《全称量词与存在量词》教学设计

课题：全称量词与存在量词(授课人
一、教学目标
1、知识与技能通过生活和数学中的丰富实例，理解全称量词和存在量词的意义；掌握全称命
题和特称命题的概念及判断它们真假的一般方法．
2、过程与方法培养学生分析问题，总结问题的能力.
3、情感、态度、价值观在数学中运用好有关的量词进而用符号熟练表达数学思想.
二、教学重点、难点
1、重点通过生活和数学中的丰富实例，理解全称命题和特称命题的概念及判断它们真假的一
般方法．
2、难点全称命题和特称命题的真假判定。

三、教学过程
一)新课学习
(一)、全称量词
由课本21页思考(幻灯片上思考1)引出问题，即由：
(1)x>3;
(2)2x+l是整数.w
(3)对于所有的x^R,x>3;
(4)对任意一个xZ，2x+l是整数.
由上面例子引出：
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词(universalquantifier)，并用符号
“V”表示，含有全称量词的命题，叫做全称命题.
注：1、常见的全称量有：“一切”，“每一个”，“任给”，“所有的”等；
2、组织列举其他数学例子,加深对全称量词的理解
总结全称命题的符号语言：
通常，将含有变量x的语句用p(x),q(x),r(x),…表示，变量x的取值范围用M来表示.那么，全程命题“对于M中任意一个x,有p(x)成立”可以用符号简记为
V x e M,p(x),读作“对任意x属于M,有p(x)成立”.
例1：判断下列全称命题的真假：
(1)所有的素数是奇数
(2)VxeR,X+1>1;
例后小结：1、引导学生体会符号语言表达数学内容的准确性、简洁性，从而提倡学生在今后的数学学习中，自觉地运用符号语言表达一些数学内容2、判断全称命题真假的一般方
法：举反例法.
例后练习：课本23页1题。

(二)、存在量词
由课本22页思考(幻灯片上思考2)引出问题，即由：
(1)2x+1=3
(2)x能被2和3整除；
(3)存在一个x G R,使2x+1=3;
00
(4)至少有一个x G乙x能被2和3整除.
00
由上面例子引出：
短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词(existentialquantifier)，并用符号“3”表示，含有存在量词的命题，叫做特称命题..注：1、常见的存在量词有:“有些”、“有一个”、“对某个”、“有的”等;
2、组织寻找其他数学例子,加深对全称量词的理解.
特称命题的符号语言：
特称命题“存在M中的元素x，使得p(x)成立”可以用符号简记为
00
3x G M,p(x),
00
读作“存在M中的元素x，使得p(x)成立”.
00
例2：判断下列特称命题的真假：
(1)有一个实数x，使x2+2x+3=0；
000
(2)存在两个相交平面垂直于同一条直线；
(3)有些整数只有两个正因数.
例后小结：判断特称命题真假的一般方法：举特例法.
例后练习：课本23页第2题.
随堂演练：(1、2、3见课件)
二)课后探索
命题七'(a+&)2=凹是全称命题吗？如果不是全称命题，请补充必要的条件，使之成为全b+1|b+1称命题。

三)小结
1、全称量词、存在量词及全称命题和特称命题的定义；
2、全称命题与特称命题真假的判断；
3、全称命题和特称命题的自然语言与符号语言的转化.
四)布置作业
第二教材第19页的分级训练.
全称量词与存在量词
(一)
教学目标了解量词在日常生活中和数学命题中的作用，正确区分全称量词和存在量词的概念，并能准确使用和理解两类量词。

教学重点：理解全称量词、存在量词的概念区别；教学难点：正确使用全称命题、存在性命题；课型：新授课
教学手段：多媒体
教学过程：
一、创设情境
在前面的学习过程中，我们曾经遇到过一类重要的问题：给含有“至多、至少、有一个“i・”等量词的命题进行否定，确定它们的非命题。

大家都曾感到困惑和无助，今天我们将专门学习和讨论这类问题，以解心中的郁结。

问题1：请你给下列划横线的地方填上适当的词
①一—纸；②一—牛；③一—狗；④一—马；⑤一—人家；⑥一—小船①张②头③条④匹⑤户⑥叶
什么是量词？这些表示人、事物或动作的单位的词称为量词。

汉语的物量词纷繁复杂，又有兼表形象特征的作用，选用时主要应该讲求形象性，同时要遵从习惯性，并注意灵活性。

不遵守量词使用的这些原则，就会闹出“一匹牛”“一头狗”“一只鱼”的笑话来。

二、活动尝试
所有已知人类语言都使用量化，即使是那些没有完整的数字系统的语言，量词是人们相互交往的重要词语。

我们今天研究的量词不是究其语境和使用习惯问题，而是更多的给予它数学的意境。

问题2：下列命题中含有哪些量词？
(1)对所有的实数x，都有x2>0；
(2)存在实数X，满足x2>0；
(3)至少有一个实数x，使得x2—2=0成立；
(4)存在有理数X，使得x2—2=0成立；
(5)对于任何自然数n有一个自然数s使得s=nxn；
(6)有一个自然数s使得对于所有自然数n,有s=nxn；上述命题中含有：“所有的”、“存在”、“至
少”、“任何”等表示全体和部分的量词。

三、师生探究
命题中除了主词、谓词、联词以外,还有量词。

命题的量词,表示的是主词数量的概念。

在谓词逻辑中,量词被分为两类：一类是全称量词,另一类是存在量词。

全称量词：如“所有”、“任何”、“一切”等。

其表达的逻辑为：“对宇宙间的所有事物x来说，x都是F。

”例句：“所有的鱼都会游泳。

”
存在量词：如“有”、“有的”、“有些”等。

其表达的逻辑为：“宇宙间至少有一个事物x,x是F。

”例句：“有的工程师是工人出身。

”
含有量词的命题通常包括单称命题、特称命题和全称命题三种。

单称命题：其公式为“(这个)S是P”。

例句：“这件事是我经办的。

”单称命题表示个体，一般不需要量词标志，有时会用“这个”“某个”等。

在三段论中是作为全称命题来处理的。

全称命题：其公式为“所有S是P”。

例句：“所有产品都是一等品”。

全称命题，可以用全称量词，也可以用“都”等副词、“人人”等主语重复的形式来表达，甚至有时可以没有任何的量词标志，如“人类是有智慧的。

”
特称命题：其公式为“有的S是P”。

例句：“大多数学生星期天休息”。

特称命题使用存在量词,如“有些”、“很少”等，也可以用“基本上”、“一般”、“只是有些”等。

含有存在性量词的命题也称存在性命题。

问题3：判断下列命题是全称命题，还是存在性命题？
(1)方程2x=5只有一解；
(2)凡是质数都是奇数；
(3)方程2x2＋1=0有实数根；
(4)没有一个无理数不是实数；
(5)如果两直线不相交，则这两条直线平行；
(6)集合AAB是集合A的子集；分析：(1)存在性命题；(2)全称命题；(3)存在性命题；(4)全称命题；(5)全称命题；(6)全称命题；
四、数学理论
1.开语句：语句中含有变量x或y，在没有给定这些变量的值之前，是无法确定语句真假的.这
种含有变量的语句叫做开语句。

如，xv2,x-5=3,(x+y)(x-y)=O.
2．表示个体常项或变项之间数量关系的词为量词。

量词可分两种：
(1)全称量词
日常生活和数学中所用的“一切的”,“所有的”,“每一个”,“任意的”,“凡”,“都”等词可统称为全称量词，记作V x、Vy等，表示个体域里的所有个体。

(2)存在量词
日常生活和数学中所用的“存在”，“有一个”，“有的”，“至少有一个”等词统称为存在量词，记作3x，3y等，表示个体域里有的个体。

3．含有全称量词的命题称为全称命题，含有存在量词的命题称为存在性称命题。

全称命题的格式：“对M中的所有x，p(x)，啲命题，记为:Vx G M,p(x)
存在性命题的格式：“存在集合M中的元素x，q(x)”的命题，记为:3x G M,q(x)
注：全称量词就是“任意”，写成上下颠倒过来的大写字母A，实际上就是英语"any"中的首字母。

存在量词就是“存在”、“有”，写成左右反过来的大写字母E,实际上就是英语"exist"中的首字母。

存在量词的“否”就是全称量词。

五、巩固运用
例1判断以下命题的真假：
(1)3x G R,x2>x(2)Vx G R,x2>x(3)3x G Q,x2-8=0(4)Vx G R,x2+2>0
分析：(1)真；(2)假；(3)假；(4)真；
例2指出下述推理过程的逻辑上的错误：
第一步：设a=b，则有a2=ab
第二步：等式两边都减去b2，得a2-b2=ab-b2第三步：因式分解得(a+b)(a-b)=b(a-b)第四步：等式两边都除以a-b得，a+b=b第五步：由a=b代人得，2b=b第六步：两边都除以b得，2=1
分析：第四步错：因a-b=0,等式两边不能除以a-b
第六步错：因b可能为0,两边不能立即除以b,需讨论。

心得：(a+b)(a-b)=b(a-b)n a+b=b是存在性命题，不是全称命题，由此得到的结论不可靠。

3)全称命题， x ^R ，
同理，由2b=b n 2=1是存在性命题，不是全称命题。

例3判断下列语句是不是全称命题或者存在性命题，如果是，用量词符号表达出来。

1)中国的所有江河都注入太平洋；
2)
0不能作除数； 3) 任何一个实数除以1，仍等于这个实数
4) 每一个向量都有方向；
分析：(1)全称命题，V 河流x $｛中国的河流｝，河流x 注入太平洋;
(2)存在性命题，3O W R ,0不能作除数；
(4)全称命题，V a ，a 有方向; 六、回顾反思
要判断一个存在性命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素x ,使命题p(x)为真；要判断一个存在性命题为假，必须对在给定集合的每一个元素X ,使命题p(x)为假。

要判断一个全称命题为真，必须对在给定集合的每一个元素X ,使命题p(x)为真；但要判断一个全称命题为假时，只要在给定的集合中找到一个元素X ,使命题p(x)为假。

即全称命题与存在性命题之间有可能转化，它们之间并不是对立的关系。

七、课后练习1．判断下列全称命题的真假，其中真命题为()
A .所有奇数都是质数
B .VxeR ,x 2+1>1
C .对每个无理数x ,则x 2也是无理数
D .每个函数都有反函数 2. 将“x 2+y 2N2xy ，改写成全称命题，下列说法正确的是()
A .Vx ,y e R ，都有x 2+y 2>2xy
B .3x ,y e R ,都有x 2+y 2>2xy
C .Vx>0,y>0,都有x 2+y 2>2xy
D .3x<0,y<0,都有x 2+y 2<2xy
3. 判断下列命题的真假，其中为真命题的是
A .VxeR ,x 2+1=0
B .3xeR ,x 2+1=0
C .VxeR ,sin x<tan x
D .3xeR ,sin x<tan x
4. 下列命题中的假命题是(
A.存在实数a和卩，使cos(a+p)=cos a cos p+sin a sin p
B.不存在无穷多个a和卩，使cos(a+p)=cos a cos p+sin a sin p
C.对任意a和卩，使cos(a+p)=cos a cos p—sin a sin p
D.不存在这样的a和卩，使cos(a+p)#cosa cos p—sin a sin p
5.对于下列语句
(l)3xeZ,x2=3(2)3xeR,x2=2
（3）VxeR,x2+2x+3>0（4）VxeR,x2+x-5>0
其中正确的命题序号是。

（全部填上）
6.命题輕如=耳是全称命题吗？如果是全称命题，请给予证明，如果不是全称命题，请
b+1|b+1
补充必要的条件，使之成为全称命题。

参考答案
1．B
2．A
3．D
4．B
5．（2）（3）
6.不是全称命题，补充条件：a<—b<1（答案不惟一）当a<—b<1时，a+b>0,b+1>0
f（a+b）2—（a+b）a+b
=丰
b+1]b+1b+1。