鲅鱼圈区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

鲅鱼圈区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． “
”是“A=30°”的（
）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也必要条件
2． 已知曲线的焦点为，过点的直线与曲线交于两点，且，则2
:4C y x =F F C ,P Q 20FP FQ +=u u u r u u u r r
OPQ
∆的面积等于（
）
A ．
B ．
C
D
3． 等比数列{a n }中，a 3
，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，则a 6=（ ）
A
．3
B ．
C
．±
D ．以上皆非
4． 在“唱响内江”选拔赛中，甲、乙两位歌手的5次得分情况如茎叶图所示，记甲、乙两人的平均得分分别、
，则下列判断正确的是（
）
A ．＜，乙比甲成绩稳定
B ．＜，甲比乙成绩稳定
C ．＞，甲比乙成绩稳定
D ．＞
，乙比甲成绩稳定
5． 下列命题中正确的是（ ）
A ．若命题p 为真命题，命题q 为假命题，则命题“p ∧q ”为真命题
B ．命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy=0，则x ≠0”
C ．“
”是“
”的充分不必要条件
D ．命题“∀x ∈R ，2x ＞0”的否定是“”
6． 已知平面α、β和直线m ，给出条件：①m ∥α；②m ⊥α；③m ⊂α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m ∥β，应选择
下面四个选项中的（ ）A ．①④B ．①⑤
C ．②⑤
D ．③⑤
7． i 是虚数单位，i 2015等于（
）
A ．1
B ．﹣1
C ．i
D ．﹣i
8． 已知a ＞0，实数x ，y 满足：，若z=2x+y 的最小值为1，则a=（ ）
A ．2
B ．1
C ．
D ．
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
9． 已知全集U=R ，集合M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}和N={x|x=2k ﹣1，k=1，2，…}的关系的韦恩（Venn ）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（
）
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．无穷多个
10．设a ，b ∈R ，i 为虚数单位，若＝3＋b i ，则a －b 为（
）
2＋a i
1＋i
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
11．圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16的位置关系是（ ）
A ．外离
B ．相交
C ．内切
D ．外切
12．已知直线 a P 平面α，直线b ⊆平面α，则（ ）
A ．
B ．与异面
C ．与相交
D ．与无公共点
a b P 二、填空题
13．命题“∃x ∈R ，2x 2﹣3ax+9＜0”为假命题，则实数a 的取值范围为 ．
14．在复平面内，记复数+i 对应的向量为，若向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应
的复数为 ．15．（
﹣
）5的展开式的常数项为 （用数字作答）．
16．命题“对任意的x ∈R ，x 3﹣x 2+1≤0”的否定是 ．　
17．已知z 是复数，且|z|=1，则|z ﹣3+4i|的最大值为 ．　
18．已知θ是第四象限角，且sin （θ+
）=，则tan （θ﹣
）= ．
三、解答题
19．已知f （x ）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，f （1）=1，且若∀a 、b ∈[﹣1，1]，a+b ≠0，恒有＞
0，
（1）证明：函数f （x ）在[﹣1，1]上是增函数；（2）解不等式
；
（3）若对∀x ∈[﹣1，1]及∀a ∈[﹣1，1]，不等式f （x ）≤m 2﹣2am+1恒成立，求实数m 的取值范围．
20．如图，已知椭圆C，点B坐标为（0，﹣1），过点B的直线与椭圆C的另外一个交
点为A，且线段AB的中点E在直线y=x上．
（1）求直线AB的方程；
（2）若点P为椭圆C上异于A，B的任意一点，直线AP，BP分别交直线y=x于点M，N，直线BM交椭圆C于另外一点Q．
①证明：OM•ON为定值；
②证明：A、Q、N三点共线．
21．如图，四面体ABCD中，平面ABC⊥平面BCD，AC=AB，CB=CD，∠DCB=120°，点E在BD上，且CE=DE ．
（Ⅰ）求证：AB⊥CE；
（Ⅱ）若AC=CE，求二面角A﹣CD﹣B的余弦值．
22．甲、乙两位同学参加数学竞赛培训，在培训期间他们参加5次预赛，成绩如下：甲：78 76 74 90 82乙：90 70 75 85 80
（Ⅰ）用茎叶图表示这两组数据；
（Ⅱ）现要从中选派一人参加数学竞赛，你认为选派哪位学生参加合适？说明理由．
23．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+（m ﹣1）i 分别是：（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？　
24．本小题满分12分 设函数()ln x
f x e a x =-Ⅰ讨论的导函数零点个数;()f x '()f x Ⅱ证明:当时,0a >()2ln f x a a a ≥-
鲅鱼圈区第二中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题
1． 【答案】B
【解析】解：“A=30°”⇒
“”，反之不成立．
故选B
【点评】本题考查充要条件的判断和三角函数求值问题，属基本题．　
2． 【答案】C
【解析】
∴，1122(1,)2(1,)(0,0)x y x y -+-=∴③，1220y y +=联立①②③可得，2
18
m =∴
．
12y y -==∴
．1212S OF y y =
-=（由，得
）
1212420y y y y =-⎧⎨+=
⎩12y y ⎧=⎪⎨=⎪⎩12y y ⎧=-⎪⎨=⎪⎩考点：抛物线的性质．3． 【答案】C
【解析】解：∵a 3，a 9是方程3x 2﹣11x+9=0的两个根，∴a 3a 9=3，
又数列{a n }是等比数列，则a 62=a 3a 9=3，即a 6=±．
故选C
4． 【答案】A
【解析】解：由茎叶图可知=（77+76+88+90+94）=，
=（75+86+88+88+93）==86，则＜，
乙的成绩主要集中在88附近，乙比甲成绩稳定，
故选：A
【点评】本题主要考查茎叶图的应用，根据平均数和数据的稳定性是解决本题的关键．
5．【答案】D
【解析】解：若命题p为真命题，命题q为假命题，则命题“p∧q”为假命题，故A不正确；
命题“若xy=0，则x=0”的否命题为：“若xy≠0，则x≠0”，故B不正确；
“”⇒“+2kπ，或，k∈Z”，
“”⇒“”，
故“”是“”的必要不充分条件，故C不正确；
命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“”，故D正确．
故选D．
【点评】本题考查命题的真假判断，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
6．【答案】D
【解析】解：当m⊂α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m∥β，
故选D
【点评】本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．　
7．【答案】D
【解析】解：i2015=i503×4+3=i3=﹣i，
故选：D
【点评】本题主要考查复数的基本运算，比较基础．
8．【答案】C
【解析】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）
由z=2x+y，得y=﹣2x+z，
平移直线y=﹣2x+z，由图象可知当直线y=﹣2x+z经过点C时，直线y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小．即2x+y=1，
由，解得，
即C（1，﹣1），
∵点C 也在直线y=a （x ﹣3）上，∴﹣1=﹣2a ，解得a=
．
故选：C ．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．　
9． 【答案】B
【解析】解：根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M ∩N ，又由M={x|﹣2≤x ﹣1≤2}得﹣1≤x ≤3，即M={x|﹣1≤x ≤3}，在此范围内的奇数有1和3．
所以集合M ∩N={1，3}共有2个元素，故选B ．　
10．【答案】
【解析】选A.由
＝3＋b i 得，2＋a i
1＋i
2＋a i ＝（1＋i ）（3＋b i ）＝3－b ＋（3＋b ）i ，∵a ，b ∈R ，
∴，即a ＝4，b ＝1，∴a －b ＝3（或者由a ＝3＋b 直接得出a －b ＝3），选A.{2＝3－b a ＝3＋b
)
11．【答案】D
【解析】解：由圆C 1：（x+2）2+（y ﹣2）2=1与圆C 2：（x ﹣2）2+（y ﹣5）2=16得：圆C 1：圆心坐标为（﹣2，2），半径r=1；圆C 2：圆心坐标为（2，5），半径R=4．两个圆心之间的距离d==5，而d=R+r ，所以两圆的位置关系是外切．
故选D
12．【答案】D 【解析】
//a b
试题分析：因为直线a P平面α，直线b⊆平面α，所以或与异面，故选D.
考点：平面的基本性质及推论.
二、填空题
13．【答案】﹣2≤a≤2
【解析】解：原命题的否定为“∀x∈R，2x2﹣3ax+9≥0”，且为真命题，
则开口向上的二次函数值要想大于等于0恒成立，
只需△=9a2﹣4×2×9≤0，解得：﹣2≤a≤2．
故答案为：﹣2≤a≤2
【点评】存在性问题在解决问题时一般不好掌握，若考虑不周全、或稍有不慎就会出错．所以，可以采用数学上正难则反的思想，去从它的反面即否命题去判定．注意“恒成立”条件的使用．
14．【答案】　2i　．
【解析】解：向量饶坐标原点逆时针旋转60°得到向量所对应的复数为
（+i）（cos60°+isin60°）=（+i）（）=2i
，故答案为2i．
【点评】本题考查两个复数代数形式的乘法及其集合意义，判断旋转60°得到向量对应的复数为（+i）（cos60°+isin60°），是解题的关键．
15．【答案】　﹣10　
【解析】解：由于（﹣）5展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，
令15﹣5r=0，解得r=3，故展开式的常数项是﹣10，
故答案为：﹣10．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．　
16．【答案】　存在x∈R，x3﹣x2+1＞0　．
【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意的x∈R，x3﹣x2+1≤0”的否定是：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
故答案为：存在x∈R，x3﹣x2+1＞0．
【点评】本题考查命题的否定，特称命题与全称命题的否定关系．
17．【答案】　6　．
【解析】解：∵|z|=1，
|z﹣3+4i|=|z﹣（3﹣4i）|≤|z|+|3﹣4i|=1+=1+5=6，
∴|z﹣3+4i|的最大值为6，
故答案为：6．
【点评】本题考查复数求模，着重考查复数模的运算性质，属于基础题．
18．【答案】 ．
【解析】解：∵θ是第四象限角，
∴，则，又sin（θ+）=，
∴cos（θ+）=．
∴cos（）=sin（θ+）=，sin（）=cos（θ+）=．
则tan（θ﹣）=﹣tan（）=﹣=．
故答案为：﹣．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）
∵＞0，
即＞0，
∵x1﹣x2＜0，
∴f（x1）﹣f（x2）＜0．
则f（x）是[﹣1，1]上的增函数；
（2）由于f（x）是[﹣1，1]上的增函数，
不等式即为
﹣1≤x+＜≤1，
解得﹣≤x＜﹣1，
即解集为[﹣，﹣1）；
（3）要使f（x）≤m2﹣2am+1对所有的x∈[﹣1，1]，a∈[﹣1，1]恒成立，
只须f（x）max≤m2﹣2am+1，即1≤m2﹣2am+1对任意的a∈[﹣1，1]恒成立，
亦即m2﹣2am≥0对任意的a∈[﹣1，1]恒成立．令g（a）=﹣2ma+m2，
只须，
解得m≤﹣2或m≥2或m=0，即为所求．
20．【答案】
【解析】（1）解：设点E（t，t），∵B（0，﹣1），∴A（2t，2t+1），
∵点A在椭圆C上，∴，
整理得：6t2+4t=0，解得t=﹣或t=0（舍去），
∴E（﹣，﹣），A（﹣，﹣），
∴直线AB的方程为：x+2y+2=0；
（2）证明：设P（x0，y0），则，
①直线AP方程为：y+=（x+），
联立直线AP与直线y=x的方程，解得：x M=，直线BP的方程为：y+1=，
联立直线BP与直线y=x的方程，解得：x N=，
∴OM•ON=|x M||x N|
=2•||•||
=||
=||
=||
=．
②设直线MB的方程为：y=kx﹣1（其中k==），
联立，整理得：（1+2k2）x2﹣4kx=0，
∴x Q=，y Q=，
∴k AN===1﹣，k AQ==1﹣，
要证A、Q、N三点共线，只需证k AN=k AQ，即3x N+4=2k+2，
将k=代入，即证：x M•x N=，
由①的证明过程可知：|x M|•|x N|=，
而x M与x N同号，∴x M•x N=，
即A、Q、N三点共线．
【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查求直线的方程、线段乘积为定值、三点共线等问题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
21．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）证明：△BCD中，CB=CD，∠BCD=120°，
∴∠CDB=30°，
∵EC=DE，∴∠DCE=30°，∠BCE=90°，
∴EC⊥BC，
又∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC与平面BCD的交线为BC，
∴EC⊥平面ABC，∴EC⊥AB．
（Ⅱ）解：取BC的中点O，BE中点F，连结OA，OF，
∵AC=AB，∴AO⊥BC，
∵平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，
∴AO⊥平面BCD，∵O是BC中点，F是BE中点，∴OF⊥BC，
以O为原点，OB为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，
设DE=2，则A（0，0，1），B（0，，0），
C（0，﹣，0），D（3，﹣2，0），
∴=（0，﹣，﹣1），=（3，﹣，0），
设平面ACD的法向量为=（x，y，z），
则，取x=1，得=（1，，﹣3），
又平面BCD的法向量=（0，0，1），
∴cos＜＞==﹣，
∴二面角A﹣CD﹣B的余弦值为．
【点评】本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到线面以及面面的垂直关系、二面角的求法及空间向量在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．
22．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）用茎叶图表示如下：
（Ⅱ）=，
==80，
=[（74﹣80）2+（76﹣80）2+（78﹣80）2+（82﹣80）2+（90﹣80）2]=32，
=[（70﹣80）2+（75﹣80）2+（80﹣80）2+（85﹣80）2+（90﹣80）2]=50，
∵=，，
∴在平均数一样的条件下，甲的水平更为稳定，应该派甲去．
23．【答案】
【解析】解：（1）当m﹣1=0，即m=1时，复数z是实数；
（2）当m﹣1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；
（3）当m+1=0，且m﹣1≠0时，即m=﹣1时，复数z 是纯虚数．
【点评】本题考查复数的概念，属于基础题．
24．【答案】
【解析】：Ⅰ，因为定义域为， '()x a f x e x
=-(0,)+∞有解 即有解. 令，，'()0x a f x e x
=⇒=
x xe a =()x h x xe ='()(1)x h x e x =+当0,'()0,(0)0()0x h x h h x >>=∴>所以，当时，无零点； 当时，有唯一零点.0a ≤'()0,f x >0a >Ⅱ由Ⅰ可知，当时，设在上唯一零点为，0a >'()f x (0,)+∞0x 当，在为增函数；
0(,),'()0x x f x ∈+∞>()f x 0(,)x +∞当，在为减函数.0(0,)x x ∈'()0,f x <()f x 0(0,)x 0000
x x a e e x a x =
∴=Q 000000000()ln ln (ln )ln 2ln x x a a a a f x e a x a a a x ax a a a a a x e x x ∴=-=-=--=+-≥-。