高中数学第二章2.3.4平面向量共线的坐标表示同步优化训练新人教A版必修150

学 习 资 料 专 题
2.3.4 平面向量共线的坐标表示
5分钟训练(预习类训练，可用于课前)
1.下列各向量组中，不能作为表示平面内所有向量的基底的一组是( )
A.a =(-1，2)，b =(0，5)
B.a =(1，2)，b =(2，1)
C.a =(2，-1)，b =(3，4)
D.a =(-2，1)，b =(4，-2) 解析：我们把不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，而D 中两个向量共线，故不能作为一组基底.
答案：D
2.以下命题错误的是( )
A.若i 、j 分别是与x 轴、y 轴同向的单位向量，则｜i +j ｜=｜i -j ｜
B.若a ∥b ，a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则必有2
211y x y x = C.零向量的坐标表示为(0，0)
D.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去始点坐标
解析：对B 选项，两个向量中，若有与坐标轴共线的或有零向量，则坐标不应写成比例式. 答案：B
3.与a =(12,5)平行的单位向量为( ) A.(
1312,135-) B.(1312-,13
5-) C.(1312,135)或(1312-,135-) D.(±1312,±135) 解析：设与a 平行的单位向量为e=(x,y),则x 2+y 2
=1.
∵e ∥a ,∴设e =λa ,
即(x,y)=λ(12,5).x=12λ,y=5λ,
代入x 2+y 2=1,得λ=±13.
答案：C
10分钟训练(强化类训练，可用于课中)
1.已知a =(-1,3)，b =(x,-1)，且a ∥b ，则x 等于( ) A.3 B.-
31 C.3
1 D.-3 解析：因为a ∥b ，所以(-1)·(-1)-3x=0，解得x=31. 答案：C
2.已知｜a ｜=10,b =(3,4),a ∥b ,则向量a =__________________________. 解析：设a =(x,y)，然后利用|a |=10,a ∥b ,列出含x,y 的两个等式，解出x,y. 答案：(6,8)或(-6,-8)
3.如果向量=i -2j ，=i +m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试
确定实数m 的值使A 、B 、C 三点共线.
解法一：∵A、B 、C 三点共线，即、BC 共线，
∴存在实数λ使得BC AB λ==λBC ，即i -2j =λ(i +m j ).
∴⎩
⎨⎧-==.2,1m λλ∴m =-2， 即m=-2时，A 、B 、C 三点共线.
解法二：依题意知i =(1，0)，j =(0，1)，则=(1，0)-2(0，1)=(1，-2)，=(1，0)+m(0，
1)=(1，m)，而，BC 共线，∴1×m+2=0.
故当m=-2时，A 、B 、C 三点共线.
4.如图2-3-11所示，已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC 和BD 交点P 的坐标.
图2-3-11
解法一：设t ==t(4,4)=(4t,4t), ∴-==(4t-4,4t),=(2,6)-(4,0)=(-2,6). ∵与共线，∴(4t-4)×6-4t×(-2)=0，得t=
4
3. ∴OP =(4t,4t)=(3,3)，即P(3,3).
解法二：设P(x,y)，则=(x,y)，=(4,4). ∵与共线，∴4x -4y=0. ① 又=(x-2,y-6),=(2,-6)且与共线，∴-6(x-2)+2(6-y)=0. ②
由①②解方程组可得x=3,y=3，即P(3,3).
5.平面内给定三个向量：a =(3,2),b =(-1,2),c =(4,1).
(1)求3a +b -2c ；
(2)求满足a =m b +n c 的实数m 和n ；
(3)若(a +k c )∥(2b -a )，求实数k ；
(4)设d =(x,y)满足(d -c )∥(a +b )且｜d -c ｜=1，求d .
解：(1)3a +b -2c =3(3,2)+(-1,2)-2(4,1)=(9,6)+(-1,2)-(8,2)=(9-1-8,6+2-2)=(0,6).
(2)∵a =m b +n c ,m 、n∈R ，
∴(3,2)=m(-1,2)+n(4,1)=(-m+4n,2m+n).
∴⎩⎨⎧=+=+-,
22,34n m n m 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==.98,95n m (3)∵(a +k c )∥(2b -a )且a +k c =(3+4k,2+k)2b -a =(-5,2)，
∴(3+4k)×2-(-5)×(2+k)=0. ∴k=13
16-. (4)∵d -c =(x-4,y-1)，a +b =(2,4)，且(d -c )∥(a +b )且|d -c |=1，
∴⎩⎨⎧=-+-=---.1)1()4(,
0)1(2)4(422y x y x 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=+=5525,5520y x 或⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=-=.5525,5520y x
∴d =(5525,5520++)或d =(5
525,5520--). 30分钟训练(巩固类训练，可用于课后)
1.已知A ，B ，C 三点共线，且A(3，-6)，B(-5，2)，若C 点横坐标为6，则C 点的纵坐标为
( )
A.-13
B.9
C.-9
D.13
解析：设C(6，y)，则∥. 又=(-8，8)，AC =(3，y+6)，
∴-8(y+6)-3×8=0.∴y=-9.
答案：C
2.与a =(-5，4)平行的向量是( )
A.(-5k ，4k)
B.(k
k 4,5-) C.(-10，2) D.(5k ，-4k) 解析：∵-5×4k -(-5k)×4=0，∴a 与(-5k ，4k)平行.
答案：A
3.若a =(3，4)，b ∥a 且b 的起点为(1，2)，终点为(x ，3x)，则b =________________. 解析：∵b =(x ，3x)-(1，2)=(x-1，3x-2)，且b ∥a ，
∴3(3x -2)-4(x-1)=0.∴x=5
2.
∴b =(-
53，5
4-). 答案：(-53，54-) 4.已知点M(x ，y)在向量=(1，2)所在的直线上，则x ，y 所满足的条件为__________. 解析：∵M 在OP 所在的直线上，∴OM ∥OP . 又OM =(x ，y)，OP =(1，2)，∴2x -y=0，即y=2x.
答案：y=2x
5.已知向量a 、b 不共线，实数x ，y 满足向量等式3x a +(10-y)b =2x b +(4y+7)a ，则x=___________，y=____________________.
解析：由⎩⎨⎧=-+=,210,743x y y x 解得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==1116
,1147y x 答案：1147 11
16 6.已知向量=(6，1),=(x ，y)，=(-2，-3)，当∥时，求实数x 、y 应满足的关系. 解：)(++-=-=
=-［(6，1)+(x ，y)+(-2，-3)］
=(-x-4，-y+2)，
=(x ，y). 当∥时，x(-y+2)-y(-x-4)=0，化简得y=21-
x. 所以当∥时，x 、y 应满足y=2
1-x. 7.已知a =(2，-1)，b =(x ，2)，c =(-3，y)，且a ∥b ∥c ,求x 、y 的值.
解：由a ∥b ,得4+x=0.∴x=-4.
由a ∥c ,得2y-3=0.∴y=
23. ∴x=-4，y=2
3. 8.已知a =(1，2)，b =(-3，2)，当k 为何值时，k a +b 与a -3b 平行？平行时它们是同向还是反向？
解法一：k a +b =k(1，2)+(-3，2)=(k-3，2k+2)，a -3b =(1，2)-3(-3，2)=(10，-4). 当k a +b 与a -3b 平行时，存在唯一实数λ，使k a +b =λ(a -3b ).
由(k-3，2k+2)=λ(10，-4)，
∴⎩⎨⎧-=+=-.
422,103λλk k
解得k=-
31，λ=-31. 当k=-31时，k a +b 与a -3b 平行，这时k a +b =-3
1a +b . ∵λ=-31＜0，∴-3
1a +b 与a -3b 反向. 解法二：由解法一知k a +b =(k-3，2k+2)，
a -3
b =(10，-4)，因(k a +b )∥(a -3b )，
∴(k -3)×(-4)-10×(2k+2)=0.
解得k=-
31，此时k a +b =(-31-3，3
2-+2)=(34,310-)=-31(10，-4)=-31(a -3b ). ∴当k=-31时，k a +b 与a -3b 平行并且反向. 9.已知a =(3，2)，b =(2，-1)，若λa +b 与a +λb (λ∈R )平行，求λ的值. 解：λa +b =λ(3，2)+(2，-1)=(3λ+2，2λ-1)，
a +λ
b =(3，2)+λ(2，-1)=(3+2λ，2-λ).
由题意知(3λ+2)(2-λ)-(3+2λ)(2λ-1)=0，化简得λ2=1，即λ=±1.
10.已知A 、B 、C 三点坐标分别为(-1，0)、(3，-1)、(1，2)，AE =31AC ，BF =31BC , 求证：∥.
证明：设E 、F 两点坐标分别为(x 1，y 1)、(x 2，y 2). ∵=(2，2)，=(-2，3)，=(4，-1)， ∴AE =
31=(32，32)，=31=(3
2-，1)， =(x 1，y 1)-(-1，0)=(32，3
2)， =(x 2，y 2)-(3，-1)=(3
2-，1). ∴(x 1，y 1)=(32，3
2)+(-1，0)=(-31，32)， (x 2，y 2)= 32-，1)+(3，-1)=(3
7，0). ∴=(x 2，y 2)-(x 1，y 1)=(37，0)-(-31，32)=(38，3
2-). ∵4×(32-)-(-1)×38=0， ∴∥.。