y x +--=：，直线34120l x y -+=：
，圆C 上任意一点P 到直线l 的距离小于4的概率为（ ） A ．
13 B ．23 C ．34 D ．14
【答案】C
考点：几何概型．
11. 抛物线2
2y px =（0p >）的焦点为F ，已知点A 、B 为抛物线上的两个动点，且满足
120AFB ∠=︒，过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则
||
||
MN AB 的最大值为( )
A.
3 B. 1 C. 3
D. 2 【答案】A
考点：1．抛物线方程及性质；2．余弦定理． 【思路点睛】本题在抛物线中，利用定义和余弦定理求
MN
AB
的最大值，着重考查抛物线的定义和简单几何性质、基本不等式求最值和余弦定理的应用等知识；设AF a BF b ==，，连
接AF BF 、．由抛物线定义得2MN a b =+，由余弦定理可得()22
AB a b ab =+-，进而根据基本不等式，求得|AB|的取值范围，从而得到本题答案．
12. 已知函数错误！未找到引用源。

，e 为自然对数的底数)与错误！未找到引用源。

的图象上存在关于x 轴对称的点，则实数a 的取值范围是（ ）
A .]21,
1[2
+e B .]2,1[2
-e C .]2,21[22-+e e
D .),2[2+∞-e 【答案】B 【解析】
考点：1．导数在不等式中的应用；2．函数的极值．
【思路点睛】本题考查了构造函数法求方程的解及参数范围；关键是将已知转化为方程
222ln 2ln a x x a x x -=-⇔-=-在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦上有解，这是解题的关键．由已知，得到方程
222ln 2ln a x x a x x -=-⇔-=-在1,e e ⎡⎤
⎢⎥⎣⎦
上有解，构造函数()22ln f x x x =-，求出它的
值域，得到a -的范围即可．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13．右图是一个算法流程图，则输出S 的值是 ．
【答案】35 【解析】
试题分析：执行算法流程，有0,1S k ==，不满足条件5,1,3k S k >==，不满足条件
5,10,5k S k >==，不满足条件5,35,7k S k >==，满足条件5k >，输出S 的值35．
考点：程序框图． 14. 若抛物线2
8
1x y =
的焦点F 与双曲线a y x =-22的一个焦点重合，则a 的值为 ． 【答案】
-2
考点：抛物线、双曲线的焦点.
15. 半径为1的球面上有四个点D C B A ,,,，球心为点O ，AB 过点DB DA CB CA O ==,,，
1=DC ，则三棱锥BCD A -的体积为 .
【答案】6
3 【解析】
试题分析：由题意可知图形如图：AB 过点O ，CA CB =，DA DB =，三角形ABD 与ACB 都是等腰直角三角形，半径为1的球面上有四个点A B C D ，，，，球心为点O ，
（第13题图）
∴AD BD AC BC ====
1DC =，1OD OC ==，AB OD ⊥，AB OC ⊥，几何体的体积为：
2111()12323OCD S AO OB ∆⨯⨯+=⨯=
.
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积．
【思路点睛】本题考查球的内接体知识，几何体的体积的求法，空间想象能力以及计算能力．画出图形，连结OD OC ，，可判断棱锥的特征，然后再根据题中所给数据，球的相关性质和锥体的体积公式，即可求出体积．
16. 已知函数()2ln ,041,0
x x f x x x x ⎧>⎪=⎨++≤⎪⎩,若关于x 的方程 ()()2
0f x bf x c -+=(,b c ∈R )
有8个不同的实数根, 则
2
1
c b --的取值范围为________. 【答案】),2()1,(+∞⋃--∞
令2
1
c z b -=
-，其表示为可行域中的一点(),b c 与点()1,2连线的斜率的取值范围，由图可知在()00，
处2z =，在()2,1处1z =-，由斜率的性质可知其取值范围为),2()1,(+∞⋃--∞. 考点：1.函数与方程；2.斜率的性质.
【思路点睛】题中原方程()()20f x bf x c -+=有8个不同实数解，即要求对应于()f x k =，有2个不同的k ，再根据函数对应法则，每一个常数可以找到4个x 与之对应，就出现了8个不同实数解，故先根据题意作出()f x 的简图，由图可知，只有满足条件的k 在开区间()01，时
符合题意．再根据一元二次方程根的分布理论可以得出答案．
三、解答题（本大题共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. （本小题满分12分）
在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，且22()(2a b c bc --=，
2
sin sin cos 2
C A B =. （Ⅰ）求角B 的大小；
（Ⅱ）若等差数列{}n a 的公差不为零，且B a 2cos 1=1，且842a a a 、、成等比数列，求
⎭
⎬⎫⎩⎨⎧+14n n a a 的前n 项和n S .
【答案】（Ⅰ）
6π；（Ⅱ）1
n n +．
考点：1．解三角形；2．数列求和．
【方法点睛】裂项相消在使用过程中有一个很重要得特征，就是能把一个数列的每一项裂为两项的差，其本质就是两大类型类型一:()()
n k
a f n f n c =
+型，通过拼凑法裂解成
11n n n c n n c k k a a a cd a a ++⎛⎫
=
=- ⎪⎝⎭
；类型二：通过有理化、对数的运算法则、阶乘和组合数公式
直接裂项型；该类型的特点是需要熟悉无理型的特征，对数的运算法则和阶乘和组合数公式。

无理型的特征是，分母为等差数列的连续两项的开方和，形如()()
n k
a f n f n c =
++型，常
=
1
1log log log n a
a n a n n
a a a a ++=-本身可以裂解；③阶乘和组合数公式型要重点掌握()!1!!nn n n =+-和
11m m m n n n
C C C ++-=.
18． (本小题满分12分)
如图，在三棱柱111ABC A B C -中，已知11AB BB C C ⊥侧面， 1AB BC ==，12BB =，
13
BCC π
∠=
.
（Ⅰ）求证：1C B ABC ⊥平面； （Ⅱ）求点B 到平面11C AB 的距离. 【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）详见解析
（Ⅱ）111111132A B BC V BC B C AB -=⨯⨯⨯⨯=
又11112,1AB AC B C =
==== 11111
12
AB C S AC BC ∆∴=
⨯= 设点B 到平面11AB C 的距离为h
11111113362
B AB
C AB C V S h h h -∆∴=⨯=⨯⨯==
所以点B 到平面11AB C
. 考点：1.点、线、面间的距离计算；2.直线与平面垂直的判定． 19. （本小题满分12分）
某城市100户居民的月平均用电量（单位：度），以[)160,180，[)180,200，[)200,220，
[)220,240， [)240,260，[)260,280，[]280,300分组的频率分布直方图如图:
（Ⅰ）求直方图中x 的值；
（Ⅱ）求月平均用电量的众数和中位数；
（Ⅲ）在月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月平均用电量在[)220,240的用户中应抽取多少户？ 【答案】（Ⅰ）0075.0=x ；（Ⅱ）224；（Ⅲ）
5
度
/.0.0.0x
.0.0.0
试题解析：解：（Ⅰ）依题意
1=20×0125.0+20×011.0+20×0095.0+20+20×005.0+20×0025.0+20×002.0x
解得0075.0=x
（Ⅱ）由直方图可知，月平均用电量的众数为230.
设中位数为a ，则()()0.0020.00950.011200.01252200.5
a +++⨯+⨯-=，解得224a =
月平均用电量的中位数为224.
（Ⅲ）月平均用电量为[)220,240，[)240,260，[)260,280，[]280,300的四组用户之和为
55=100×]20×0025.0+20×005.0+20×0075.0+20×0125.0[，故月平均用电量在
[)220,240的用户中 应抽取户数为5=20×0125.0×100×5511
.
考点：频率分布直方图． 20. （本小题满分12分）
在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C ：)0(12222>>=+b a b
y a x 的离心率为21
，右焦点F （1,0）.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）点P 在椭圆C 上，且在第一象限内，直线PQ 与圆O ：2
2
2
b y x =+相切于点 M., 且OP⊥OQ， 求点Q 的纵坐标t 的值.
【答案】（Ⅰ）13
42
2=+y x ；（Ⅱ）32±=t
法二：设),(00y x P ，则直线OQ ：x y x y 00-=，∴),(0
0t t x y
Q -， ∵OP⊥OQ，∴OP·OQ=OM·PQ
∴202
00222
202
020)()(3t y t x y x t t x y y x -++
⋅=+⋅
+………8分 ∴)(33)(22
02
2
202
2
02
2
202
020202
220
20t x x y x t y t x y x y x x t y x ++⋅
=+++
⋅=+⋅
+
∴)(3)(2202
2
02
0t x t y x +=+，∴3
32
02
020
2
-+=
y x x t ………………10分
∵1342
02
0=+y x ，∴4332
020x y -=，∴124
132
0202==x x t ，∴32±=t ……………12分 考点：椭圆的简单性质． 21. (本小题满分12分) 已知函数1
()(2)ln 2 f x a x ax x
=-+
+． （Ⅰ）当0<a 时，讨论)(x f 的单调性；
（Ⅱ）若对任意的()[]3,1,,2,321∈--∈x x a 恒有12(ln3)2ln3()()m a f x f x +->-成立，求实数m 的取值范围．
【答案】（Ⅰ）当2a =-时，函数)(x f 的在定义域(0,)+∞单调递增；当20a -<<时，)(x f 在区间1
(0,)2
，1(,)a -
+∞单调递减，在区间11
(,)2a
-单调递增；当2a <-时，)(x f 在区间1(0,)a -，1(,)2
+∞单调递减，在区间11(,)2a -)(x f 单调递增; （Ⅱ）]313
,(-
-∞.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知当(3,2)a ∈--时，函数)(x f 在区间[]1.3单调递减；所以，当[]1.3x ∈时，
max ()(1)12f x f a ==+，min 1
()(3)(2)ln 363
f x f a a ==-++ ........ 10分
问题等价于：对任意的(3,2)a ∈--，恒有1
(ln 3)2ln 312(2)ln 363
m a a a a +->+----成立，即 a am 432->
，因为0<a ，，m i n )432(-<∴a
m 所以，实数m 的取值范围是]313
,(-
-∞．...... 12分 432-<∴a m
考点：导函数的应用．
22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
在极坐标系中，已知圆C 的圆心)6
,3(π
C ，半径3=r .
（Ⅰ）求圆C 的极坐标方程；
（Ⅱ）若点Q 在圆C 上运动，点P 在OQ 的延长线上，且|OQ |∶|QP |＝2:3，求动点P 的轨迹方程． 【答案】（Ⅰ）=6cos 6πρθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
；
（Ⅱ）=10cos 6πρθ⎛
⎫
- ⎪⎝
⎭
考点：1.极坐标；2.直线与圆的方程.
23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数错误！未找到引用源。

（Ⅰ）解不等式错误！未找到引用源。

；
（Ⅱ）若对于错误！未找到引用源。

，有错误！未找到引用源。

．求证：错误！未找到引用源。

． 【答
案
】
（
Ⅰ
）
02
x <<；（Ⅱ）见解析
．
考点：1、绝对值不等式； 2、绝对值不等式的性质．。