新乡市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学

新乡市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学 班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1． 一个多面体的直观图和三视图如图所示，点M 是边AB 上的动点，记四面体FMC E -的体
积为1V ，多面体BCE ADF -的体积为2V ，则
=2
1
V V （ ）1111] A ．4
1 B ．31 C ．21
D ．不是定值，随点M 的变化而变化
2． 在ABC ∆中，60A =，1b =sin sin sin a b c
A B C
++++等于（ ）
A ．
B
C
D 3． 一个长方体去掉一个小长方体，所得几何体的正视图与侧（左）视图分别如图所，则该几何体的俯视图为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
4． 已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（ ）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
5． 执行如图所示的程序框图，输出的结果是（ ）
A ．15
B ．21
C ．24
D ．35
6． 已知命题p ；对任意x ∈R ，2x 2﹣2x+1≤0；命题q ：存在x ∈R ，sinx+cosx=，则下列判断：①p 且q
是真命题；②p 或q 是真命题；③q 是假命题；④¬p 是真命题，其中正确的是（ ） A ．①④ B ．②③
C ．③④
D ．②④
7． 若函数2()48f x x kx =--在[5,8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ）
A ．(]
[),4064,-∞+∞ B ．[40,64] C ．(],40-∞ D ．[)64,+∞
8． 已知抛物线C ：y x 82=的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个交点，若2=，则=QF （ ） A ．6
B ．3
C ．
3
8
D ．
3
4 第Ⅱ卷（非选择题，共100分）
9． 如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，P 是侧面11BB C C 内一动点，若P 到直线BC 与直线11C D 的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）
A 1
C
A B A.直线 B.圆
C.双曲线
D.抛物线
【命题意图】本题考查立体几何中的动态问题等基础知识知识，意在考查空间想象能力.
10．如图，棱长为1的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，M 为线段A 1B 上的动点，则下列结论正确的有（ ）
①三棱锥M ﹣DCC 1的体积为定值 ②DC 1⊥D 1M ③∠AMD 1的最大值为90° ④AM+MD 1的最小值为2．
A ．①②
B ．①②③
C ．③④
D ．②③④
11．函数f （x ）是以2为周期的偶函数，且当x ∈（0，1）时，f （x ）=x+1，则函数f （x ）在（1，2）上的解析式为（ ）
A ．f （x ）=3﹣x
B ．f （x ）=x ﹣3
C ．f （x ）=1﹣x
D ．f （x ）=x+1
12．已知F 1，F 2是椭圆和双曲线的公共焦点，M 是它们的一个公共点，且∠F 1MF 2=，则椭圆和双曲线的离
心率的倒数之和的最大值为（ ）
A ．2
B ．
C ．
D ．4
二、填空题
13．抛物线24x y =的焦点为F ，经过其准线与y 轴的交点Q 的直线与抛物线切于点P ，则FPQ ∆ 外接圆的标准方程为_________.
14．设数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *），则数列{}的前10项的和为 ．
15．设函数f （x ）=
，则f （f （﹣2））的值为 ．
16．若数列{a n }满足：存在正整数T ，对于任意的正整数n ，都有a n+T =a n 成立，则称数列{a n }为周期为T 的周
期数列．已知数列{a n }满足：a1＞=m （m ＞a ），a n+1=
，现给出以下三个命题：
①若 m=，则a 5=2；
②若 a 3=3，则m 可以取3个不同的值；
③若 m=
，则数列{a n }是周期为5的周期数列．
其中正确命题的序号是 ．
17．若与共线，则y= ．
18．定义：分子为1且分母为正整数的分数叫做单位分数．我们可以把1拆分为无穷多个不同的单位分数之和．例
如：1=++，1=+++，1=++++，…依此方法可得：
1=++++++++++++，其中m，n∈N*，则m+n=．
三、解答题
19．电视传媒公司为了解某地区观众对某类体育节目的收视情况，随机抽取了100名观众进行调查，其中女性有55名．下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频率分布直方图：将日均收看该体育节目时间不低于40分钟的观众称为“体育迷”，已知“体育迷”中有10名女性．
（1）根据已知条件完成下面的2×2列联表，并据此资料你是否认为“体育迷”与性别有关？
非体育迷体育迷合计
男
女
总计
（2）将日均收看该体育节目不低于50分钟的观众称为“超级体育迷”，已知“超级体育迷”中有2名女性，若从“超级体育迷”中任意选取2名，求至少有1名女性观众的概率．
附：K2=
P（K2≥k0）0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k00.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.84 5.024
6.635
7.879 10.83
20．已知函数f（x）=e x（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点P（0，1），且在点P处的切线为l：y=4x+1．（I）求a，b的值；
（Ⅱ）若存在实数k，使得x∈[﹣2，﹣1]时f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围．
21．已知复数z=．
（1）求z的共轭复数；
（2）若az+b=1﹣i，求实数a，b的值．
22．已知函数f（x）=（a＞0）的导函数y=f′（x）的两个零点为0和3．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若函数f（x）的极大值为，求函数f（x）在区间[0，5]上的最小值．
23．已知函数f（x）=xlnx，求函数f（x）的最小值．
24．在锐角三角形ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且2csinA=a．（1）求角C的大小；
（2）若c=2，a2+b2=6，求△ABC的面积．
新乡市第一中学2018-2019学年高二上学期第二次月考试卷数学（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】B 【
解
析
】
考
点：棱柱、棱锥、棱台的体积． 2． 【答案】B 【解析】
试题分析：由题意得，三角形的面积011sin sin 6022S bc A bc =
===4bc =，又1b =，所
以4c =，又由余弦定理，可得222220
2cos 14214cos6013a b c bc A =+-=+-⨯⨯=，所以a =
sin sin sin sin a b c a A B C A ++===
++B ． 考点：解三角形．
【方法点晴】本题主要考查了解三角形问题，其中解答中涉及到三角形的正弦定理和余弦定理、三角形的面积公式等知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中利用比例式的性质，得到sin sin sin sin a b c a
A B C A
++=++是解答的关键，属于中档试题．
3． 【答案】C
【解析】解：由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向，从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧，
由以上各视图的描述可知其俯视图符合C 选项． 故选：C ．
【点评】本题考查几何体的三视图之间的关系，要注意记忆和理解“长对正、高平齐、宽相等”的含义．
4． 【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N ， 又由M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}得﹣1≤x ≤3， 即M={x|﹣1≤x ≤3}， 在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M ∩N={1，3}共有2个元素， 故选B ．
5． 【答案】C
【解析】【知识点】算法和程序框图 【试题解析】
否，
否，否，是， 则输出S=24． 故答案为：C 6． 【答案】D
【解析】解：∵命题p ；对任意x ∈R ，2x 2
﹣2x+1≤0是假命题， 命题q ：存在x ∈R ，sinx+cosx=是真命题，
∴①不正确，②正确，③不正确，④正确．
故选D ．
7． 【答案】A 【解析】
试题分析：根据()2
48f x x kx =--可知，函数图象为开口向上的抛物线，对称轴为8
k
x =
，所以若函数()f x 在区间[]5,8上为单调函数，则应满足：
58k ≤或88
k
≥，所以40k ≤或64k ≥。

故选A 。

考点：二次函数的图象及性质（单调性）。

8． 【答案】A
解析：抛物线C ：y x 82
=的焦点为F （0，2），准线为l ：y=﹣2，
设P （a ，﹣2），B （m ，），则=（﹣a ，4），=（m ，﹣2），
∵
，∴2m=﹣a ，4=
﹣4，∴m 2=32，由抛物线的定义可得|QF|=
+2=4+2=6．故选A ．
9． 【答案】D.
第Ⅱ卷（共110分）
10．【答案】A
【解析】解：①∵A1B∥平面DCC1D1，∴线段A1B上的点M到平面DCC1D1的距离都为1，又△DCC1的面积
为定值，因此三棱锥M﹣DCC1的体积V==为定值，故①正确．
②∵A1D1⊥DC1，A1B⊥DC1，∴DC1⊥面A1BCD1，D1P⊂面A1BCD1，∴DC1⊥D1P，故②正确．
③当0＜A1P＜时，在△AD1M中，利用余弦定理可得∠APD1为钝角，∴故③不正确；
④将面AA1B与面A1BCD1沿A1B展成平面图形，线段AD1即为AP+PD1的最小值，
在△D1A1A中，∠D1A1A=135°，利用余弦定理解三角形得AD1==＜2，故④不正确．
因此只有①②正确．
故选：A．
11．【答案】A
【解析】解：∵x∈（0，1）时，f（x）=x+1，f（x）是以2为周期的偶函数，
∴x∈（1，2），（x﹣2）∈（﹣1，0），
f （x ）=f （x ﹣2）=f （2﹣x ）=2﹣x+1=3﹣x ， 故选A ．
12．【答案】 C
【解析】解：设椭圆的长半轴为a ，双曲线的实半轴为a 1，（a ＞a 1），半焦距为c ， 由椭圆和双曲线的定义可知， 设|MF 1|=r 1，|MF 2|=r 2，|F 1F 2|=2c ， 椭圆和双曲线的离心率分别为e 1，e 2 ∵∠F 1MF 2=
，
∴由余弦定理可得4c 2=（r 1）2+（r 2）2
﹣2r 1r 2cos ，①
在椭圆中，①化简为即4c 2=4a 2
﹣3r 1r 2，
即=﹣1，②
在双曲线中，①化简为即4c 2=4a 12
+r 1r 2，
即=1﹣，③
联立②③得，
+
=4，
由柯西不等式得（1+）（+
）≥（1×
+
×
）2，
即（+）2
≤×4=
，
即
+≤
，
当且仅当e
1=，e 2=
时取等号．即取得最大值且为
．
故选C ．
【点评】本题主要考查椭圆和双曲线的定义和性质，利用余弦定理和柯西不等式是解决本题的关键．难度较大．
二、填空题
13．【答案】()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=
【解析】
试题分析：由题意知()0,1F ，设2001,
4P x x ⎛⎫
⎪⎝⎭
，由1'2y x =，则切线方程为()20001142y x x x x -=-，代入
()0,1-得02x =±，则()()2,1,2
,1P -，可得PF FQ ⊥，则FPQ ∆外接圆以PQ 为直径，则()2
212
x y -+=或()2
212x y ++=.故本题答案填()2
212x y -+=或()2
2
12x y ++=．1
考点：1.圆的标准方程；2.抛物线的标准方程与几何性质．
14．【答案】 ．
【解析】解：∵数列{a n }满足a 1=1，且a n+1﹣a n =n+1（n ∈N *
），
∴当n ≥2时，a n =（a n ﹣a n ﹣1）+…+（a 2﹣a 1）+a 1=n+…+2+1=．
当n=1时，上式也成立，
∴a n =．
∴=2
．
∴数列{}的前n 项的和S n =
=
=
．
∴数列{
}的前10项的和为
．
故答案为：
．
15．【答案】 ﹣4 ．
【解析】解：∵函数f （x ）=
，
∴f （﹣2）=4﹣2
=
，
f （f （﹣2））=f （
）=
=﹣4．
故答案为：﹣4．
16．【答案】 ①② ．
【解析】解：对于①由a n+1=，且a1=m=＜1，
所以，＞1，，，∴a5=2 故①正确；
对于②由a3=3，若a3=a2﹣1=3，则a2=4，若a1﹣1=4，则a1=5=m．
若，则．
若a1＞1a1=，若0＜a1≤1则a1=3，不合题意．
所以，a3=2时，m即a1的不同取值由3个．
故②正确；
若a
=m=＞1，则a2=，所a3=＞1，a4=
1
故在a1=时，数列{a
}是周期为3的周期数列，③错；
n
故答案为：①②
【点评】本题主要考查新定义题目，属于创新性题目，但又让学生能有较大的数列的知识应用空间，是较好的题目
17．【答案】﹣6．
【解析】解：若与共线，则2y﹣3×（﹣4）=0
解得y=﹣6
故答案为：﹣6
【点评】本题考查的知识点是平面向量共线（平行）的坐标表示，其中根据“两个向量若平行，交叉相乘差为零”的原则，构造关于y的方程，是解答本题的关键．
18．【答案】33．
【解析】解：∵1=++++++++++++，
∵2=1×2，
6=2×3，
30=5×6，
42=6×7，
56=7×8，
72=8×9，
90=9×10，
110=10×11，
132=11×12，
∴1=++++++++++++=（1﹣）+++（﹣）+，
+==﹣+﹣=，
∴m=20，n=13，
∴m+n=33，
故答案为：33
【点评】本题考查的知识点是归纳推理，但本题运算强度较大，属于难题．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）由频率分布直方图中可知：抽取的100名观众中，“体育迷”共有（0.020+0.005）×10×100=25名．可得2×2列联表：
非体育迷体育迷合计
男30 15 45
女45 10 55
总计75 25 100
将2×2列联表中的数据代入公式计算可得K2的观测值为：k==≈3.030．
∵3.030＜3.841，
∴我们没有理由认为“体育迷”与性别有关．
（2）由频率分布直方图中可知：“超级体育迷”有5名，从而一切可能结果所组成的基本事件空间Ω={（a1，a2），（a1，a3），（a2，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）}，其中a i（i=1，2，3）表示男性，b j（j=1，2）表示女性．
设A表示事件“从“超级体育迷”中任意选取2名，至少有1名女性观众”，则事件A包括7个基本事件：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）．
∴P（A）=．
【点评】本题考查了“独立性检验基本原理”、古典概率计算公式、频率分布直方图及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20．【答案】
【解析】解：（I）f'（x）=e x（ax+a+b）+2x+2…
依题意，，即，解得．…
（II）由f（x）≥x2+2（k+1）x+k得：e x（x+1）≥k（2x+1）．
∵x∈[﹣2，﹣1]时，2x+1＜0，
∴f（x）≥x2+2（k+1）x+k即e x（x+1）≥k（2x+1）恒成立，
当且仅当…
设，
由g'（x）=0得…
当；
当∴上的最大值为：
…
所以常数k的取值范围为…
【点评】本题考查函数的导数的综合应用，切线方程，闭区间是函数的最值的求法，构造法的应用，难度比较大，是高考常考题型．
21．【答案】
【解析】解：（1）．
∴=1﹣i．
（2）a（1+i）+b=1﹣i，即a+b+ai=1﹣i，
∴，
解得a=﹣1，b=2．
【点评】该题考查复数代数形式的乘除运算、复数的基本概念，属基础题，熟记相关概念是解题关键．22．【答案】
【解析】解：f′（x）=
令g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c
函数y=f′（x）的零点即g（x）=﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c的零点
即：﹣ax2+（2a﹣b）x+b﹣c=0的两根为0，3
则解得：b=c=﹣a，
令f′（x）＞0得0＜x＜3
所以函数的f（x）的单调递增区间为（0，3），
（2）由（1）得：
函数在区间（0，3）单调递增，在（3，+∞）单调递减，
∴，
∴a=2，
∴；，
∴函数f（x）在区间[0，4]上的最小值为﹣2．
23．【答案】
【解析】解：函数的定义域为（0，+∞）
求导函数，可得f′（x）=1+lnx
令f′（x）=1+lnx=0，可得
∴0＜x＜时，f′（x）＜0，x＞时，f′（x）＞0
∴时，函数取得极小值，也是函数的最小值
∴f（x）min===﹣．
【点评】本题考查导数知识的运用，考查函数的最值，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
24．【答案】
【解析】（本小题满分10分）
解：（1）∵，
∴，…2分
在锐角△ABC中，，…3分
故sinA≠0，
∴，．…5分
（2）∵，…6分
∴，即ab=2，…8分
∴．…10分
【点评】本题主要考查了正弦定理，特殊角的三角函数值，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．。